Please ensure Javascript is enabled for purposes of website accessibility
Νέοι Οδηγοί Βίντεο Προβολή

Παρουσίαση/Προβολή

Εικόνα επιλογής

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ (2025-26 Εαρινό εξάμηνο)

(MATH246) -  Μιχάλης. Μαλιάκας

Περιγραφή Μαθήματος

Θα βρείτε εδώ χρήσιμες πληροφορίες για το μάθημα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ του έτους 2025-26 (Εαρινό Εξάμηνο).

Ημερομηνία δημιουργίας

Τετάρτη 25 Φεβρουαρίου 2009

Σελίδα μαθήματος

  • Περίγραμμα

    Περιεχόμενο Μαθήματος

    Ύλη (και ενδεικτικό χρονοδιάγραμμα σε εβδομάδες)

    1. Όμοιοι πίνακες (1-) (ορισμός, βασικές ιδιότητες, σχέση με γραμμικές απεικονίσεις και αλλαγή βάσης).

    2. Πολυώνυμα (1-) (διαιρετότητα, μκδ, εκπ, ρίζες, ανάγωγα πολυώνυμα, πολυώνυμα και πίνακες-γραμμικές απεικονίσεις)

    3. Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα (2) (ορισμοί και βασικές ιδιότητες, χαρακτηριστικό πολυώνυμο, ίχνος και ορίζουσα) 

    4. Διαγωνισιμότητα (2) (ορισμοί και βασικές ιδιότητες, εφαρμογές, κριτήρια διαγωνισιμότητας, διαστάσεις ιδιόχωρων, ευθέα αθροίσματα υποχώρων)

    5. Τριγωνισιμότητα, Θεώρημα των Cayley-Hamilton (1) (τριγωνισιμότητα πάνω από τους μιγαδικούς, κριτήριο τριγωνισιμότητας, θεώρημα των Cayley-Hamilton)

    6. Ελάχιστο πολυώνυμο, κριτήριο διαγωνισιμότητας (2) (ορισμοί και βασικές ιδιότητες του ελάχιστου πολυωνύμου, αναλλοίωτοι υπόχωροι, κριτήριο διαγωνισιμότητας, ταυτόχρονη διαγωνοποίηση).

    7.  Το κανονικό εσωτερικό γινόμενο (1+) (το κανονικό εσωτερικό γινόμενο και η μέθοδος των Gram-Schmidt, ορθογώνιο συμπλήρωμα, μοναδιαίοι και Ερμιτιανοί πίνακες).

    8. Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών πινάκων (1+) (διαγωνοποίηση Ερμιτιανών πινάκων, κανονικοί πίνακες).

    9. Κανονική Μορφή Jordan (1) (διατύπωση, παραδείγματα και εφαρμογές).

     

    Έστω f:V->V μια γραμμική απεικόνιση, όπου V είναι ένας διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης. Ξέρουμε ότι για κάθε επιλογή μιας διατεταγμένης βάσης του V (ίδια βάση στο πεδίο ορισμού και στο στόχο) ορίζεται ο αντίστοιχος πίνακας της f. Ένα από τα ερωτήματα που θα μελετήσουμε στο μάθημα είναι το εξής: Δοσμένης της f:V->V, υπάρχει  διατεταγμένη βάση του V για την οποία ο αντίστοιχος πίνακας είναι μιας συγκεκριμένης 'απλούστερης μορφής'.

    Στόχος των ενοτήτων 3-6 είναι η μελέτη των διαγώνιων και των τριγωνικών πινάκων που είναι δυο από τις σημαντικές 'απλούστερες μορφές'. Για την επίτευξη αυτού θα εξετάσουμε έννοιες όπως είναι η ιδιοτιμή, το ιδιοδιάνυσμα, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το ελάχιστο πολυώνυμο.

    Στην ενότητα 7 εξετάζουμε το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο και στην 8 τη διαγωνοποίηση κανονικών πινάκων. Στην ενότητα 9 θα εξετάσουμε συνοπτικά την κανονική μορφή Jordan.

     

    Εκπαιδευτικές Δραστηριότητες

    Τα μαθήματα γίνονται κάθε Δ, Τε και Πα στις 9-11 στην αίθουσα Γ21.

    Βοηθήματα

    1. Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα,Δ. Βάρσος, Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας. Α. Μελάς, Ο. Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 2012, ISBN: 978-960-6706-36-3.
    2. Linear Algebra, by Friedberg, Insel and Spence, 4th Edition, Prentice Hall, ISBN-13: 978-0130084514, 2002.
    3. Basic Linear Algebra και Further Linear Algebra,Blyth and Robertson, Springer, ISBN: 978-1852336622 και 978-1-85233-425-3 αντίστοιχα, 2002.
    4. Linear Algebra,by Hoffman and Kunze, Pearson, 1970 ISBN-13: 978-0135367971.
    5. Linear Algebra Done right, by Axler, 4th Edition, Springer,
    6. Linear Algebra Done Wrong, https://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.html

    Προαπαιτούμενα

    Θα χρειαστούμε πολλά στοιχεία από το μάθημα Γραμμική Άλγεβρα Ι,  όπως επίλυση γραμμικών συστημάτων, διανυσματικοί χώροι, βάσεις, διάσταση, γραμμική απεικόνιση, πίνακας γραμμικής απεικόνισης, όμοιοι πίνακες και ορίζουσες.