Μάθημα : Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Ι (εαρινό εξάμηνο 2024-25)

Η εξεταστέα ύλη είναι ακριβώς αυτή που διδάχθηκε. Ενδεικτικά και μόνο η ύλη θα μπορούσε να συνοψιστεί ως εξής:

** ΜΔΕ α' τάξης. Η μέθοδος αλλαγής μεταβλητών. Η μέθοδος των χαρακτηριστικών καμπυλών. Γενικευμένες λύσεις. Η συνθήκη Rankine-Hugoniot. Κρουστικά κύματα και λύσεις αυξανόμενης αραίωσης.

** Στοιχεία θεωρίας χώρων εσωτερικού γινομένου. Σειρές Fourier. Προβλήματα ιδιοτιμών Sturm-Liouville.

** Γραμμικές ΜΔΕ β' τάξης. Τύποι γραμμικών ΜΔΕ β' τάξης. Αναγωγή σε κανονική μορφή.

** Η εξίσωση θερμότητας. Ασθενής αρχής μεγίστου. Μοναδικότητα λύσης. Επίλυση της εξίσωσης θερμότητας σε φραγμένο διάστημα με χρήση σειρών Fourier (συνοριακές συνθήκες Dirichlet/Neumann). Η μη ομογενής εξίσωση θερμότητας. Η εξίσωση θερμότητας στην ευθεία.

** Η εξίσωση του Laplace. Θεώρημα μέσης τιμής. Ασθενής και ισχυρή αρχή μεγίστου. Επίλυση του π.σ.τ. για την εξίσωση Laplace σε ορθογώνιο (συνοριακές συνθήκες Dirichlet/Neumann). Η εξίσωση του Laplace στον δίσκο. Ο τύπος του Poisson.

** Η κυματική εξίσωση. Γενική λύση. Επίλυση της κυματικής εξίσωσης σε ορθογώνιο. Η κυματική εξίσωση στην ευθεία. Τύπος d' Alambert. Πεδία επιρροής και εξάρτησης. Η κυματική εξίσωση στην ημιευθεία. Διατήρηση ενέργειας. Μοναδικότητα λύσης του ΠΑΤ.