Παρουσίαση/Προβολή

1. Μεταθετικοί δακτύλιοι. [υπενθυμίσεις: ομομορφισμοί δακτυλίων, ιδεώδη, άθροισμα, τομή, γινόμενο και μεταφορέας ιδεωδών, δακτύλιος πηλίκο, κινεζικό θεώρημα υπολοίπων]

1. Ορισμοί.
2. Ιδεώδη και πηλίκα.
3. Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων.

2. Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη. [ορισμοί και βασικές ιδιότητες, ύπαρξη μεγίστων ιδεωδών, ριζικό ιδεώδους, nilradical, ριζiκό του Jacobson, τοπικοί δακτύλιοι]

1. Ορισμοί και βασικές ιδιότητες.
2. Σημαντικό λήμμα.
3. Ριζικό ιδεώδους.
4. Ριζικό του Jacobson, τοπικοί δακτύλιοι.
5. Περιοχές μοναδικής παραγοντοποίησης.

3. Δακτύλιοι της Noether. [ορισμοί και βασικές ιδότητες, θεώρημα βάσης του Hilbert, πρωταρχική ανάλυση ιδεωδών σε δακτύλιο της Noether: ύπαρξη και μορφές μοναδικότητας]

1. Ορισμοί και βασικές ιδιότητες,
2. Θεώρημα βάσης του Hilbert.
3. Πρωταρχική ανάλυση ιδεωδών I: ύπαρξη.
4. Πρωταρχική ανάλυση ιδεωδών ΙΙ: μοναδικότητα.

4. Τοπικοποίηση. [ορισμοί, συστολή και επέκταση, ιδεώδη της τοπικοποίησης, πρωταρχική ανάλυση ιδεωδών και τοπικοποίηση]

1. Δακτύλιος πηλίκων ως προς πολλαπλασιαστικό σύνολο.
2. Τα ιδεώδη του \(S^{-1}R\).
3. Εφαρμογή στην πρωταρχική ανάλυση ιδεωδών.

5. Πρότυπα. [αθροίσματα, θεωρήματα ισοορφισμών, ακριβείς ακολουθίες, ελεύθερα πρότυπα, λήμμα του Nakayama]

1. Ορισμοί και βασικές ιδιότητες.
2. Ομομορφισμοί, ακριβείς ακολουθίες.
3. Ελεύθερα πρότυπα.
4. Λήμμα του Nakayama και εφαρμογές.

6. Συνθήκες αλυσίδων. [αύξουσες και φθίνουσες ακολουθίες υποπροτύπων, ισοδύναμοι χαρακτηρισμοί προτύπων Noether και Artin, συνθετικές σειρές, μήκος προτύπου]

1. Πρότυπα της Noether, πρότυπα του Artin.
2. Συνθετικές σειρές.
3. Μήκος προτύπου.

7. Δακτύλιοι του Artin. [το nilradical δακτυλίου Artin είναι μηδενοδύναμο, ένας δακτύλιος είναι του Artin αν και μόνο αν είναι της Noether και κάθε πρώτο ιδεώδες είναι μεγιστικό, δομή δακτυλίων Artin]

1. Ιδιότητες ιδεωδών δακτυλίου του Artin.
2. Σχέση με δακτύλιους της Noether.
3. Δομή δακτυλίων του Artin.

8. Ακέραιες επεκτάσεις και κανονικοποίηση της Noether. [ακέραιες επεκτάσεις, εφαρμογή στις αναλλοίωτες πεπερασμένων ομάδων, λήμμα κανονικοποίησης της Noether]

1. Ακέραια στοιχεία.
2. Εφαρμογή: Αναλλοίωτες πεπερασμένων ομάδων.
3. Κανονικοποίηση της Noether.

9. Nullstellensatz. [αλγεβρικά σύνολα, λήμμα του Zariski, Nullstellensatz, αντιστοιχία πρώτων ιδεωδών και αναγώγων αλγεβρικών συνόλων, ριζικά ιδεώδη ως τομή πεπερασμένου πλήθους πρώτων]

1. Αλγεβρικά σύνολα.
2. Λήμμα του Zariski.
3. Nullstellensatz.

Στον Εύδοξο: Μ. Μαλιάκας, Εισαγωγή στη Μεταθετική Άλγεβρα, Εκδόσεις Σοφία 2005.

Ενδεικτική βιβλιογραφία

1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969. [Κλασσικό και καταπληκτικό! Μπορείτε να το κατεβάσετε από τα Έγγραφα. H ύλη του μαθήματος 1-8 παραπάνω είναι υποσύνολο των κεφαλαίων 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8.]

2. M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, Cambridge, 1995. 

3. D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer, 1995. 

4. R. Sharp, Steps in Commutative Algebra, 2nd edition, Cambridge, 2004.

5. http://web.mit.edu/18.705/www/12Nts-2up.pdf [Ωραίες σημειώσεις, εξέλιξη του βιβλίου των Atiyah-Macdonald. Στα Έγγραφα υπάρχει νεώτερη έκδοση με λύσεις όλων των ασκήσεων. Η ύλη του μαθήματος 1-8 παραπάνω είναι υποσύνολο των κεφαλαίων 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 16, 18, 19]