Μάθημα : Στοχαστικός Λογισμός (Χειμερινό εξάμηνο 2022-2023)

Περιεχόμενο μαθήματος

• Δεσμευμένη μέση τιμή. Martingales σε διακριτό χρόνο.
• Κατασκευή της κίνησης Brown, ισχυρή ιδιότητα Markov και αρχή ανάκλασης, αναλυτικές ιδιότητες, σχετιζόμενα martingales.
• Το στοχαστικό ολοκλήρωμα ως προς την κίνηση Brown.
• Ο τύπος του Itô και εφαρμογές στην επίλυση στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων.

Σύγγραμμα: Εισαγωγή στον στοχαστικό λογισμό. Σημειώσεις. Δ. Χελιώτης.

Συνιστάται επίσης το: M. Steele. Stochastic calculus and financial appplications. 2001. Δείτε στο βοηθητικό υλικό στα έγγραφα.

Σε προηγούμενες χρονιές κρατούσα ημερολόγιο του μαθήματος. Δηλαδή τι καλύπταμε σε κάθε μάθημα και προτεινόμενες ασκήσεις. Επειδή πλέον το περιεχόμενο του μαθήματος έχει σταθεροποιηθεί δεν κρατώ ημερολόγιο. Το ημερολόγιο της ακαδημαϊκής χρονιάς 2015-2016 είναι εδώ και με ελάχιστες αποκλίσεις αποτυπώνει και την πορεία του μαθήματος φέτος.

Ενδιάμεση εξέταση: Θα έχουμε ενδιάμεση εξέταση το Σάββατο 26 Νοεμβρίου (ή μια παραπλήσια ημερομηνία). Ο τελικός βαθμός θα είναι το μέγιστο των T, (2T+E)/3, όπου Τ ο βαθμός της τελικής εξέτασης και Ε της ενδιάμεσης.

Προαπαιτούμενα:

1) Πιθανότητες Ι

2) Από Θεωρία Μέτρου ή Πιθανότητες ΙΙ:

Σ-άλγεβρες, μέτρα, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue (ορισμός, οριακά θεωρήματα), τρόποι σύγκλισης ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών, μέτρα γινόμενο (θεώρημα Fubini).
Από τις σημειώσεις «Ένα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες» (βρίσκονται στα έγγραφα, στον φάκελο Βοηθητικό Υλικό) τα κεφάλαια 1, 2, 4, 5, 8 και οι παράγραφοι 9.1, 9.2, 10.1, 10.2.

Προτεινόμενες ασκήσεις από το σύγγραμμα του μαθήματος (θα προστίθενται καθώς προχωράει το εξάμηνο).

Κεφάλαιο 2: 3-12
Κεφάλαιο 3: 1, 3, 4, 6-11, 15, 16.
Κεφάλαιο 5: 1-3, 6-9, 11, 13
Κεφάλαιο 7: 2, 7