Πεπερασμένα Σώματα και Κρυπτογραφία

Γιάννης Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Συντελεστές/Πνευματικά Δικαιώματα

Πεπερασμένα Σώματα και Κρυπτογραφία

Συγγραφή

Ιωάννης Αντωνιάδης

Αριστείδης Κοντογεώργης

Κριτικός αναγνώστης

Δημήτριος Δεριζιώτης

Συντελεστές Έκδοσης

ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δημήτριος Καλλιάρας

ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Αριστείδης Κοντογεώργης

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ: Αριστείδης Κοντογεώργης

Copyright © ΣΕΑΒ 2015

Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/

Σύνδεσμος Ελληνικων Ακαδημαϊκων Βιβλιοθηκών

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου

www.kallipos.gr

ISBN: 978-618-82124-6-6

Εισαγωγή

Η Θεωρία Aριθμών μπορεί να διδαχτεί με στοιχειώδη τρόπο, ειδικότερα αν η διδασκαλία της γίνει σε ένα αρχικό στάδιο. Η διδακτική αυτή προσέγγιση είναι χρήσιμη, γιατί εισάγει τον φοιτητή σε έννοιες οι οποίες μπορεί να χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια, προκειμένου να γίνουν καλύτερα κατανοητές περισσότερο αφηρημένες αλγεβρικές έννοιες.

Σε αυτό το βιβλίο (το οποίο απευθύνεται σε φοιτητές που έχουν ήδη παρακολουθήσει ένα πρώτο μάθημα άλγεβρας) θα ακολουθήσουμε μια προσέγγιση η οποία χρησιμοποιεί περισσότερο προχωρημένες αλγεβρικές έννοιες προκειμένου να δώσουμε συντομότερες και περισσότερο κομψές αποδείξεις. Αν και γίνεται προσπάθεια να υπάρξει ορισμός κάθε αλγεβρικής έννοιας που χρησιμοποιούμε, ο αναγνώστης θα μπορούσε και θα έπρεπε να ανατρέξει σε ένα βιβλίο αφηρημένης άλγεβρας για περισσότερες πληροφορίες.

Η φιλοσοφία αυτής της διδασκαλίας βοηθάει στο να μπορέσει ο φοιτητής να κατανοήσει τη σημασία αλγεβρικών εννοιών και να δει την εισαγωγική Θεωρία Αριθμών από μια διαφορετική οπτική γωνία. Άλλωστε, τα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών ήταν μια από τις κινητήριες δυνάμεις για την ανάπτυξη της αφηρημένης Άλγεβρας.

Οι κλάσεις υπολοίπων 𝔽p:=ℤ/pℤ\mathbb{F}_p:=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ακέραιων αριθμών modulo έναν πρώτο pp αποτελούν παραδείγματα από πεπερασμένα σώματα. Τα πεπερασμένα σώματα όμως δεν περιορίζονται στα σώματα 𝔽p,\mathbb{F}_p, αλλά επεκτείνονται και στις αλγεβρικές επεκτάσεις τους. Αναπτύσσουμε λοιπόν και τη θεωρία επεκτάσεων σωμάτων, ενώ παρουσιάζουμε και στοιχεία από τη Θεωρία Galois. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στις nn-στές ρίζες της μονάδας και στην κατασκευή των κυκλοτομικών πολυωνύμων.

Στο πέμπτο κεφάλαιο ορίζουμε βασικούς αλγορίθμους κρυπτογράφησης, ενώ στο επόμενο κεφάλαιο αναφέρονται οι αλγόριθμοι ανοιχτού κλειδιού. Αυτοί οι αλγόριθμοι δείχνουν την ανάγκη λύσης προβλημάτων όπως η παραγοντοποίηση ακέραιων αλλά και το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου.

Το κεφάλαιο 7 αποτελεί μια εισαγωγή στη Θεωρία των ελλειπτικών καμπυλών οι οποίες βρίσκουν εφαρμογή και στο επόμενο κεφάλαιο όπου περιγράφονται αλγόριθμοι παραγοντοποίησης.

Τέλος στο τελευταίο κεφάλαιο δίνουμε μερικά στοιχεία σχετικά με την κατασκευή ελλειπτικών καμπυλών με εκ των προτέρων γνωστή τάξη. Η κατασκευή αυτή είναι απαραίτητη προκειμένου να κατασκευάσουμε κρυπτοσυστήματα βασισμένα στις ελλειπτικές καμπύλες τα οποία να είναι ανθεκτικά στις γνωστές επιθέσεις.

Η παραπάνω θεωρία απαιτεί ευχέρεια στην εκτέλεση υπολογισμών, οπότε το βιβλίο είναι γεμάτο με παραδείγματα βασισμένο στο ανοιχτού κώδικα λογισμικό sage, ενώ στις ηλεκτρονικές εκδόσεις του βιβλίου (epub, pdf) ο χρήστης μεταφέρεται σε online διαδραστική εκτέλεση του προγράμματος προκειμένου να πειραματιστεί.

Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε θερμά τον κριτικό αναγνώστη, ομότιμο Καθηγητή του τμήματος Μαθηματικών του ΕΚΠΑ, κ. Δεριζιώτη, για τις εύστοχες και εποικοδομητικές παρατηρήσεις του. Επίσης πολλές ευχαριστίες στον γλωσσικό επιμελητή-φιλόλογο, κ. Δημήτρη Καλλιάρα, για όλες τις διορθώσεις του.

Στοιχειώδης Θεωρία Αριθμών

Θεωρία αριθμών στoυς ακέραιους

Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε μερικές βασικές ιδιότητες των ακέραιων αριθμών σχετικά με τη διαίρεση. O αναγνώστης θα μπορούσε να συμβουλευτεί ένα βιβλίο θεωρίας αριθμών για περισσότερες πληροφορίες όπως τα (Αντωνιάδης και Κοντογεώργης 2015), (Λάκκης 1990) ή το (Stein 2008).

Έστω a,b∈ℤa,b \in \mathbb{Z} με b≠0.b \neq 0. Υπάρχουν μονοσήμαντα ορισμένα p,q∈ℤp,q \in \mathbb{Z} ώστε a=bq+r,a=b q+r, με 0≤r<|b|.0 \leq r < |b|.

Απόδειξη: Θα υποθέσουμε για απλότητα ότι b>0.b>0. Θεωρούμε το σύνολο M={a−bt:t∈ℤ,a−bt>0}.M=\{a-bt: t \in \mathbb{Z}, a-bt>0\}. Παρατηρούμε ότι το σύνολο MM είναι ένα μη κενό σύνολο φυσικών άρα έχει ένα ελάχιστο στοιχείο r.r. Το στοιχείο αυτό θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης, ενώ το q=tq=t στο οποίο αντιστοιχεί το r,r, θα είναι το πηλίκο. Είναι σαφές ότι 0≤r<b,0\leq r < b, γιατί διαφορετικά θα μπορούσαμε να αφαιρέσουμε ακόμα ένα bb και να καταλήξουμε σε ένα ακόμα μικρότερο στοιχείο του M,M, άτοπο.

Για τη μοναδικότητα θεωρούμε δύο διαφορετικές γραφές του aa ως a=bq1+r1,a=bq2+r2a=bq_1+r_1, a=bq_2+r_2 τις οποίες και αφαιρούμε για να πάρουμε: b(q1−q2)=r2−r1,b(q_1-q_2)=r_2-r_1, ενώ −b<r2−r1<b⇒−1<q1−q2<1-b < r_2 -r_1 < b \Rightarrow -1< q_1-q_2 <1 άρα, αφού τα q1−q2q_1-q_2 είναι ακέραιοι, έχουμε ότι q1=q2q_1=q_2 άρα και r1=r2.r_1=r_2.

Η περίπτωση b<0b<0 ανάγεται στην περίπτωση b>0b>0 πολλαπλασιάζοντας με −1.-1.

Για a,b∈ℤa,b \in \mathbb{Z} θα λέμε ότι ο aa διαιρεί τον bb και θα γράφουμε a∣ba\mid b αν και μόνο υπάρχει ακέραιος αριθμός cc ώστε b=ca.b=ca. Ισοδύναμα, το υπόλοιπο της διαίρεσης του bb με aa θα πρέπει να είναι ίσο με 0.0.

Ιδιότητες διαίρεσης

Αν a∣ba \mid b και a∣c,a \mid c, τότε για κάθε x,y∈ℤx,y \in \mathbb{Z} a∣xa+yb.a \mid xa +y b.

Αν a∣ba\mid b και b∣c,b\mid c, τότε a∣c.a\mid c.

Αν a∣ba \mid b και b∣c,b \mid c, τότε a=±b.a=\pm b.

Ένας φυσικός αριθμός p>1p>1 θα λέγεται πρώτος αν οι μόνοι θετικοί διαιρέτες του είναι ο εαυτός του και η μονάδα.

Κάθε θετικός ακέραιος γράφεται ως γινόμενο πρώτων.

Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών AA που δεν γράφονται ως γινόμενο πρώτων είναι μη κενό. Τότε το σύνολο αυτό έχει ένα ελάχιστο στοιχείο n.n.

Αν είναι ήδη πρώτος, τότε γράφεται ως γινόμενο πρώτων με τετριμμένο τρόπο, άρα δεν θα μπορούσε να είναι στοιχείο του συνόλου M.M. Αν δεν είναι πρώτος τότε γράφεται ως γινόμενο n=a⋅b,n=a\cdot b, όπου τα a,ba,b είναι μη τετριμμένοι διαιρέτες του n,n, οπότε 1≤a,b<n.1 \leq a,b < n. Όμως, αφού το nn είναι το ελάχιστο στοιχείο του M,M, θα έχουμε ότι a,b∉Ma,b \not \in M και, συνεπώς, τα a,ba,b θα αναλύονται σε γινόμενο πρώτων. Συνεπώς, το ίδιο θα συμβαίνει για το n,n, άτοπο.

Ευκλείδη Υπάρχουν άπειροι πρώτοι.

Απόδειξη: Έστω ότι υπήρχαν πεπερασμένοι το πλήθος πρώτοι {p1,p2,…,pN}.\{p_1,p_2,\ldots, p_N \}. Τότε, το γινόμενό τους S=p1⋅p2⋯pNS=p_1 \cdot p_2 \cdots p_N θα ήταν ένας φυσικός αριθμός. Ο αριθμός S+1S+1 θα έπρεπε να έχει έναν πρώτο διαιρέτη p,p, ο οποίος θα ήταν ένας παράγοντας του S.S. Αφού p∣S+1p \mid S+1 και p∣S,p \mid S, θα έχουμε ότι p∣1,p \mid 1, άτοπο.

Θεωρούμε τους ακέραιους a,b.a,b. Θα ονομάζουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη των a,ba,b και θα τον συμβολίζουμε με (a,b),(a,b), έναν φυσικό αριθμό dd o οποίος ικανοποιεί:

d∣ad \mid a και d∣bd\mid b

Αν δ∣a\delta \mid a και δ∣b\delta \mid b τότε δ∣d.\delta \mid d.

Για τους a,b∈ℤa,b \in \mathbb{Z} θεωρούμε το σύνολο A={xa+yb>0,μεx,y∈ℤ}⊂ℕ.A=\{ xa +yb >0, \mbox{ με } x,y \in \mathbb{Z} \} \subset \mathbb{N}. To σύνολο αυτό έχει ένα ελάχιστο στοιχείο, το οποίο ταυτίζεται με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των a,b.a,b.

Πράγματι, αν το n=x0a+y0bn=x_0a +y_0b είναι το ελάχιστο στοιχείο του A,A, τότε n=πa+υμε0≤υ<a.n = \pi a+ \upsilon \mbox{ με } 0\leq \upsilon < a. Στην περίπτωση που υ>0\upsilon> 0 θα είχαμε: n−πa=x0a+y0b−πa=(x0−π)a+y0b=υ>0,n -\pi a = x_0 a+ y_0 b - \pi a=(x_0 -\pi)a + y_0 b=\upsilon >0, δηλαδή το n−πan - \pi a είναι στοιχείο του AA γνήσια μικρότερο του ελαχίστου n.n. Άρα υ=0\upsilon=0 και a∣n.a \mid n. Με όμοιο τρόπο b∣n.b \mid n. Τέλος, αν δ\delta είναι ένας άλλος κοινός διαιρέτης των a,b,a,b, τότε αυτός θα πρέπει να διαιρεί και το n=x0a+y0b.n=x_0a + y_0b.

Αποδείξαμε παραπάνω ότι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο ακέραιων a,ba,b γράφεται ως ℤ\mathbb{Z}-γραμμικός συνδυασμός των a,b.a,b. Θα δούμε έναν αποτελεσματικό τρόπο εύρεσης των αριθμών x0,y0∈ℤx_0, y_0 \in \mathbb{Z} ώστε (a,b)=x0a+y0b,(a,b)=x_0 a+ y_0 b, όταν θα μιλήσουμε για τον αλγόριθμο του Ευκλείδη.

Αν ένας πρώτος αριθμός p∣ab,p \mid a b, τότε p∣ap \mid a είτε p∣b.p\mid b.

Απόδειξη: Αν p∣ap \mid a τότε η απόδειξη έχει τελειώσει. Αν όχι τότε (a,p)=1(a,p)=1 συνεπώς υπάρχουν x,y∈ℤx,y \in \mathbb{Z} με xa+yp=1.x a+ yp=1. Πολλαπλασιάζουμε με bb και έχουμε ab+ypb=b,ab + ypb=b, από όπου προκύπτει το ζητούμενο, αφού ο pp διαιρεί και τους δύο προσθετέους.

Η ανάλυση ενός ακέραιου αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι μονοσήμαντη αν δεν ληφθεί υπόψη η σειρά των παραγόντων.

Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι a=±p1ν1⋯prνr=±q1ν1⋯qsνsa=\pm p_1^{\nu_1}\cdots p_r^{\nu_r}= \pm q_1^{\nu_1}\cdots q_s^{\nu_s} είναι δύο διαφορετικές αναλύσεις του nn ως γινόμενο πρώτων. Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι r≤s.r \leq s. Ο πρώτος p1p_1 διαιρεί το γινόμενο q1ν1⋯qsνsq_1^{\nu_1}\cdots q_s^{\nu_s} άρα o p1p_1 διαιρεί κάποιον qi,q_i, και συνεπώς ταυτίζεται με αυτόν. Στην παραπάνω ισότητα διαγράφουμε τους p1p_1 και q1q_1 και συνεχίζουμε μέχρι να εξαντληθούν οι πρώτοι στο αριστερό μέρος. Επειδή το γινόμενο πρώτων δεν μπορεί να είναι μονάδα, ταυτόχρονα θα εξαντληθούν οι πρώτοι και στο δεξί μέρος, οπότε προκύπτει το ζητούμενο.

Αν a=p1ν1⋯prνra=p_1^{\nu_1}\cdots p_r^{\nu_r} και b=p1μ1⋯prμrb=p_1^{\mu_1}\cdots p_r^{\mu_r} είναι οι αναλύσεις των a,ba,b σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τότε (a,b)=p1max{ν1,μ1}⋯prmax{νr,μr}.(a,b)=p_1^{ max\{\nu_1,\mu_1 \} } \cdots p_r^{ \max\{\nu_r,\mu_r \}}.

Μπορούμε να ορίσουμε τους πρώτους αριθμούς ως εξής:

sage: P = Primes(); P
Set of all prime numbers: 2, 3, 5, 7, ...
sage: P.cardinality()
+Infinity

Αν θέλουμε να πάρουμε τον nn-οστό πρώτο δίνουμε

sage: P = Primes()
sage: P.next(10^20)
100000000000000000039

Ενώ μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε ως εξής:

sage:factor(28397492387492387429387)
13 * 2551 * 856300467011198849

Μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας αριθμός είναι πρώτος

sage: 856300467011198849 in P
True

foo Interactive

Γραμμικές Ισοδυναμίες mod m

\;

Θα λέμε ότι οι αριθμοί a,ba,b είναι ισοδύναμοι modulo mm και θα το συμβολίζουμε με a≡bmodm a\equiv b mod m αν και μόνο αν m∣b−a.m \mid b-a.

Η σχέση ≡\equiv είναι μια σχέση ισοδυναμίας δηλαδή ικανοποιεί:

a≡amodma\equiv a mod m

a≡bmodm⇔b≡amodma \equiv b mod m \Leftrightarrow b \equiv a mod m

Αν a≡bmodma \equiv b mod m και b≡cmodm,b\equiv c mod m, τότε a≡cmodm.a \equiv c mod m.

Δύο αριθμοί είναι ισοδύναμοι modulο mm αν και μόνο αν έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με m.m.

Απόδειξη: Γράφουμε a=πam+uaa=\pi_a m +u_a και b=πbm+ub.b=\pi_b m +u_b. Παρατηρούμε ότι b−a=m(πb−πa)+ub−ua,b-a= m(\pi_b -\pi_a) + u_b-u_a, άρα m∣b−am \mid b-a αν και μόνο αν m∣(ub−ua).m\mid (u_b-u_a). Όμως, 0≤ua,ub<m,0\leq u_a,u_b < m, συνεπώς −m<ub−ua<m.-m < u_b -u_a < m. Άρα m∣ub−uam \mid u_b -u_a αν και μόνο αν ub=ua.u_b=u_a.

Ισχύει ότι αν a≡a′modma\equiv a' mod m και b≡b′modm,b \equiv b' mod m, τότε

a+b≡a′+b′modma+b \equiv a'+b' mod m

a⋅b≡a′⋅b′modma\cdot b \equiv a' \cdot b' mod m

Απόδειξη: Γράφουμε a=a′+km,a=a'+km, b=b′+lmb=b'+lm από όπου έχουμε a+b=a′+b′+m(k+l)a+b=a'+b' +m (k+l) και a⋅b=(a′+km)(b′+lm)=a′⋅b′+m(a′l+b′k)+klm2.a\cdot b = (a'+km)(b'+lm)=a'\cdot b' + m(a' l+ b'k)+klm^2.

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας της σχέσης ≡\equiv εφοδιάζεται με τη δομή αντιμεταθετικού δακτυλίου. Είναι δε ισόμορφο με τον δακτύλιο ℤ/mℤ,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, των ακέραιων modulo το κύριο ιδεώδες mℤ.m \mathbb{Z}.

Θα δούμε πώς μπορούμε να κάνουμε κάνουμε πράξεις στο πρόγραμμα sage:

sage:Mod(10,3)+Mod(2,3)
0
sage:p=P.next(10^10)
sage:Mod(2^(p-1),p)
1

foo Interactive

Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη

Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη είναι μια διαδικασία η οποία δέχεται ως είσοδο δύο ακέραιους αριθμούς και όταν ολοκληρωθεί δίνει τον μέγιστο κοινό τους διαιρέτη. Θεωρητικά, για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η παραγοντοποίηση των αριθμών. Η μέθοδος αυτή όμως δεν είναι καλή, ιδιαίτερα όταν οι αριθμοί που έχουμε να διαχειριστούμε είναι πολύ μεγάλοι αφού, όπως θα δούμε στη συνέχεια, η παραγοντοποίηση είναι μια ακριβή διαδικασία.

Ξεκινάμε με τους αριθμούς a,b∈ℤa,b \in \mathbb{Z} και εκτελούμε τη διαίρεση με πηλίκο και υπόλοιπο. a=π1b+u1,0≤u1<|b|a= \pi_1 b + u_1, \qquad 0 \leq u_1 < |b|

Παρατηρούμε ότι (a,b)=(b,u1)(a,b)=(b,u_1) (γιατί;). Στη συνέχεια υπολογίζουμε b=π2u1+u20≤u2<u1.b= \pi_2 u_1 + u_2 \qquad 0 \leq u_2 < u_1. Και πάλι έχουμε (a,b)=(b,u1)=(u1,u2).(a,b)=(b,u_1)=(u_1,u_2). Συνεχίζουμε με αυτόν τον τρόπο, σχηματίζοντας μια ακολουθία υπολοίπων |b|>u1>u2>⋯>un>⋯|b| > u_1 > u_2 > \cdots > u_n > \cdots Είναι σαφές ότι μετά από πεπερασμένα το πλήθος βήματα (|b||b| το πολύ!) η ακολουθία αυτή θα μηδενιστεί. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης θα είναι ο τελευταίος μη μηδενικός όρος της ακολουθίας αυτής.

12839=7⋅1728+74312839= 7\cdot 1728+743 1728=2⋅743+2421728= 2\cdot 743 + 242 743=3⋅242+17743= 3\cdot 242 +17 242=14⋅17+4242= 14 \cdot 17 + 4 17=4⋅4+117= 4 \cdot4 +1 4=4⋅1+04 =4 \cdot 1 +0

Μπορούμε εκτελώντας ανάποδα τον αλγόριθμο του Ευκλείδη να υπολογίσουμε x,y∈ℤx,y \in \mathbb{Z} ώστε ax+by=(a,b).ax + by =(a,b).

Για παράδειγμα 1=17−4⋅4=17−4(242−14⋅17)=57⋅15−4⋅2421 =17-4\cdot 4=17- 4(242-14\cdot 17)=57\cdot 15 -4\cdot 242 =(743−3⋅242)57−4⋅242=57⋅743−175⋅242==(743-3\cdot 242)57-4\cdot 242=57\cdot 743 -175\cdot 242= =57⋅743−175(1728−2⋅743)=407⋅743−175⋅1728==57 \cdot 743 -175(1728-2\cdot 743)=407\cdot 743 -175\cdot 1728= =407(12839−7⋅1728)−175⋅1728=407⋅12839−3024⋅1728.=407(12839-7 \cdot 1728) -175\cdot 1728=407\cdot 12839 -3024 \cdot 1728. Δηλαδή υπολογίσαμε ότι x=407x=407 και y=−3024y=-3024 και για την επιλογή αυτών των αριθμών έχουμε (12839,1728)=1=407⋅12839−3024⋅1728.(12839,1728)=1=407 \cdot 12839 -3024\cdot 1728.

Μπορούμε να υπολογίσουμε το παραπάνω στο sage ως

d,u,v = xgcd(12839,1728);d;u;v
1
407
-3024

και να επαληθεύσουμε το αποτέλεσμα

d == u*12839 + v*1728
True

foo Interactive

Το Θεώρημα του Κινέζου

Το παρακάτω θεώρημα δίνει μια φυσιολογική διάσπαση του δακτυλίου των ακέραιων modulo m.m.

Έστω m=∏i=1nmim=\prod_{i=1}^n m_i η γραφή ενός φυσικού αριθμού ως γινόμενο αριθμών mim_i που είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους. Οι παρακάτω δακτύλιοι είναι ισόμορφοι:

ℤmℤ=∏i=1nℤmiℤ.\frac{\mathbb{Z}}{m \mathbb{Z}} = \prod_{i=1}^n \frac{\mathbb{Z}}{ m_i \mathbb{Z}}.

Απόδειξη: Θεωρούμε τον ομομορφισμό δακτυλίων ψ:ℤmℤ→∏i=1nℤmiℤ,\psi:\frac{\mathbb{Z}}{m \mathbb{Z}} \longrightarrow \prod_{i=1}^n \frac{\mathbb{Z}}{ m_i \mathbb{Z}}, xmodm↦(xmodm1,…,xmodmn).x \mathrm{mod} m \mapsto (x \mathrm{mod} m_1, \ldots, x \mathrm{mod} m_n). Παρατηρούμε ότι ker(ψ)={0}.\mathrm{ker}(\psi)=\{0\}. Πράγματι, αν ένας αριθμός xx διαιρείται από τους πρώτους μεταξύ τους αριθμούς mi,m_i, τότε διαιρείται και από τον m.m. Άρα η συνάρτηση ψ\psi είναι 1-1. Επειδή οι δακτύλιοι έχουν τον ίδιο πληθάριθμο, η συνάρτηση ψ\psi είναι αναγκαστικά και επί.

Παραδοσιακά στα μαθήματα Θεωρίας Αριθμών το παραπάνω θεώρημα εκφράζεται ως εξής: Το σύστημα γραμμικών ισοδυναμίων (mi,mj)=1(m_i,m_j)=1 για i≠j,i\neq j, m=m1⋯mnm=m_1\cdots m_n x≡x1modm1x \equiv x_1 mod m_1 x≡x2modm2x \equiv x_2 mod m_2 ⋮\vdots x≡xnmodmnx \equiv x_n mod m_n έχει μοναδική λύση modm.mod m.

Η λύση στο πρόβλημα ισοδυναμιών του Κινέζου υπολογίζεται ως εξής: Υπολογίζουμε τον αριθμό m=m1⋯mn,m=m_1\cdots m_n, αλλά και τους αριθμούς Mi=mmi.M_i=\frac{m}{m_i}. Εξ υποθέσεως (Mi,mi)=1,(M_i,m_i)=1, οπότε υπολογίζουμε μια λύση bib_i της εξίσωσης Miy≡1modmiM_i y\equiv 1 mod m_i To x0=∑i=1nxiMibix_0=\sum_{i=1}^n x_i M_i b_i είναι μια λύση του συστήματος.

Απόδειξη Αρκεί να θεωρήσουμε το x0x_0 modulo mim_i και να παρατηρήσουμε ότι οι προσθετέοι xjMjbjx_j M_j b_j για i≠ji\neq j μηδενίζονται, ενώ ο xiMjbj≡ximodm.x_iM_j b_j\equiv x_i \text{mod} m.

Παράδειγμα Να λυθεί το σύστημα: x≡3mod5x \equiv 3 \text{mod} 5 x≡3mod7x \equiv 3 \text{mod} 7 x≡8mod9x \equiv 8 \text{mod} 9 Λύση Υπολογίζουμε m=5⋅7⋅9=315,m=5\cdot 7 \cdot 9=315, M1=63,M_1=63, Μ2=45Μ_2=45 και M3=35.M_3=35. Οι ισοτιμίες Mix≡1modmi,M_i x \equiv 1 \text{mod} m_i, i=1,2,3i=1,2,3 γράφονται 63x≡1mod5,63x \equiv 1 \text{mod} 5, 45x≡1mod745x \equiv 1 \text{mod} 7 και 35x≡1mod935x \equiv 1 \text{mod} 9 και έχουν λύσεις b1≡2mod5,b_1\equiv 2 \text{mod} 5, b2≡5mod7b_2 \equiv 5 \text{mod} 7 και b3≡8mod9b_3 \equiv 8 \text{mod} 9 αντίστοιχα. Επομένως, η μοναδική λύση του αρχικού συστήματος είναι x0≡(a1M1b1+a2M2b2+a3M3b3)mod315x_0 \equiv (a_1 M_1 b_1+ a_2 M_2 b_2 + a_3 M_3 b_3) \text{mod} 315 δηλαδή x0=143mod315.x_0=143 \text{mod} 315.

Για να λύσουμε το παραπάνω πρόβλημα στο sage δίνουμε

sage:CRT_list([3,3,8], [5,7,9])
143

foo Interactive

Αντιστρέψιμα στοιχεία modulo m.m.

Η εξίσωση ax≡bmodm.ax\equiv b \text{mod} m.

Παρατηρούμε ότι αναγκαία συνθήκη για να έχει λύση η εξίσωση ax≡bmodm ax \equiv b mod m είναι (a,m)∣b.(a,m) \mid b. Η συνθήκη αυτή είναι και ικανή αφού μπορούμε να βρούμε ακέραιους x,y∈ℤx,y \in \mathbb{Z} ώστε ax+by=(a,b). ax +by =(a,b). Άρα, αν (a,b)∣b,(a,b) \mid b, τότε m(a,b)∈ℤ\frac{m}{(a,b)} \in \mathbb{Z} και συνεπώς

axm(a,b)+bym(a,b)=m(a,b)(a,b)=m,a x \frac{m}{(a,b)} +b y\frac{m}{(a,b)}=\frac{m}{(a,b)}(a,b)=m,

όπου τα X:=xm(a,b)X:=x \frac{m}{(a,b)} και Y:=ym(a,b)Y:=y \frac{m}{(a,b)} αποτελούν λύσεις. Αποδείξαμε ότι

η εξίσωση ax+by=dax+b y=d έχει λύσεις αν και μόνο αν (a,b)∣m.(a,b) \mid m.

Αντιστρέψιμα στοιχεία modulo m.m.

Η αντιστρεψιμότητα του στοιχείου amodma mod m είναι ισοδύναμη με την υπάρξη λύσης της εξίσωσης ax≡1modm.ax \equiv 1 mod m. Άρα με βάση την προηγούμενη πρόταση καταλήγουμε στην

Τα αντιστρέψιμα στοιχεία modmmod m είναι αυτά τα οποία έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη (m,a)=1.(m,a)=1.

Ας υπολογίσουμε τον αντίστροφο του 10mod1310 \text{mod} 13

sage:Mod(10,13)^(-1)
4

foo Interactive

Πλήθος αντιστρέψιμων στοιχείων modulo m.m.

Θα συμβολίζουμε με ϕ(m)\phi(m) το πλήθος των στοιχείων 0≤a<m0\leq a <m που είναι πρώτα προς τον m,m, δηλαδή ϕ(m)=∣a∈ℤ:0≤a<m,(a,m)=1∣.\phi(m) = \mid a \in \mathbb{Z}: 0 \leq a <m, (a,m)=1 \mid. Παρατηρούμε ότι αν ο pp είναι πρώτος, τότε ϕ(p)=p−1.\phi(p)=p-1. Ομοίως, στο σύνολο 0≤a≤pt0\leq a \leq p^t υπάρχουν pt−1p^{t-1} αριθμοί που διαιρούνται με p,p, αφού αυτοί είναι της μορφής x=pa′,x=p a^\prime, και 0≤a<pt,0 \leq a < p^t, αν και μόνο αν 0≤a′<pt−1.0 \leq a^\prime < p^{t-1}. Συνεπώς ϕ(pt)=pt−pt−1.\phi(p^t) = p^t-p^{t-1}. Για να υπολογισουμε την τιμή του ϕ\phi σε σύνθετους αριθμούς χρειαζόμαστε την παρακάτω

Αν (m,n)=1(m,n)=1 τότε ισχύει ϕ(m⋅n)=ϕ(m)ϕ(n).\phi(m\cdot n)=\phi(m) \phi(n).

Απόδειξη: Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση ϕ\phi ταυτίζεται με την τάξη της ομάδας των μονάδων U(ℤ/mℤ)U(\mathbb{Z}/m \mathbb{Z}) του δακτυλίου ℤ/mℤ.\mathbb{Z}/m \mathbb{Z}. To θεώρημα του Κινέζου εξασφαλίζει ότι U(ℤmℤ)=∏i=1nU(ℤmiℤ).U \left(\frac{\mathbb{Z}}{m \mathbb{Z}} \right) = \prod_{i=1}^n U\left( \frac{\mathbb{Z}}{ m_i \mathbb{Z}} \right). Από την παραπάνω σχέση προκύπτει το ζητούμενο αποτέλεσμα.

Για κάθε a∈ℤ,a \in \mathbb{Z}, (a,m)=1(a,m) =1 ισχυεί ότι aϕ(m)≡1modm.a^{\phi(m)} \equiv 1 mod m.

Απόδειξη: Η τάξη κάθε στοιχείου στην ομάδα U(ℤ/mℤ)U(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) είναι διαιρέτης της τάξης της ομάδας που είναι ίση με ϕ(m).\phi(m). Το αποτέλεσμα έπεται.

Ας υπολογίσουμε λίγο με τη συνάρτηση του Euler. Θα την υπολογίσουμε με δύο τρόπους για τον n=2015.n=2015. Η συνάρτηση prime divisors επιστρέφει ως λίστα τους πρώτους διαιρέτες του n.n. Παρατηρήστε τη σύνταξη της εντολής prod που διατρέχει τους πρώτους διαιρέτες του n.n. Η συνάρτηση euler_phi είναι η ενσωματωμένη συνάρτηση του sage.

sage:n=2015
sage:prime_divisors(n)
[5, 13, 31]
sage:phi = n*prod([1 - 1/p for p in prime_divisors(n)]); phi
1440
sage:euler_phi(n)
1440

foo Interactive

Αριθμητικές Συναρτήσεις

\;

Μία συνάρτηση f:ℕ→ℂf:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{C} θα λέγεται αριθμητική συνάρτηση.

Ενδιαφέρουσες αριθμητικές συναρτήσεις είναι οι παρακάτω:

d(n)=d(n)= ο αριθμός των (θετικών) διαιρετών του n.n.

σ(n)=\sigma(n)= το άθροισμα των θετικών διαιρετών του n.n.

ϕ(n)=\phi(n)= o αριθμός των θετικών ακέραιων ≤n\leq n που είναι πρώτοι προς τον n.n.

ν(n)=\nu(n)= ο αριθμός των διακεκριμένων πρώτων παραγόντων του nn

Ω(n)=\Omega(n)= ο αριθμός των πρώτων παραγόντων του nn

μ(n)={0 αν ένα τετράγωνο διαιρεί τον n(−1)v(n) αν ο n είναι ελεύθερος τετραγώνου\mu(n)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \text{ αν ένα τετράγωνο διαιρεί τον } n \\ (-1)^{v(n)} & \text{ αν ο } n \text{ είναι ελεύθερος τετραγώνου} \end{array} \right.

Η ϕ(n)\phi(n) λέγεται συνάρτηση του Euler και η μ(n)\mu(n) συνάρτηση του Möbius.

Θεωρούμε τον φυσικό n>1n>1 με ανάλυση n=∏i=1rpiai,n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}, ai>0.a_i>0. Τότε d(n)=∏i=1r(ai+1).d(n)=\prod_{i=1}^r(a_i+1).

Απόδειξη Κάθε διαιρέτης του nn θα έχει μια παράσταση της μορφής m=p1ℓ1p2ℓ2…prℓr,m=p_1^{\ell_1}p_2^{\ell_2}\ldots p_r^{\ell_r}, όπου 0≤ℓi≤ai.0\leq \ell_i \leq a_i. Μάλιστα, κάθε διαιρέτης του nn εμφανίζεται ακριβώς μία φορά στις παραστάσεις της παραπάνω μορφής. Επειδή δε κάθε ℓi\ell_i έχει ai+1a_i+1 δυνατότητες, το πλήθος d(n)d(n) δίνεται από τον παραπάνω τύπο.

Παρατήρησεις:

Η d(n)d(n) μπορεί να γραφεί και ως d(n)=∑d∣n1.d(n)=\sum_{d\mid n} 1.

Ισχύει d(nm)=d(n)d(m)d(nm)=d(n)d(m) για όλους τους φυσικούς n,mn,m με (n,m)=1.(n,m)=1.

Θεωρούμε την ποσότητα σ(n)\sigma(n) η οποία εξ ορισμού γράφεται ως σ(n)=∑d∣nd.\sigma(n)=\sum_{d \mid n} d. Παρατηρούμε ότι όταν το dd διατρέχει τους διαιρέτες του nn το ίδιο κάνει και το n/d,n/d, συνεπώς μπορούμε να γράψουμε: σ(n)=∑d∣nnd=n∑d∣n1n,\sigma(n) =\sum_{d \mid n} \frac{n}{d}=n \sum_{d \mid n} \frac{1}{n}, δηλαδή καταλήγουμε σε έναν τύπο για το άθροισμα των αντιστρόφων των διαιρετών του nn: σ(n)n=∑d∣n1d.\frac{\sigma(n)}{n}=\sum_{d \mid n} \frac{1}{d}.

Aν (a,b)=1,(a,b)=1, τότε σ(ab)=σ(a)σ(b).\sigma(ab)=\sigma(a) \sigma(b).

Απόδειξη Παρατηρούμε ότι σ(ab)=∑d|abd=∑d1∣a,d2∣bd1d2=(∑d1∣ad1)(∑d2∣bd2)=σ(a)σ(b).\sigma(ab)=\sum_{d | ab}d=\sum_{d_1 \mid a, d_2 \mid b}d_1d_2=\left(\sum_{d_1 \mid a}d_1\right)\left(\sum_{d_2\mid b}d_2\right)=\sigma(a)\sigma(b).

Αν n=∏i=1rpiai,n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}, τότε σ(n)=∏i=1rpiai+1−1pi−1.\sigma(n)=\prod_{i=1}^r \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}.

Απόδειξη Υπολογίζουμε ότι σ(pi)=1+pi+pi2+⋯+piai=piai+1−1pi−1.\sigma(p_i)=1+p_i+p_i^2+\cdots+p_i^{a_i}=\frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}. Το ζητούμενο προκύπτει από την ιδιότητα σ(n)=∏i=1rσ(piai).\sigma(n)=\prod_{i=1}^r \sigma(p_i^{a_i}).

Μια αριθμητική συνάρτηση ff θα λέγεται πολλαπλασιαστική όταν:

Υπάρχει n0∈ℕn_0 \in \mathbb{N} ώστε f(n0)≠0f(n_0)\neq 0

Αν (m,n)=1(m,n)=1 τότε f(mn)=f(m)f(n).f(mn)=f(m)f(n).

Αν η ff είναι πολλαπλασιαστική, τότε και η gg που ορίζεται ως g(n)=∑d∣nf(d)g(n)=\sum_{d \mid n} f(d) είναι επίσης πολλαπλασιαστική.

Απόδειξη Αν (m,n)=1,(m,n)=1, όταν το d1d_1 διατρέχει τους διαιρέτες του mm και το d2d_2 διατρέχει τους διαιρέτες του n,n, τότε το d1d2d_1d_2 θα διατρέχει τους διαιρέτες του mn.mn. Συνεπώς g(mn)=∑d∣mnf(d)=∑d1∣m,d2∣nf(d1d2)=g(mn)=\sum_{d \mid mn} f(d)=\sum_{d_1 \mid m, d_2 \mid n} f(d_1 d_2)= =∑d1∣m,d2∣nf(d1)f(d2)==\sum_{d_1 \mid m,d_2 \mid n} f(d_1)f(d_2)= =∑d1∣mf(d1)∑d2∣mf(d2)=g(m)g(n).=\sum_{d_1 \mid m} f(d_1) \sum_{d_2 \mid m} f(d_2)=g(m)g(n).

Παρατήρηση Θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι οι συναρτήσεις d,σd,\sigma είναι πολλαπλασιαστικές παρατηρώντας ότι οι συναρτήσεις f1(n)=1f_1(n)=1 και f2(n)=nf_2(n)=n είναι πολλαπλασιαστικές και κάνοντας χρήση της παραπάνω πρότασης.

Η συνάρτηση του Möbius είναι πολλαπλασιαστική αφού η τιμή της σε ένα πρώτο είναι −1≠0-1 \neq 0 και αν (n,m)=1(n,m)=1 τότε μ(nm)=μ(n)μ(m).\mu(nm)=\mu(n)\mu(m). Το τελευταίο ισχύει, διότι αν κάποιος από τους δύο αριθμούς διαιρείται με το τετράγωνο ακέραιου, τότε μ(n)μ(m)=0=μ(nm),\mu(n)\mu(m)=0=\mu(nm), ενώ αν m=p1⋯pμ,m=p_1\cdots p_\mu, n=q1⋯qsn=q_1\cdots q_s με pi≠pjp_i\neq p_j και qi≠qjq_i \neq q_j για i≠ji\neq j και αφού (n,m)=1(n,m)=1 έχουμε μ(nm)=(−1)μ+s=(−1)μ(−1)s=μ(m)μ(n).\mu(nm)=(-1)^{\mu+s}=(-1)^\mu(-1)^s=\mu(m)\mu(n).

Έστω n∏i=1rpinin\prod_{i=1}^r p_i^{n_i} η ανάλυση ενός φυσικού σε πρώτους παράγοντες. Αν η ff είναι πολλαπλασιαστική, τότε

∑d∣nf(d)=∏i=1r(1+f(pi)+⋯+f(pini))\sum_{d \mid n}f(d)= \prod_{i=1}^r \left(1+f(p_i)+\cdots+f(p_i^{n_i}) \right)

∑d∣nμ(d)f(d)=∏i=1r(1−f(pi)).\sum_{d \mid n} \mu(d)f(d)=\prod_{i=1}^r (1-f(p_i)).

Απόδειξη Υπολογίζουμε ότι ∑d∣nf(d)=∑m1,…,mr=0n1,…,nrf(p1m1)f(p2m2)⋯f(prmr)=\sum_{d \mid n}f(d)=\sum_{m_1,\ldots,m_r=0}^{n_1,\ldots,n_r} f(p_1^{m_1})f(p_2^{m_2})\cdots f(p_r^{m_r})=

∑m1=0n1f(p1m1)∑m2n2f(p2m2)⋯∑mr=0nrf(prmr)\sum_{m_1=0}^{n_1} f(p_1^{m_1}) \sum_{m_2}^{n_2} f(p_2^{m_2}) \cdots \sum_{m_r=0}^{n_r} f(p_r^{m_r}) από όπου προκύπτει η πρώτη σχέση.

Η δεύτερη σχέση είναι συνέπεια της πρώτης, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι το γινόμενο δύο πολλαπλασιαστικών συναρτήσεων είναι πολλαπλασιαστικό και ότι f(pi)μ(pi)=0ανi≥2,f(p^i)\mu(p^i)=0 \mbox{ αν } i\geq 2, ενώ f(p)μ(p)=−f(p).f(p)\mu(p)=-f(p).

Παρατήρηση Ισχύει ότι ∑d∣nμ(d)={0 αν n>11 αν n=1.\sum_{d\mid n} \mu(d)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \text{ αν } n>1 \\ 1 & \text{ αν } n=1 \end{array} \right..

Έστω f,gf,g αριθμητικές συναρτήσεις. Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

g(n)=∑d∣nf(d)g(n)=\sum_{d \mid n} f(d)

f(n)=∑d∣nμ(n/d)g(d)f(n)=\sum_{d\mid n} \mu(n/d) g(d)

Απόδειξη Θα αποδείξουμε πρώτα ότι 1⇒2.1 \Rightarrow 2. Υπολογίζουμε ∑d∣nμ(n/d)g(d)=∑d∣nμ(n/d)∑t∣df(t)=∑t∣d∣nμ(n/d)f(t)\sum_{d \mid n} \mu(n/d)g(d)=\sum_{d \mid n} \mu(n/d)\sum_{t \mid d}f(t)= \sum_{t \mid d \mid n} \mu(n/d) f(t) Παρατηρούμε ότι το tt διατρέχει όλους τους διαιρέτες του n,n, ενώ το dd διατρέχει όλους τους διαιρέτες του nn για τους οποίους ισχύει t∣d.t\mid d. Αυτό είναι ισοδύναμο με nd∣nt.\frac{n}{d} \mid \frac{n}{t}. Θέτουμε d′:=n/d.d':=n/d. Ισχύει: ∑t∣d∣nμ(n/d)f(t)=∑t∣n∑nd∣ntμ(n/d)=∑t∣nf(t)∑d′∣ntμ(d′)\sum_{t\mid d \mid n} \mu(n/d)f(t)=\sum_{t\mid n} \sum_{\frac{n}{d} \mid \frac{n}{t}} \mu(n/d)=\sum_{t \mid n} f(t) \sum_{d' \mid \frac{n}{t}} \mu(d') =f(n).=f(n). Θα δείξουμε τώρα ότι 2⇒1.2 \Rightarrow 1. Έχουμε ∑d∣nf(d)=∑d∣n∑t∣dμ(d/t)g(t)=\sum_{d\mid n}f(d)=\sum_{d\mid n}\sum_{t\mid d}\mu(d/t)g(t)= =∑t∣ng(t)∑nd∣ntμ(d/t)==\sum_{t\mid n} g(t)\sum_{\frac{n}{d} \mid \frac{n}{t}} \mu(d/t)= ∑t∣ng(t)∑d′∣ntμ(nd′t)=\sum_{t \mid n} g(t) \sum_{d' \mid \frac{n}{t}} \mu\left(\frac{n}{d't}\right)= ∑t∣ng(t)ϵ(n/t)=g(n).\sum_{t \mid n}g(t)\epsilon(n/t)=g(n). Με χρήση του νόμου αντιστροφής μπορούμε να αποδείξουμε

Αν η αριθμητική συνάρτηση g(n)g(n) είναι πολλαπλασιαστική και g(n)=∑d∣nf(d)g(n)=\sum_{d\mid n} f(d) για n≥1,n\geq 1, τότε και η ff είναι πολλαπλασιαστική.

Απόδειξη Αφού g(n)=∑d∣nf(d)g(n)=\sum_{d\mid n} f(d) έχουμε ότι f(n)=∑d∣nμ(d)g(n/d).f(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d) g(n/d).

Για κάθε θετικό ακέραιο, ισχύει n=∑d∣nϕ(d).n=\sum_{d\mid n} \phi(d).

Απόδειξη Σε κάθε διαιρέτη dd του nn αντιστοιχίζουμε όλους τους ακέραιους τους μικρότερους ή ίσους του n,n, των οποίων ο μέγιστος κοινός διαιρέτης με τον nn είναι ακριβώς d.d. Προφανώς κάθε ακέραιος ≤n\leq n αντιστοιχεί σε ακριβώς έναν d.d.

Σε κάποιον dd αντιστοιχούν ακριβώς εκέινοι από τους d,2d,…,kd,…,(n/d)dd,2d,\ldots,kd,\ldots,(n/d)d για τους οποίους ισχύει (kd,n)=d,(kd,n)=d, δηλαδή οι ακέραιοι για τους οποίους (k,n/d)=1(k,n/d)=1 και k≤n/d.k\leq n/d. Σύμφωνα με τον ορισμό της συνάρτησης του Euler το πλήθος αυτών είναι ϕ(n/d).\phi(n/d). Αν τους προσθέσουμε θα πρέπει να βρούμε nn δηλαδή: n=∑d∣nϕ(n/d)=∑d∣nϕ(d).n=\sum_{d\mid n} \phi(n/d)=\sum_{d \mid n} \phi(d).

Ας πιστοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο στο sage

sage:n=24
     divisors(n)
[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24]
sage:sum([euler_phi(d) for d in divisors(n)])
24

foo Interactive

Παρατήρηση

Αφού η συνάρτηση n↦nn \mapsto n είναι πολλαπλασιαστική και η συνάρτηση ϕ\phi είναι.

Για κάθε θετικό ακέραιο nn ισχύει ϕ(n)=n∑d∣nμ(d)d.\phi(n)=n\sum_{d\mid n} \frac{\mu(d)}{d}. Πράγματι αρκεί να γράψουμε ϕ(n)=∑d∣nμ(n/d)g(d)=∑d∣nμ(d)g(n/d)=∑d∣nnμ(d)d=n∑d∣nμ(d)d.\phi(n)=\sum_{d\mid n} \mu(n/d)g(d)=\sum_{d \mid n} \mu(d) g(n/d)=\sum_{d\mid n } \frac{n \mu(d)}{d}=n\sum_{d\mid n} \frac{\mu(d)}{d}.

Παρατήρηση Αν έχουμε δύο αριθμητικές συναρτήσεις f,g,f,g, τότε σχηματίζουμε τη συνέλιξη Dirichlet η οποία ορίζεται ως f*g=∑d∣nf(d)g(nd).f\ast g=\sum_{d \mid n} f(d) g\left( \frac{n}{d}\right). Η παραπάνω πράξη είναι προσεταιριστική (f*g)*h=f*(g*h)(f \ast g) \ast h=f \ast (g \ast h) επιμεριστική ως προς την πρόσθεση f*g=g*ff \ast g = g \ast f έχει ένα ουδέτερο στοιχείο το ϵ\epsilon που ορίζεται ως ϵ(1)={1 αν n=10 αν n≠1,\epsilon(1)= \left\{\begin{array}{cc} 1 & \text{ αν } n=1 \\ 0 & \text{ αν } n\neq 1 \end{array}\right., και για κάθε συνάρτηση ff με f(1)≠0f(1)\neq 0 υπάρχει gg ώστε f*g=ϵ.f\ast g =\epsilon.

Για μία αριθμητική συνάρτηση ορίζουμε μία σειρά Dirichlet DG(f;s)=∑n=1∞f(n)ns,DG(f;s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{ f(n)}{n^s}, η οποία ορίζει μια μιγαδική συνάρτηση για όλα τα s∈ℂs\in \mathbb{C} στα οποία συγκλίνει.

Ο πολλαπλασιασμός Dirichlet είναι συμβατός με τις σειρές Dirichlet σαν οι σειρές Dirichlet να ήταν ένας μετασχηματισμός Fourier: DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s).DG(f;s)DG(g;s)=DG(f \ast g;s).

Το θεώρημα των πρώτων αριθμών

Το θεώρημα των πρώτων αριθμών καθορίζει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών, δηλαδή μία περιγραφή του πώς οι πρώτοι αριθμοί κατανέμονται ανάμεσα στους θετικούς αριθμούς. Το θεώρημα αυτό μας περιγράφει μεταξύ άλλων πόσο πιθανό είναι αν επιλέξουμε έναν αριθμό μικρότερο του xx να είναι ο αριθμός αυτός πρώτος.

Θεωρούμε τη συνάρτηση π(x)\pi(x) η οποία μετράει πόσοι πρώτοι αριθμοί είναι μικρότεροι του x,x, δηλαδή π(x)=#{p∈ℕ:p≤x,p πρώτος}.\pi(x)=\#\{p\in \mathbb{N}: p\leq x, p \text{ πρώτος} \}.

sage:prime_pi(123456789)
7027260

Γραφική παράσταση της π(x)\pi(x) (μπλέ) και της x/log(x)x/\log(x) (κόκκινο) μέχρι το 10001000

Η συνάρηση π(x)\pi(x) είναι ασυμπτωτική στη συνάρτηση x/log(x),x/\log(x), δηλαδή limx→∞π(x)x/log(x)=1.\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log(x)} =1.

Η απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος είναι εκτός του σκοπού αυτού του βιβλίου.

Ασκήσεις

Θεωρούμε το πολυώνυμο με συντελεστές από το ℤ\mathbb{Z} της μορφής f(x)=∑i=0naixi.f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i. Δείξτε ότι αν το f(x)f(x) έχει ρητή ρίζα q=a/bq=a/b (a,b)=1,(a,b)=1, τότε b∣anb \mid a_n και a∣a0.a\mid a_0. Να δείξετε ότι οι αριθμοί 313\sqrt[13]{3} και 53\sqrt[3]{5} δεν είναι ρητοί.

Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός 100m+n100m+n διαιρείται δια του 7,7, αν ο αριθμός 2m+n2m+n διαιρείται δια του 7.7.

Να αποδειχτεί ότι ένας αριθμός διαιρείται διά του 33 ή του 9,9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται δια του 33 ή του 9,9, αντίστοιχα.

Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός 3n2+1,3n^2+1, n∈ℕ,n\in \mathbb{N}, δεν μπορεί να είναι το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού.

Αν για τους φυσικούς αριθμούς m,nm,n ισχύει m<nm < n να αποδειχτεί ότι 22m+12^{2^m}+1 διαιρεί το 22n−1.2^{2^n}-1.

Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό n>0n>0 ισχύει ότι το 1010 δεν διαιρεί το (n−1)!+1.(n-1)!+1.

Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός 24n+2+12^{4n+2}+1 δεν είναι πρώτος για n≥1.n\geq 1.

Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός n4+4n^4+4 δεν είναι πρώτος για n≥1.n\geq 1.

Αν pnp_n συμβολίζει τον nn-οστό πρώτο αριθμό, να αποδειχτεί ότι pn−1≥n+2p_{n-1} \geq n+2 για n≥5.n\geq 5.

Πότε ο αριθμός (p−1)!+1(p-1)!+1 είναι δύναμη του p,p, όπου pp πρώτος αριθμός;

Να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών 625625 και 231231 και να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός με συντελεστές ακέραιους των παραπάνω αριθμών.

Να αποδειχτεί ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών αριθμών διαιρείται διά του 24.24.

Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό nn ισχύει ∑d∣nμ2(d)ϕ(d)=nϕ(n).\sum_{d \mid n}\frac{\mu^{2}(d)}{\phi(d)}=\frac{n}{\phi(n)}.

Να αποδειχτεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό nn ισχύει ∑d∣nμ(d)ϕ(d)=∏p∣n(2−p).\sum_{d\mid n}\mu(d) \phi(d)=\prod_{p\mid n}(2-p).

Να βρεθεί το πλήθος και το άθροισμα των φυσικών διαιρετών του 1440.1440.

Να αποδειχτεί ότι για κάθε ακέραιο αριθμό aa ισχύει a2≡0ή1ή4mod8.a^2\equiv 0 \mbox{ ή } 1 \mbox{ ή } 4 \mbox{mod} 8.

Αν p,qp,q είναι πρώτοι αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους, να αποδειχτεί ότι pq−1+qp−1≡1modpq.p^{q-1}+q^{p-1} \equiv 1 \mbox{mod} pq.

Αν για τον ακέραιο αριθμό aa και για τον φυσικό αριθμό mm ισχύει (a,m)=1(a,m)=1 και (a−1,m)=1,(a-1,m)=1, να αποδειχτεί ότι ισχύει: 1+a+a2+⋯+aϕ(m)−1≡0modm.1+a+a^2+\cdots+a^{\phi(m)-1} \equiv 0 \mbox{mod} m.

Αν 0<s<p,0 < s < p, όπου pp πρώτος αριθμός, να αποδειχτεί ότι ισχύει (s−1)!(p−s)!+(−1)s−1≡0modp.(s-1)!(p-s)!+ (-1)^{s-1}\equiv 0 \mbox{mod} p.

Να λυθεί το σύστημα x≡3mod25,x≡1mod27,x≡4mod11.x\equiv 3 \mbox{mod} 25, x\equiv 1 \mbox{mod} 27, x\equiv 4 \mbox{mod} 11.

Βιβλιογραφία

Stein, W. 2008. Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets: A Computational Approach. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer New York. https://books.google.gr/books?id=5hYd0yX4mrMC.

Αντωνιάδης, Ι., και A. Κοντογεώργης. 2015. Θεωρία Αριθμών Και Εφαρμογές. Εκδόσεις Κάλλιπος.

Λάκκης, Κ. 1990. Θεωρία Αριθμών. Εκδόσεις Ζήτη.

Στοιχεία Θεωρίας Δακτυλίων

Βασικοί ορισμοί

Στο πρώτο κεφάλαιο είδαμε βασικά στοιχεία της αριθμητικής του δακτυλίου των ακέραιων ℤ.\mathbb{Z}. Θα δούμε ότι είναι χρήσιμο να αντικαταστήσουμε τον δακτύλιο ℤ\mathbb{Z} με έναν γενικότερο δακτύλιο R.R.

Ο άνθρωπος σκέφτεται αφαιρετικά. Μία από τις πρώτες αφαιρέσεις που μαθαίνει κανείς είναι αυτή των φυσικών αριθμών. Η έννοια του αριθμού 33 εκφράζει τον πληθικό αριθμό ενός συνόλου και είναι ανεξάρτητη από τη φύση των στοιχείων που περιέχει το σύνολο με 33 το πλήθος στοιχεία. Το επόμενο βήμα είναι να απομονώσουμε τις πράξεις από τη φύση των συνόλων στα οποία αναφέρονται και να μελετήσουμε τις ιδιότητες των πράξεων από μόνες τους.

Ξεκινάμε να δώσουμε μερικούς ορισμούς. Για περισσότερες πληροφορίες ο αναγνώστης μπορεί να συμβολευτεί ένα οποιοδήποτε βιβλίο άλγεβρας, όπως το (Βάρσος και άλλοι 2012), (Fraleigh 2011).

Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος RR με μονάδιαίο είναι ένα σύνολο RR εφοδιασμένο με δύο πράξεις +:R×R→R+: R\times R \rightarrow R

(x,y)↦x+y(x,y) \mapsto x+y και ⋅:R×R→R\cdot: R \times R \rightarrow R

(x,y)↦x⋅y,(x,y) \mapsto x\cdot y, οι οποίες ικανοποιούν (για κάθε x,y,z∈Rx,y,z \in R):

x+(y+z)=(x+y)+zx+(y+z)=(x+y)+z

x⋅(y⋅z)=(x⋅y)⋅zx\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z

x(y+z)=xy+xzx (y+z)=xy+ xz

Επιπλέον, απαιτούμε να υπάρχουν στοιχεία 1,0∈R,1,0\in R, 1≠0,1\neq 0, ώστε 0+x=01x=x0+x=0 \;\; 1x=x και για κάθε στοιχείο x∈Rx\in R απαιτούμε να υπάρχει ένα στοιχείο −x∈R-x\in R ώστε x+(−x)=0.x+ (-x)=0. x⋅y=y⋅xx\cdot y=y \cdot x

Παραδείγματα

Ο δακτύλιος ℤ\mathbb{Z} των ακέραιων αριθμών εφοδιασμένος με τις συνηθισμένες πράξεις είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος με μονάδα.

Ο δακτύλιος των πολυωνύμων R[x]R[x] με συντελεστές από έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο RR αποτελεί αντιμεταθετικό δακτύλιο με μοναδιαίο. Για παράδειγμα, μπορούμε να θεωρήσουμε τον δακτύλιο ℤ[x],\mathbb{Z}[x], αλλά και να συνεχίσουμε επαγωγικά για να ορίζουμε τον δακτύλιο ℤ[x,y]=ℤ[x][y].\mathbb{Z}[x,y]=\mathbb{Z}[x][y].

Σε έναν δακτύλιο RR θέλουμε να δημιουργήσουμε δακτύλιους πηλίκο ως προς κατάλληλες σχέσεις ισοδυναμίας. Για να το επιτύχουμε χρειαζόμαστε την έννοια του ιδεώδους:

Ένα υποσύνολο I≠∅I\neq \emptyset του δακτύλιου RR είναι ιδεώδες αν για κάθε x,y∈Ix,y \in I ισχύει x−y∈Ix-y \in I και αν για κάθε x∈Ix\in I και r∈Rr\in R ισχύει rx∈Irx \in I

Παράδειγμα Αν επιλέξουμε ένα στοιχείο f∈Rf\in R μπορούμε να θεωρήσουμε το ιδεώδες fRfR που αποτελείται από όλα τα πολλαπλάσια του f.f. Ιδεώδη αυτής της μορφής θα λέγονται κύρια.

Θα αποδείξουμε στη συνέχεια ότι κάθε ιδεώδες των δακτυλίων ℤ\mathbb{Z} και 𝔽[x],\mathbb{F}[x], όπου 𝔽\mathbb{F} είναι σώμα, είναι κύριο. Αντιθέτως στον δακτύλιο 𝔽[x,y]\mathbb{F}[x,y] το ιδεώδες ⟨x,y⟩\langle x,y \rangle που παράγεται από τα x,yx,y δεν είναι κύριο.

Παρατήρηση Από τις ιδιότητες του δακτυλίου είναι άμεσο ότι 0⋅a=0.0 \cdot a =0. Πράγματι

0⋅a=(0+0)a=0⋅a+0⋅a0\cdot a=(0+0)a=0\cdot a+0\cdot a άρα 0⋅a=0.0\cdot a=0.

Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο θα λέγεται ακέραια περιοχή αν και μόνο αν

x⋅y=0x\cdot y=0 συνεπάγεται x=0x=0 ή y=0.y=0.

Παράδειγμα O δακτύλιος ℤ\mathbb{Z} είναι ακέραια περιοχή. Αντιθέτως, ο δακτύλιος ℤ/6ℤ\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} δεν είναι ακέραια περιοχή, αφού 2≠02\neq 0 και 3≠03\neq 0 όμως 2⋅3≡0modp.2\cdot 3 \equiv 0 \text{mod} p.

Μια ακέραια περιοχή θα λέγεται περιοχή κύριων ιδεωδών όταν κάθε ιδεώδες της είναι κύριο.

Ένα σύνολο GG θα λέγεται ομάδα αν είναι εφοδιασμένο με μία πράξη ⋅:G×G→G\cdot: G \times G \rightarrow G (g,g′)↦gg′(g,g') \mapsto gg' ώστε για κάθε g1,g2,g3g_1,g_2,g_3 να ισχύουν g1(g2g3)=(g1g2)g3g_1 (g_2 g_3)=(g_1 g_2)g_3 Υπάρχει στοιχείο e∈Ge\in G ώστε για κάθε g∈Gg\in G eg=ge=ge g=g e=g Για κάθε στοιχείο g∈Gg\in G υπάρχει g−1∈Gg^{-1}\in G ώστε gg−1=g−1g=eg g^{-1}=g^{-1}g=e Αν επιπλέον για κάθε g,g′∈Gg,g'\in G ισχύει gg′=g′ggg'=g'g τότε η ομάδα λέγεται αντιμεταθετική ή αβελιανή.

Παράδειγματα

Η πράξη ++ σε κάθε δακτύλιο RR δίνει στον RR δομή αβελιανής ομάδας.

Σε κάθε δακτύλιο RR μπορούμε να ορίσουμε την ομάδα των μονάδων

U(R)={x∈RU(R)=\{x\in R για τα οποία υπάρχει x−1∈Rx^{-1}\in R ώστε xx−1=1}.xx^{-1}=1 \}.

Παρατηρούμε ότι U(ℤ)={±1}.U(\mathbb{Z})=\{\pm 1\}. Επίσης U(ℝ[x])=ℝ*.U(\mathbb{R}[x])=\mathbb{R}^*. Τέλος ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα είναι η δομή της ομάδας U((ℤ/nℤ)*)U\big( (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \big) η οποία έχει ϕ(n)\phi(n) το πλήθος στοιχεία.

Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος RR με μοναδιαίο στοιχείο 1R1_R για τον οποίο ισχύει U(R)=R−{0}U(R)=R-\{0\} θα λέγεται σώμα.

Παρατήρηση Αν ένα ιδεώδες II περιέχει ένα στοιχείο του U(R),U(R), τότε I=R.I=R. Πράγματι, ένα τέτοιο ιδεώδες περιέχει το 11 του RR και συνεπώς όλο τον δακτύλιο. Αυτό έχει ως συνέπεια ότι κάθε ιδεώδες ενός σώματος είναι ή μηδενικό ή όλος ο δακτύλιος R.R.

Παρατήρηση Το ℤ\mathbb{Z} είναι ακέραια περιοχή αλλά όχι σώμα. Αν όμως έχουμε μια πεπερασμένη ακέραια περιοχή, τότε αναγκαστικά αυτή είναι σώμα. Πράγματι γράφουμε όλα τα στοιχεία της στη μορφή a1=0,a2=1,…,an.a_1=0, a_2=1, \ldots, a_n. Θεωρούμε στη συνέχεια ένα μη μηδενικό στοιχείο a∈Ra \in R και πολλάπλασιάζουμε κάθε στοιχείο με a.a. Τα στοιχεία aa1=0,aa2,…,aana a_1=0, a a_2, \ldots, a a_n
είναι ανά δύο διαφορετικά, αφού, αν aai=aaj,a a_i = a a_j, τότε a(ai−aj)=0a(a_i-a_j)=0 άρα αφού έχουμε ακέραια περιοχή και a≠0a\neq 0 θα έχουμε ai=aj.a_i = a_j. Άρα με τον πολλαπλασιασμό με aa παίρνουμε κάθε στοιχείο του δακτυλίου R,R, άρα για κάποιο aia_i θα πάρουμε aai=1.a a_i=1.

Δακτύλιος πηλίκο

Όπως ακριβώς κάναμε στους δακτυλίους ℤ/mℤ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} ορίζουμε για ένα ιδεώδες II τη σχέση ισοδυναμίας a∼b⇔b−a∈I.a \sim b \Leftrightarrow b-a \in I. Το ότι το παραπάνω είναι μια σχέση ισοδυναμίας είναι άμεσο από τις ιδιότητες του ιδεώδους. Ως μια σχέση ισοδυναμίας χωρίζει τον δακτύλιο σε μια ξένη ένωση κλάσεων ισοδυναμίας. Το σύνολο πηλίκο R/IR/I αποτελείται από αυτές τις κλάσεις ισοδυναμίας.

Ένα τυχαίο στοιχείο του R/IR/I αποτελείται από στοιχεία της μορφής a+I={a+i,i∈I},a+I=\{a+i, i\in I \}, ενώ εξ ορισμού a+I=b+Ia+I=b+I αν και μόνο αν a=b+ia=b+i για κάποιο i∈I.i\in I.

Θα δείξουμε ότι το R/IR/I μπορεί να εφοδιαστεί με δομή δακτυλίου. Πράγματι, ορίζουμε το άθροισμα των κλάσεων

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I(a+I) + (b+I)=(a+b)+I (a+I)(b+I)=ab+I.(a+I)(b+I)=ab+I. Οι παραπάνω πράξεις ορίστηκαν με βάση τους αντιπροσώπους των κλάσεων. Θα πρέπει να δείξουμε ότι είναι καλά ορισμένες, δηλαδή ανεξάρτητες των αντιπροσώπων που ορίζουν μια κλάση. Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι a+I=a′+Ia+I=a'+I και b+I=b′+I,b+ I =b'+I, δηλαδή a′=a+x,a'=a+x, b′=b+yb'=b+y για κάποια στοιχεία x,y∈I.x,y \in I. Θα πρέπει να δείξουμε ότι a+b∼a′+b′a+b \sim a'+b' και ότι ab∼a′b′.ab\sim a'b'. Πράγματι, το πρώτο ισχύει αφού a′+b′=a+b+x+ya'+b'=a+b+x+y και x+y∈I.x+y \in I. Για το δεύτερο έχουμε a′b′=(a+x)(b+y)=ab+xb+xy+ay, a' b' =(a+x)(b+y)=ab+ x b +xy +ay, και το ζητούμενο ισχύει αφού από τις ιδιότητες του ιδεώδους xb+xy+ay∈I.xb+ xy+ay \in I.

Από τη στιγμή που έχουμε δείξει ότι οι πράξεις είναι καλά ορισμένες οι υπόλοιπες ιδιότητες του δακτυλίου κληρονομούνται από αυτές του R.R.

Η μονάδα του δακτυλίου R/IR/I είναι το στοιχείο 1+I1+I ενώ το μηδενικό είναι το στοιχείο 0+I.0+I.

Ομομορφισμοί δακτυλίων

Μία συνάρτηση ϕ:R→S\phi:R \rightarrow S θα λέγεται ομομορφισμός δακτυλίων αν για κάθε x,y∈Rx,y \in R ϕ(x+y)=ϕ(x)+ϕ(y)\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y) και ϕ(xy)=ϕ(x)ϕ(y).\phi(xy)=\phi(x)\phi(y). Ένας ομομορφισμός που είναι επί θα λέγεται επιμορφισμός, ένας ομορφισμός που είναι 1-1 θα λέγεται μονομορφισμός και ένας μονομορφισμός που είναι ταυτόχρονα και επιμορφισμός θα λέγεται ισομορφισμός.

Θα ονομάζουμε πυρήνα ένος ομομορφισμού και θα το συμβολίζουμε με ker(ϕ)\text{ker}(\phi) το σύνολο: ker(ϕ)={x∈R:ϕ(x)=0}.\text{ker}(\phi)=\{x\in R: \phi(x)=0\}.

Θα ονομάζουμε εικόνα ενός ομομορφισμού τον υποδακτύλιο του SS που αποτελείται από τα στοιχεία yy για τα οποία υπάρχει x∈Rx\in R ώστε y=ϕ(x).y=\phi(x). Την εικόνα θα τη συμβολίζουμε με Im(ϕ).\text{Im}(\phi).

Παρατήρησεις

O πυρήνας ενός ομορφισμού είναι ιδεώδες του δακτυλίου R.R.

Ένας ομομορφισμός ϕ\phi είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν kerϕ={0}.\text{ker}\phi=\{0\}.

Εξ ορισμού η συνάρτηση π:R→R/I\pi: R \rightarrow R/I x↦x+Ix\mapsto x+I είναι επιμορφισμός.

Θεωρούμε έναν ομομορφισμό ϕ:R→S\phi:R \rightarrow S δακτυλίων. Υπάρχει μονομορφισμός ϕ¯:R/kerϕ→Im(ϕ)⊂S\overline{\phi}:R/\text{ker}{\phi} \rightarrow \text{Im}(\phi) \subset S ο οποίος ικανοποιεί επιπλέον ϕ¯∘π=ϕ.\overline{\phi}\circ \pi=\phi. Οι δακτύλιοι R/ker(ϕ)R/\text{ker}(\phi) και Im(ϕ)\text{Im}(\phi) είναι ισόμορφοι.

Απόδειξη: Θεωρούμε το σύνολο R/IR/I το οποίο αποτελείται από τις κλάσεις x+ker(ϕ).x+\text{ker}(\phi). Ορίζουμε ϕ¯(x+I)=ϕ(x).\overline{\phi}(x+I)=\phi(x). Η συνάρτηση αυτή, αν είναι καλά ορισμένη, είναι ομομορφισμός και ικανοποιεί εκ κατασκευής την ιδιότητα ϕ¯∘π=ϕ.\overline{\phi}\circ \pi=\phi.

Χρειάζεται να αποδείξουμε ότι είναι καλά ορισμένη γιατί την ορίσαμε με βάση τον αντιπρόσωπο της κλάσης και πρέπει να δείξουμε ότι είναι ανεξάρτητη του αντιπροσώπου.

Όμως, αν x+ker(ϕ)=y+ker(ϕ),x+\text{ker}(\phi)=y+\text{ker}(\phi), τότε x=y+h,x=y+h, όπου h∈ker(ϕ).h\in \text{ker}(\phi). Άρα ϕ(x)=ϕ(x+h)=ϕ(x)+ϕ(h)=ϕ(x).\phi(x)=\phi(x+h)=\phi(x)+\phi(h)=\phi(x).

Τέλος, για να δείξουμε ότι η ϕ\phi είναι μονομορφισμός παρατηρούμε ότι ker(ϕ¯)={x+ker(ϕ):ϕ(x)=0}\text{ker}(\overline{\phi})=\{x+\text{ker}(\phi): \phi(x)=0\} και αυτό σημαίνει ότι x∈kerϕ,x\in \ker{\phi}, δηλαδή o πυρήνας της ϕ¯\overline{\phi} είναι το μηδενικό στοιχείο του δακτυλίου R/ker(ϕ).R/\text{ker}(\phi). □\Box

Για τις ανάγκες αυτού του μαθήματος θα χρειαστούμε τους δακτυλίους ℤ\mathbb{Z} και 𝔽[x],\mathbb{F}[x], όπου το FF είναι ένα σώμα. Οι δακτύλιοι αυτοί μοιράζονται πολλές ιδιότητες και οι ομοιότητές τους ήταν μία από τις κινητήριες δυνάμεις στην ανάπτυξη της θεωρίας αριθμών και της αριθμητικής γεωμετρίας

Και στους δύο δακτυλίους υπάρχει ένα θεώρημα διαίρεσης με πηλίκο και υπόλοιπο.

Πολυώνυμα

\;

Θεωρούμε την ακέραια περιοχή R.R. Ορίζουμε τον δακτύλιο R[x]R[x] να έχει ως στοιχεία του τα πολυώνυμα, δηλαδή πεπερασμένα αθροίσματα f(x)=∑ν=0naνxn,f(x)=\sum_{\nu=0}^n a_\nu x^n, όπου aν∈R.a_\nu \in R. Το μεγαλύτερο ν\nu ώστε aν≠0a_\nu \neq 0 ονομάζεται βαθμός του πολυωνύμου και θα το συμβολίζουμε με deg(f).\text{deg}(f).

Το άθροισμα δύο πολυωνύμων f(t)=∑ν=0naνxnf(t)=\sum_{\nu=0}^n {a_\nu} x^n και g(t)=∑ν=0mbνxng(t)=\sum_{\nu=0}^m {b_\nu} x^n το ορίζουμε ως f(t)+g(t)=∑ν=0n(aν+bν)xn,f(t)+g(t)= \sum_{\nu=0}^n (a_\nu+b_\nu) x^n, όπου αν n<mn<m θέσαμε aν=0a\nu=0 για τα ν>n.\nu > n.

Το γινόμενο δύο πολυωνύμων ορίζεται ως εξής: f(t)⋅g(t)=∑ν=0n∑μ=0maνbμxν+μf(t)\cdot g(t)=\sum_{\nu=0}^n\sum_{\mu=0}^m a_\nu b_\mu x^{\nu+\mu} =∑ν=0n+m∑μ=0n+maνbn+m−μxν= \sum_{\nu=0}^{n+m} \sum_{\mu=0}^{n+m} a_\nu b_{n+m-\mu} x^{\nu}

Με 𝔽\mathbb{F} θα συμβολίζουμε ένα σώμα. Η συνάρτηση βαθμού deg:𝔽[x]−{0}→ℕ,\text{deg}:\mathbb{F}[x]-\{0\} \rightarrow \mathbb{N}, ικανοποιεί deg(f+g)≤max(deg(f),deg(g))\text{deg}(f+g) \leq \text{max}(\text{deg}(f),\text{deg}(g)) deg(fg)=deg(f)+def(g).\text{deg}(fg)=\text{deg}(f)+\text{def}(g).

Παρατηρήστε ότι δεν ορίζουμε τον βαθμό του μηδενικού πολυωνύμου.

Για κάθε δύο στοιχεία a,b∈ℤa,b\in \mathbb{Z} υπάρχουν στοιχεία π,u∈ℤ\pi,u\in \mathbb{Z} ώστε a=bπ+ua=b\pi+u με 0≤u<|b|.0\leq u < |b|.

Για κάθε δύο στοιχεία a,b∈𝔽[x]a,b\in \mathbb{F}[x] υπάρχουν στοιχεία π,u∈𝔽[x]\pi,u\in \mathbb{F}[x] ώστε a=bπ+ua=b\pi+u με u=0u=0 ή 0 degu<deg(b).0\text{ deg} u < \text{deg}(b).

Άμεση εφαρμογή του παραπάνω Θεωρήματος είναι το

Κάθε ιδεώδες του δακτυλίου ℤ\mathbb{Z} ή 𝔽[x]\mathbb{F}[x] είναι κύριο.

Απόδειξη Αν έχουμε ένα ιδεώδες του ℤ\mathbb{Z} το οποίο είναι μη μηδενικό, τότε έχει ένα στοιχείο που είναι θετικό. Θεωρούμε το ελάχιστο στοιχείο nn του μη κενού συνόλου των θετικών στοιχείων του ιδεώδους I.I. Κάθε στοιχείο aa του ΙΙ είναι πολλαπλάσιο του n.n. Αυτό γιατί αν γράψουμε το τυχαίο στοιχείο a∈Ia \in I ως a=πn+u,0≤u<n,a=\pi n + u, 0 \leq u < n, τότε το u∈Iu \in I και συνεπώς είναι μηδενικό, αλλιώς το nn δεν θα ήταν το ελάχιστο θετικό στοιχείο του ιδεώδους.

Στην περίπτωση που το ΙΙ δεν είναι μηδενικό ιδεώδες του δακτυλίου 𝔽[x]\mathbb{F}[x] θα έχει ένα στοιχείο gg ελαχίστου βαθμού. Κάθε στοιχείο a∈Ia \in I είναι αναγκαστικά πολλαπλάσιο του g.g. Σε διαφορετική περίπτωση γράφουμε a=gπ+u,deg(u)<deg(g)a = g\pi + u, \text{deg}(u) < \text{deg}(g) και αφού το u∈I,u\in I, καταλήγουμε σε άτοπο (το gg κατασκευάστηκε να είναι ελαχίστου βαθμού στο ιδεώδες). □\Box

Ανάγωγα Πολυώνυμα Κριτήρια Αναγωγισιμότητας

Έστω RR μια ακέραια περιοχή. Ένα πολυώνυμο f∈R[x]f\in R[x] θα λέγεται ανάγωγο αν δεν μπορεί να διασπαστεί ως γινόμενο δύο πολυωνύμων f=ghf=gh με deg(g),deg(h)≥1.\text{deg}(g),\text{deg}(h) \geq 1.

Παρατήρησεις:

Το πολυώνυμο ff είναι ανάγωγο αν και μόνο αν το ιδεώδες fR[x]fR[x] είναι πρώτο.

Στην περίπτωση που το RR είναι σώμα το πολυώνυμο ff είναι ανάγωγο αν και μόνο αν το πηλίκο R[x]/fR[x]R[x]/fR[x] είναι σώμα.

Η έννοια της αναγωγισιμότητας εξαρτάται από το σώμα ή τον δακτύλιο συντελεστών. Έτσι το πολυώνυμο x2+1x^2+1 είναι ανάγωγο στον δακτύλιο ℝ[x]\mathbb{R}[x] αλλά όχι στον ℂ[x].\mathbb{C}[x].

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ανάγωγο πολυώνυμο f∈𝔽[x],f\in \mathbb{F}[x], και το 𝔽\mathbb{F} είναι σώμα. Τότε ο δακτύλιος πηλίκο 𝔽[x]/f𝔽[x]\mathbb{F}[x]/f \mathbb{F}[x] είναι ένα σώμα που περιέχει το σώμα 𝔽\mathbb{F} στο οποίο το πολυώνυμο ff έχει μία ρίζα.

Απόδειξη Αφού το πολυώνυμο ff είναι ανάγωγο, το πηλίκο K:=𝔽[x]/f𝔽[x]K:=\mathbb{F}[x]/f \mathbb{F}[x] είναι σώμα. Το σώμα 𝔽\mathbb{F} μπορεί να θεωρηθεί ως υπόσωμα του σώματος KK αφού κάθε στοιχείο a∈𝔽a \in \mathbb{F} μπορεί να θεωρηθεί ως το σταθερό πολυώνυμο.

Στον πολυωνυμικό δακτύλιο 𝔽[x]\mathbb{F}[x] εισαγάγουμε τη μεταβλητή xx και όλες τις πολυωνυμικές της εκφράσεις. Τέλος, στο πηλίκο ΚΚ επιβάλλουμε εξ’ ορισμού τον μηδενισμό του f(x),f(x), δηλαδή επιβάλλουμε στο xx να είναι ρίζα του πολυωνύμου f.f. □\Box

Παράδειγμα Θεωρούμε το ανάγωγο πολυώνυμο f(x)=x2+1∈ℝ[x].f(x)=x^2+1 \in \mathbb{R}[x]. Πράγματι το πολυώνυμο αυτό είναι ανάγωγο αφού είναι βαθμού 22 και δεν έχει πραγματικές ρίζες. Ο δακτύλιος πηλίκο ℝ[x]/⟨x2+1⟩\mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle είναι εξ ορισμού το σώμα των μιγαδικών αριθμών.

Κριτήρια Αναγωγισιμότητας

Ένα πολυώνυμο βαθμού 22 ή 33 στo 𝔽[x],\mathbb{F}[x], όπου 𝔽\mathbb{F} σώμα, δεν είναι ανάγωγο αν και μόνο έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

ΑπόδειξηH ύπαρξη ρίζας ρ\rho του πολυωνύμου ff είναι ισοδύναμη με το ότι (x−ρ)∣f,(x-\rho) \mid f, άρα, αν ένα οποιουδήποτε βαθμού ≥2\geq 2 πολυώνυμο έχει ρίζα, τότε δεν μπορεί να είναι ανάγωγο. Αντιστρόφως, ένα πολυώνυμο βαθμού αν διασπάται, τότε θα είναι γινόμενο δύο πολυωνύμων βαθμού 11 και αν ένα πολυώνυμο βαθμού 33 τότε θα είναι γινόμενο ή τριών πολυωνύμων βαθμού 11 ή ενός πολυωνύμου βαθμού ένα και ενός πολυωνύμου βαθμού 2.2. Σε κάθε περίπτωση η ύπαρξη παράγοντα βαθμού ένα εξασφαλίζει την ύπαρξη ρίζας.

Παρατήρηση Μπορεί ένα πολυώνυμο στο 𝔽[x]\mathbb{F}[x] βαθμού ≥4\geq 4 χωρίς να έχει ρίζες στο 𝔽\mathbb{F} να μην είναι ανάγωγο. Για παράδειγμα στο ℚ[x]\mathbb{Q}[x] μπορούμε να θεωρήσουμε το (x2+1)(x2−2).(x^2+1)(x^2-2).

Στην περίπτωση που θεωρούμε πολυώνυμα στο ℚ[x]\mathbb{Q}[x] ισχύει το παρακάτω θεώρημα, γνωστό και ως λήμμα του Gauss:

Ας θεωρήσουμε ένα πολυώνυμο f(x)∈ℤ[x]f(x)\in \mathbb{Z}[x] βαθμού μεγαλύτερου του μηδενός. Αν το ff είναι ανάγωγο στο ℤ[x]\mathbb{Z}[x] τότε είναι ανάγωγο και στον ℚ[x].\mathbb{Q}[x]. Επίσης, αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των συντελεστών του ff είναι μονάδα και το ff είναι ανάγωγο στο ℚ[x],\mathbb{Q}[x], τότε είναι ανάγωγο και στο ℤ[x].\mathbb{Z}[x].

Απόδειξη Ένα πολυώνυμο f(x)∈ℤ[x]f(x)\in \mathbb{Z}[x] της μορφής f(x)=a0+a1x+⋯+anxnf(x)=a_0 + a_1 x+ \cdots +a_n x^n θα λέγεται πρωταρχικό αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των συντελεστών του είναι 1.1. Προφανώς κάθε πολυώνυμο είναι γινόμενο ενός πρωταρχικού πολυωνύμου και ενός στοιχείου του ℤ.\mathbb{Z}.

Παρατηρούμε ότι το γινόμενο δύο πρωταρχικών πολυωνύμων f,g∈ℤ[x]f,g \in \mathbb{Z}[x] είναι πρωταρχικό πολυώνυμο. Πράγματι, αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των συντελεστών του γινομένου f⋅gf\cdot g δεν ήταν μηδέν, τότε θα υπήρχε ένας πρώτος pp που θα τον διαιρούσε. Αυτό σημαίνει ότι το πολυώνυμο f⋅gf\cdot g θα ήταν 00 στον δακτύλιο ℤ/pℤ[x].\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]. Ο τελευταίος δακτύλιος όμως είναι δακτύλιος πολυωνύμων πάνω από ένα σώμα, άρα είναι ακέραια περιοχή. Συνεπώς ή όλοι οι συντελεστές του ff θα είναι 00 modulo pp ή όλοι οι συντελεστές του gg θα είναι 00 modulo p.p. Και οι δύο δυνατότητες είναι αδύνατες, αφού ξεκινήσαμε από πρωταρχικά πολυώνυμα.

Ας υποθέσουμε ότι ένα μη σταθερό f∈ℤ[x]f\in \mathbb{Z}[x] αναλύεται σε γινόμενο πολυώνυμων στον ℚ[x],\mathbb{Q}[x], δηλαδή f=h1⋅h2,h1,h2∈ℚ[x].f= h_1\cdot h_2, \;\; h_1,h_2\in \mathbb{Q}[x]. Πολλαπλασιάζοντας με έναν μεγάλο ακέραιο dd (για παράδειγμα με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών όλων των συντελεστών) μπορούμε να έχουμε ότι: d⋅f=h1′⋅h2′,d\cdot f= h_1' \cdot h_2', όπου τα h1′,h2′∈ℤ.h_1',h_2' \in \mathbb{Z}. Τα πολυώνυμα hi′h_i' τα γράφουμε στη μορφή hi′=dihi″,h_i'=d_i h_i'', όπου di∈ℤd_i\in \mathbb{Z} και τα hi″h_i'' είναι πρωταρχικά πολυώνυμα. Επειδή το h1″⋅h2″h_1''\cdot h_2'' είναι πρωταρχικό πολυώνυμο, έχουμε ότι d=d1d2d=d_1d_2 και f=h1″h2″f=h_1'' h_2'' το οποίο είναι άτοπο.

Το αντίστροφο είναι προφανές. □\Box

Το επόμενο κριτήριο είναι γνωστό ως κριτήριο Eisenstein

G. Eisenstein 1823-1852, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Έστω pp πρώτος. Υποθέτουμε ότι το f(x)=anxn+⋯+a1x+a0∈ℤ[x]f(x)=a_n x^n+\cdots+ a_1 x+ a_0 \in \mathbb{Z}[x] είναι τέτοιο ώστε an≠0,a_n \neq 0, p∣aip\mid a_i για όλα τα i=0,…,n−1i=0,\ldots,n-1 και o pp δεν διαιρεί τα an,a_n, ενώ ο p2p^2 δεν διαιρεί το a0.a_0. Τότε το f(x)f(x) είναι ανάγωγο στο ℚ[x].\mathbb{Q}[x].

Απόδειξη Σύμφωνα με το λήμμα του Gauss αρκεί να δείξουμε ότι το ff δεν αναλύεται ως γινόμενο πολυωνύμων με βαθμούς μεγαλύτερους της μονάδας στον δακτύλιο ℤ[x].\mathbb{Z}[x].

Ας υποθέσουμε ότι είχαμε μια γραφή f(x)=(btxt+⋯b1x+b0)(csxs+⋯+c1x+c0),f(x)=(b_t x^t+ \cdots b_1 x+b_0)(c_s x^s + \cdots + c_1x+c_0), όπου btcs≠0b_tc_s \neq 0 και bν,cμ∈ℤ.b_\nu,c_\mu\in \mathbb{Z}.

Αφού p2p^2 δεν διαιρεί το a0=b0c0,a_0=b_0c_0, είναι σαφές ότι το pp δεν μπορεί να διαιρεί και το b0b_0 και το c0.c_0. Ας υποθέσουμε ότι ο pp διαιρεί το c0c_0 και ότι δεν διαιρεί το b0.b_0. Με τον ίδιο τρόπο βλέπουμε ότι αφού ο pp δεν διαιρεί το ana_n έχουμε ότι ο pp δεν διαιρεί το btb_t και ο pp δεν διαιρεί το cs.c_s. Έστω crc_r η μικρότερη τιμή ώστε ο pp να μην διαιρεί το cr.c_r. Υπολογίζουμε ar=b0cr+b1cr−1+⋯br−icia_r=b_0 c_r + b_1 c_{r-1}+ \cdots b_{r-i c_i} για κάποιο 0≤i<r.0\leq i < r. Στον παραπάνω τύπο τα cr−1,…,cic_{r-1},\ldots,c_i είναι διαιρετά με pp όπως και το ara_r είναι διαιρετό με p.p. Όμως το b0crb_0c_r δεν είναι,άτοπο. □\Box

Παραδείγματα

Το πολυώνυμο x2−ax^2-a όσο το aa δεν είναι τετράγωνο είναι ανάγωγο στο ℚ[x].\mathbb{Q}[x]. Πράγματι, αφού το aa δεν είναι τετράγωνο υπάρχει p∣ap \mid a και ο p2p^2 δεν διαιρεί το a.a. To ζητούμενο προκύπτει από το κριτήριο του Eisenstein.

To πολυώνυμο x2015+4x+2x^{2015}+4x+ 2 είναι ανάγωγο στο ℚ[x],\mathbb{Q}[x], όπως βλέπουμε με χρήση του κριτηρίου του Eisenstein για p=2.p=2.

Έστω pp πρώτος. Το πολυώνυμο Φp(x):=xp−1+xp−2+⋯+x+1\Phi_p(x):=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1 είναι ανάγωγο στο ℚ[x].\mathbb{Q}[x].

Παρατηρούμε ότι ένα πολυώνυμο f(x)f(x) είναι ανάγωγο αν και μόνο αν το f(x+1)f(x+1) είναι ανάγωγο. Θεωρούμε λοιπόν το πολυώνυμο Φp(x+1)=(x+1)p−1(x+1)−1=∑ν=1p(pν)xν−1\Phi_p(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1}=\sum_{\nu=1}^{p} \binom{p}{\nu} x^{\nu-1} το οποίο πληρεί τις προϋποθέσεις του κριτηρίου του Eisenstein.

sage:Phi=cyclotomic_polynomial(105,'x');Phi
x^48 + x^47 + x^46 - x^43 - x^42 - 2*x^41 - x^40 -x^39 + x^36
+x^35 +x^34 + x^33 + x^32 + x^31 - x^28 - x^26 - x^24 - x^22
- x^20 + x^17 +x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 - x^9 - x^8
- 2*x^7 - x^6 - x^5 + x^2 +x + 1
sage:Phi.is_irreducible()
True

foo Interactive

Χαρακτηριστική δακτυλίου

Παρατήρηση Αν ένα σύνολο Σ\Sigma παράγει τον δακτύλιο RR και δεν υπάρχουν αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του Σ,\Sigma, δηλαδή κάθε στοιχείο του RR μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως αποτέλεσμα των δύο πράξεων του δακτυλίου με πράξεις μεταξύ των στοιχείων του Σ,\Sigma, τότε κάθε συνάρτηση ϕ:Σ→S\phi:\Sigma\rightarrow S μπορεί να επεκταθεί σε ομομορφισμό ϕ:R→S.\phi:R \rightarrow S.

Περισσότερο συγκεκριμένα ένας μη μηδενικός ομομορφισμός ℤ→S\mathbb{Z} \rightarrow S προσδιορίζεται μονοσήμαντα αν γνωρίζουμε το ϕ(1)\phi(1) το οποίο στην περίπτωση που ο SS είναι ακέραια περιοχή δεν μπορεί να είναι άλλο από το μοναδιαίο του S.S. Πράγματι ϕ(1ℤ)=ϕ(1ℤ⋅1ℤ)=ϕ(1ℤ)ϕ(1ℤ)\phi(1_\mathbb{Z})= \phi(1_\mathbb{Z} \cdot 1_\mathbb{Z})=\phi(1_\mathbb{Z}) \phi(1_\mathbb{Z}) Δηλαδή ϕ(1ℤ)(1S−ϕ(1ℤ))=0\phi(1_\mathbb{Z}) ( 1_S - \phi(1_\mathbb{Z}))=0 από όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Έστω SS δακτύλιος αντιμεταθετικός με μοναδιαίο θεωρούμε τον ομομορφισμό ϕ:ℤ→S\phi: \mathbb{Z} \rightarrow S 1ℤ↦1S.1_\mathbb{Z} \mapsto 1_S. Ο πυρήνας είναι ένα κύριο ιδεωδές του ℤ,\mathbb{Z}, δηλαδή ker(ϕ)=nℤ.\text{ker}(\phi)=n\mathbb{Z}. Τον αριθμό nn θα τον λέμε χαρακτηριστική του δακτυλίου S.S.

Παρατηρήσεις:

Αν ο πυρήνας του ϕ\phi είναι μηδενικός, τότε ο δακτύλιος SS έχει χαρακτηριστική 00 και σε αυτή την περίπτωση ο δακτύλιος SS είναι άπειρος.

Από το θεώρημα ισομορφισμού ο ℤ/nℤ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} είναι ένας υποδακτύλιος του S.S. Αν ο SS είναι ακέραια περιοχή, τότε αναγκαστικά nn είναι πρώτος αριθμός.

Κάθε πεπερασμένο σώμα περιέχει το ℤ/pℤ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} για κάποιο πρώτο pp ως υπόσωμα.

Ένα ιδεώδες PP του δακτυλίου RR θα λέγεται πρώτο αν και μόνο αν για κάθε a,b∈Ra,b \in R

ab∈Pab \in P συνεπάγεται a∈Pa \in P είτε b∈P.b \in P.

Το ιδεώδες MM θα λέγεται μέγιστο αν κάθε ιδεώδες II του RR ώστε M⊂IM \subset I επιβάλλει I=RI=R ή I=M.I=M.

Ένα ιδεώδες PP είναι πρώτο αν και μόνο αν ο δακτύλιος R/PR/P είναι ακέραια περιοχή.

Απόδειξη Θεωρούμε το γινόμενο (a+P)(b+P)=ab+P.(a+P)(b+P)=ab+P. Παρατηρούμε ότι ab∈Pab \in P είναι ισοδύναμο με το ab+P=0R/Pab+P=0_{R/P} είναι 00 στον δακτύλιο R/P.R/P. Ομοίως a+P=0R/Pa+P=0_{R/P} (αντίστοιχα b+P=0R/Pb+P=0_{R/P}) είναι ισοδύναμο με a∈Pa\in P (αντίστοιχα b∈Pb\in P). Το ζητούμενο είναι σαφές από τον ορισμό της ακέραιας περιοχής. □\Box

Ένα ιδεώδες MM είναι μέγιστο αν και μόνο αν ο δακτύλιος R/MR/M είναι σώμα.

Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι το MM είναι ένα μέγιστο ιδεώδες. H κλάση x+Mx+M είναι μη μηδενική κλάση αν και μόνο αν x∉M.x\not \in M. Σε αυτή την περίπτωση το ιδεώδες M+xR,M+ xR, που παράγεται από τα στοιχεία του MM και το xx είναι ένα ιδεώδες που περιέχει γνήσια το M.M.

Στην περίπτωση που το MM είναι μέγιστο το M+xRM+xR είναι όλος ο δακτύλιος RR άρα το μοναδιαίο 1R1_R του δακτυλίου γράφεται ως 1R=m+xa1_R=m+ xa για κάποια στοιχεία m∈Mm\in M και a∈R.a\in R. Aυτό όμως σημαίνει ότι (a+M)(x+M)=1+M,(a+M)(x+M)=1+M, άρα η τυχαία μη μηδενική κλάση x+Mx+M είναι αντιστρέψιμη και το R/MR/M είναι σώμα.

Αντιστρόφως, έστω ότι R/MR/M είναι σώμα. Αν το MM περιέχεται γνήσια σε ένα ιδεώδες I,I, τότε το II περιέχει ένα στοιχείο x∉M,x\not\in M, και συνεπώς η κλάση x+Mx+M είναι αντιστρέψιμη, δηλαδή υπάρχει a∈Ra\in R ώστε (x+M)(a+M)=1+M.(x+M)(a+M)=1+M. Η τελευταία σχέση είναι ισοδύναμη με το ότι xa=1R+mxa=1_R+m για κάποιο στοιχείο m∈M.m\in M. Τότε όμως το 1R=xa−m1_R=xa-m είναι στοιχείο του II και συνεπώς I=R.I=R. □\Box

Παρατηρήσεις

Το ιδεώδες pℤp \mathbb{Z} για pp πρώτο αριθμό είναι πρώτο και μέγιστο ιδεώδες του ℤ.\mathbb{Z}.

Αν ff είναι ένα ανάγωγο πολυώνυμο του 𝔽[x],\mathbb{F}[x], τότε το ιδεώδες f(x)𝔽[x]f(x) \mathbb{F}[x] είναι και πρώτο και μέγιστο.

Το μηδενικό ιδεώδες είναι πρώτο αν και μόνο αν ο δακτύλιος RR είναι ακέραια περιοχή.

Κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι πρώτο.

Υπάρχουν πρώτα ιδεώδη που δεν είναι μέγιστα όπως το pℤ[x]⊂ℤ[x]p\mathbb{Z}[x] \subset \mathbb{Z}[x] ή το x𝔽[x,y]⊂𝔽[x,y].x\mathbb{F}[x,y] \subset \mathbb{F}[x,y].

Γεωμετρική Θεώρηση

Η θεωρία των δακτυλίων είναι ένας από τους συνδετικούς κρίκους ανάμεσα στην Άλγεβρα και τη Γεωμετρία. Πράγματι, έγινε αρκετά νωρίς σαφές από την σκοπιά της Αλγεβρικής Γεωμετρίας ότι πολλές γεωμετρικές ιδιότητες ενός γεωμετρικού αντικειμένου αντανακλώνται στην άλγεβρα των συναρτήσεων που ορίζονται πάνω από το γεωμετρικό αντικείμενο. Ανάλογα αποτελέσματα υπήρξαν και στην ανάλυση, όπως το θεώρημα των Gelfand-Naimark. Η ιδέα αυτή γενικεύτηκε και χρησιμοποιήθηκε κατόπιν ως εργαλείο επίλυσης προβλημάτων και της Θεωρίας αριθμών από τον A. Grothendieck.

A. Grothendieck 1970, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Ας προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε μερικές από τις ιδέες αυτές σε όσο γίνεται περισσότερο απλή γλώσσα:

Ο δακτύλιος των πολυωνύμων μίας μεταβλητής πάνω από το σώμα των μιγαδικών συναρτήσεων R:=ℂ[x]R:=\mathbb{C}[x] είναι μια φυσιολογική κλάση συναρτήσεων πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Σε κάθε σημείο aa του επιπέδου μπορούμε να θεωρήσουμε ένα μέγιστο ιδεώδες του R,R, το mam_a το οποίο ορίζεται ως ma={f∈R:f(a)=0}m_a=\{f\in R: f(a)=0\} (Άσκηση: Δείξτε ότι όντως είναι ένα μέγιστο ιδεώδες) Το ιδεώδες αυτό είναι κύριο και παράγεται από το (x−a).(x-a). Επιπλέον είναι σαφές ότι η τιμή του πολυωνύμου ff στο σημείο aa δεν είναι τίποτε άλλο από την κλάση υπολοίπων της fmodmaf \text{mod} m_a στον δακτύλιο R/ma.R/m_a.

Πράγματι, αν κάνουμε τη διαίρεση της ff με το x−ax-a το υπόλοιπο θα είναι μια σταθερά: f(x)=(x−a)g(x)+v(x), degv(x)<deg(x−1)=1.f(x)=(x-a)g(x)+v(x), \text{ deg}v(x) < \text{deg}(x-1)=1. Το υπόλοιπο είναι σαφώς ένας αντιπρόσωπος της κλάσης f mod maf \text{ mod } m_a και επιπλέον είναι ίσο με f(a)f(a) όπως εύκολα παρατηρούμε τοποθετώντας το aa στην παραπάνω εξίσωση της διαίρεσης.

Παρατηρούμε ότι έχουμε μία 1-1 και επί αντιστοιχία {Μέγιστα Ιδεώδη τουR}→{σημεία τουℂ}\{\text{Μέγιστα Ιδεώδη του} R \} \longrightarrow \{ \text{σημεία του} \mathbb{C} \}

Σε παρόμοια συμπεράσματα θα καταλήγαμε αν για RR θεωρούσαμε τον δακτύλιο των ολόμορφων ή απειροδιαφορισίμων συναρτήσεων. Αυτό που θα άλλαζε θα ήταν το θεώρημα της διαίρεσης το οποίο θα έπρεπε να αναπτύξουμε και να αποδείξουμε.

Θα μπορούσαμε να αλλάξουμε το σώμα σε ένα διαφορετικό όπως το ℚ\mathbb{Q} ή ένα πεπερασμένο σώμα 𝔽p\mathbb{F}_p ακολουθώντας την προτροπή του A. Weil (να κάνουμε γεωμετρία πάνω από οποιοδήποτε σώμα). Σε αυτή την περίπτωση θα οδηγούμασταν στο να εξετάζουμε τα σημεία του γεωμετρικού αντικειμένου πάνω από το σώμα.

A. Weil (μαζί με την αδελφή του Simone σε εκδρομή στο Βέλγιο). Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain) λόγω παρέλευσης 70 ετών από τον θάνατο του δημιουργού. Πηγή: Apprenticeship of a Mathematician, Courtesy of Sylvie Weil.

Τι θα συμβεί όμως αν αντί για τον δακτύλιο ℂ[x]\mathbb{C}[x] θεωρούσαμε έναν άλλο δακτύλιο με αριθμητική σημασία όπως το ℤ\mathbb{Z} ή το ℤ[x]\mathbb{Z}[x]; Θα υπήρχε ένα γεωμετρικό αντικείμενο του οποίο το ℤ\mathbb{Z} να ήταν ο φυσιολογικός δακτύλιος συναρτήσεων; Σύμφωνα με τις ιδέες του Grothendick το αντικείμενο αυτό είναι το σύνολο των πρώτων ιδεωδών του δακτυλίου το οποίο θα το συμβολίζουμε με Spec(R).\text{Spec}(R). Για παράδειγμα, όταν R=ℤR=\mathbb{Z} το σύνολο των πρώτων ιδεωδών δεν είναι άλλο από τους πρώτους αριθμούς, ενώ όταν R=ℤ[x]R=\mathbb{Z}[x] το σύνολο των πρώτων ιδεωδών αποτελείται από τα κύρια ιδεώδη pℤ[x]p\mathbb{Z}[x] όπου pp πρώτος, τα κύρια ιδεώδη fℤ[x],f\mathbb{Z}[x], όπου ff ανάγωγο πολυώνυμο αλλά και από τα ιδεώδη ⟨p,f⟩\langle p,f \rangle που παράγονται από έναν πρώτο αριθμό pp και ένα ανάγωγο πολυώνυμο. Μάλιστα στην περίπτωση που το πολυώνυμο ff παραμένει ανάγωγο mod pp το ιδεώδες ⟨p,f⟩\langle p,f \rangle είναι μέγιστο αφού ℤ[x]⟨p,f⟩≅𝔽p[x]f(x)𝔽p\frac{\mathbb{Z}[x]}{\langle p,f \rangle} \cong \frac{\mathbb{F}_p[x]}{f(x)\mathbb{F}_p} το οποίο είναι σώμα. Η πρώτη γραφική παράσταση αυτών των ιδεών εμφανίστηκε πιθανότατα στο σκίτσο του D. Mumford στο κόκκινο βιβλίο των πολλαπλοτήτων και σχημάτων (Mumford 1999), τη δεκαετία του 70.

Πρώτα ιδεώδη των ακέραιων

Πρώτα ιδεώδη των πολυωνύμων με συντελεστές ακέραιους

To πρόβλημα κατά πόσο ένα ανάγωγο πολυώνυμο του ℤ[x]\mathbb{Z}[x] παραμένει ανάγωγο αν το θεωρήσουμε modulo pp και πώς αναλύεται αν δεν είναι ανάγωγο είναι ένα πρόβλημα θεμελιώδους σημασίας για τη Θεωρία Αριθμών που έχει τις αρχές του στον τετραγωνικό νόμο αντιστροφής του Gauss.

Ας δούμε τώρα πώς ένα στοιχείο του δακτυλίου μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση πάνω στο σύνολο των πρώτων ιδεωδών: P↦f(P)=fmod P∈R/P.P \mapsto f(P)=f \text{mod } P \in R/P. Αν ο δακτύλιος R=𝔽[x]R=\mathbb{F}[x] είναι ένας δακτύλιος πολυωνύμων πάνω από ένα σώμα, τότε η τιμή της συνάρτησης ανήκει πάντα στο σώμα 𝔽=R/P\mathbb{F}=R/P το οποίο είναι κοινό για όλα τα πρώτα ιδεώδη του R.R.

Στην περίπτωση που R=ℤR=\mathbb{Z} υπάρχει μια διαφορά. Τα στοιχεία του δακτυλίου δίνουν τιμές σε διαφορετικά σώματα. Έτσι το 3∈ℤ3 \in \mathbb{Z} στο (σημείο)-πρώτο ιδεώδες 7ℤ7\mathbb{Z} δίνει την τιμή 3 mod 73 \text{ mod } 7 η οποία ανήκει στο σώμα με 77 στοιχεία ενώ στο (σημείο)-πρώτο ιδεώδες 5ℤ5\mathbb{Z} δίνει την τιμή 33 αλλά στο σώμα με 55 στοιχεία.

Οι ιδέες αυτές έδωσαν τεράστια ώθηση στα Μαθηματικά και στην Θεωρία Αριθμών αφού πρόσθεσαν μια γεωμετρική ενόραση των αριθμητικών εννοιών και επέτρεψαν να ορίσουμε πλήρως γεωμετρικά αντικείμενα όπως ο εφαπτόμενος χώρος, η παραγώγιση κλπ.

Βιβλιογραφία

Fraleigh, J.B. 2011. Εισαγωγή Στην Άλγεβρα. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

Mumford, D. 1999. The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians. Lecture Notes in Mathematics. Springer. https://books.google.gr/books?id=K1hFauNsmR4C.

Βάρσος, Δ., Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας, και Ο. Ταλέλλη. 2012. Μια Εισαγωγή Στην Άλγεβρα. Σοφία Α. Ε.

Νόμος τετραγωνικής Αντιστροφής

Εισαγωγικά στοιχεία για λύσεις τετραγωνικών εξισώσεων

Είδαμε προηγουμένως ότι μας ενδιαφέρει πότε ένα ανάγωγο πολυώνυμο f∈ℤ[x]f\in \mathbb{Z}[x] παραμένει ανάγωγο modulo p.p. Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα είναι να χαρακτηρίσουμε τους πρώτους για τους οποίους αλλάζει συμπεριφορά η αναγωγισιμότητα modulo p.p. Για τετραγωνικά πολυώνυμα αυτό είναι ισοδύναμο με το αν η διακρίνουσα είναι τετράγωνο ή όχι. Ενώ λοιπόν για πραγματικά πολυώνυμα με συντελεστές πραγματικούς αυτό είναι σαφές (τετράγωνα δεν είναι οι αρνητικοί αριθμοί) σε ένα σώμα όπως το ℤ/pℤ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} τα πράγματα είναι περισσότερο πολύπλοκα. Το εργαλείο που χαρακτηρίζει για ποιους πρώτους ο ακέραιος a∈ℤa\in \mathbb{Z} είναι τετράγωνο ή όχι ονομάζεται νόμος της τετραγωνικής αντιστροφής. Περισσότερα στοιχεία σχετικά με τον νόμο αντιστροφής και τις γενικεύσεις του ο αναγνώστης μπορεί να αναζητήσει στα (Λάκκης 1990), (Αντωνιάδης και Κοντογεώργης 2015) και στο (Lemmermeyer 2000).

Υποθέτουμε ότι θέλουμε να λύσουμε την τετραγωνική ισοδυναμία ax2+bx+c≡0modm,ax^2 +bx+c \equiv 0 \text{mod} m, με a,b,c∈ℤ,a,b,c \in \mathbb{Z}, m∈ℕ,m\in \mathbb{N}, m>1.m>1. Η λύση εξαρτάται από τη λύση ισοδυναμιών της μορφής ax2+bx+c≡0modps,ax^2 +bx+c \equiv 0 \text{mod} p^s, όπου pp πρώτος οι οποίες ανάγονται σε ισοδυναμίες της μορφής ax2+bx+c≡0modp.ax^2 +bx+c \equiv 0 \text{mod} p. Για μικρές τιμές του pp ισοδυναμίες της παραπάνω μορφής μπορούν να λυθούν με τη μέθοδο της δοκιμής και της επιτυχίας. Για μεγάλο pp χρειάζεται μια νέα ιδέα. Υποθέτουμε ότι pp είναι περιττός πρώτος και (a,p)=1.(a,p)=1. Εργαζόμαστε λοιπόν στο σώμα ℤ/pℤ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} και επιλύουμε την τετραγωνική εξίσωση με τον ίδιο τρόπο όπως θα κάνουμε στο σώμα των πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών. Πράγματι, αφού (2,p)=1(2,p)=1 οι λύσεις της ax2+bx+c≡0modpax^2+bx +c \equiv 0 \text{mod} p είναι ισοδύναμες προς τις λύσεις της ισοδυναμίας 4a2x2+4abx+4ac≡modp4a^2x^2+4abx +4ac \equiv \text{mod} p δηλαδή της (2ax+b)2≡(b2−4ac)modp(2ax+b)^2 \equiv (b^2-4ac) \text{mod} p Η τελευταία ισοδυναμία μπορεί να λυθεί τότε και μόνο τότε όταν μπορούμε να βρούμε κάποιον ακέραιο x0x_0 ο οποίος να είναι λύση της ισοδυναμίας 2ax+b≡y0modp2ax+b \equiv y_0 \text{mod} p και y0y_0 μια λύση της ισοδυναμίας της y2≡(b2−4ac)modpy^2 \equiv (b^2-4ac) \text{mod} p Αφού (2a,p)=1(2a,p)=1 η πρώτη ισοδυναμία έχει πάντα λύση. Το αρχικό πρόβλημα λοιπόν ανάγεται στη λύση ισοδυναμιών της μορφής y2≡amodpy^2 \equiv a \text{mod} p Αν a≡0modp,a\equiv 0 \text{mod} p, τότε η προηγούμενη ισοδυναμία έχει λύση. Θα εξετάσουμε την περίπτωση pp δεν διαιρεί το a.a.

Σε ότι ακολουθεί, ο αριθμός pp θα είναι ένας περιττός πρώτος.

Τετραγωνικά υπόλοιπα

\;

Έστω pp ένας πρώτος αριθμός. Ένας ακέραιος aa που δεν είναι πολλαπλάσιο του p,p, είναι τετραγωνικό υπόλοιπο του pp αν ο aa είναι τετράγωνο κάποιου αριθμού modp.\text{mod} p. Αν ο aa δεν είναι τετράγωνο κάποιου αριθμού modp\text{mod} p τότε λέγεται τετραγωνικό μη-υπόλοιπο modp.\text{mod} p.

Με άλλα λόγια ο aa είναι τετραγωνικό υπόλοιπο αν η εξίσωση x2≡amodpx^2 \equiv a \mathrm{\text{mod}} p έχει λύση.

Θα μπορούσαμε (όταν ο πρώτος pp είναι μικρός) να υπολογίσουμε όλα τα τετράγωνα και στη συνέχεια να δούμε αν το aa είναι τετραγωνικό υπόλοιπο ή όχι.

Έτσι για p=5p=5 υπολογίζουμε ότι

x01234x201444\begin{array}{cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ x^2 & 0 & 1 & 4 & 4 & 4 \end{array}

Αν το aa είναι ή όχι τετραγωνικό υπόλοιπο εξαρτάται από την κλάση του amodp.a \text{mod} p.

Oρίζουμε την απεικόνιση: ψ:(ℤ/pℤ)*→{±1}\psi: (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\to \{\pm 1\} ψ:a↦(ap)\psi:a\mapsto \left(\frac{a}{p}\right) Η ποσότητα (ap)\left(\frac{a}{p}\right) ονομάζεται σύμβολο του Legendre και είναι ίση με 11 αν το aa είναι τετραγωνικό υπόλοιπο και −1-1 αν το aa δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modp.\text{mod} p. Για χάρη συντομίας του συμβολισμού ορίζουμε και (ap)=0\left(\frac{a}{p}\right)=0 στην περίπτωση που a≡0modp.a\equiv 0 \text{mod}p. Η τελευταία γενίκευση είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως το σύμβολο του Kronecker.

Η παραπάνω απεικόνιση είναι ομομορφισμός ομάδων, το οποίο ισοδυναμεί με το ότι ισχύει: (aβp)=(ap)(βp).\left(\frac{a\beta}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{\beta}{p}\right).

Πράγματι θα δείξουμε στη συνέχεια ότι η (ℤ/pℤ)*=𝔽*(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*=\mathbb{F}^* είναι μία κυκλική ομάδα, άρα υπάρχει gg ώστε η (ℤ/pℤ)(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) να είναι της μορφής: {g,g2,…,g(p−1)/2,g(p+1)/2,…,gp−1=1}\left\{g,g^2,\dots, g^{(p-1)/2},g^{(p+1)/2},\dots, g^{p-1}=1\right\} Αφού ο p−1p-1 είναι άρτιος, τα τετράγωνα των στοιχείων του (ℤ/pℤ)*(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* είναι τα g2,g4,…,g(p−1)/2⋅2=1,gp+1=g2,…,g2(2(p−1)),g^2,g^4,\dots, g^{(p-1)/2\cdot2}=1, g^{p+1}=g^2,\dots, g^{2(2(p-1))}, το οποίο σημαίνει ότι τα τέλεια τετράγωνα του (ℤ/pℤ)*(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* είναι τα gig^i με i:i: άρτιος και τα μη τέλεια τετράγωνα είναι τα gig^i με ii: περιττός. Αυτό σημαίνει ότι η ψ\psi είναι ομομορφισμός καθώς: το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος, το άθροισμα δύο άρτιων είναι άρτιος και το άθροισμα ενός περιττού με έναν άρτιο είναι περιττό.

Παρατηρούμε ότι ο πυρήνας της ψ\psi είναι τα g∈(ℤ/pℤ)*g\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* για τα οποία ισχύει ότι ψ(a)=1,\psi(a)=1, δηλάδη τα τετραγωνικά υπόλοιπα του p.p.

Ένα βασικό εργαλείο στον υπολογισμό του συμβόλου του Legendre είναι ο τετραγωνικός νόμος αντιστροφής ο οποίος έχει την παρακάτω μορφή:

Έστω p,qp,q δύο περιττοί, πρώτοι αριθμοί. Τότε ισχύει (pq)=(−1)p−12⋅q−12(qp)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}\left(\frac{q}{p}\right) Επίσης, (−1p)=(−1)p−12και(2p)=(−1)p2−18.\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\mbox{ και }\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}.

Θα δώσουμε σε λίγο μια απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος.

Ισχύει ότι

(ap)=ap−12mod p,\left(\frac{a}{p}\right)=a^{\frac{p-1}{2}} \text{mod } p,

δηλαδή (ap)=1⇔ap−12≡1mod p\left(\frac{a}{p}\right)=1\iff a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \text{mod } p

Απόδειξη Ισχύει ότι (ap)=±1\left(\frac{a}{p}\right)=\pm 1 και ap−1≡1modp,a^{p-1}\equiv 1 \text{mod} p, οπότε ap−12≡±1modp.a^{\frac{p-1}{2}}\equiv\pm1 \text{mod} p. Η απεικόνιση ϕ:(ℤ/pℤ)*→(ℤ/pℤ)*\phi:(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\to(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* με ϕ(a)=ap−12\phi(a)=a^{\frac{p-1}{2}} είναι ένας ομομορφισμός ομάδων.

Με βάση το σύμβολο του Legendre ορίσαμε την απεικόνιση ψ(a)=(ap).\psi(a)=\left(\frac{a}{p}\right). Αν a∈kerψ,a\in\ker\psi, τότε a=b2a=b^2 για κάποιο b∈(ℤ/pℤ)*b\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* οπότε ϕ(a)=a(p−1)/2=(b2)(p−1)/2=bp−1=1.\phi(a)=a^{(p-1)/2}=(b^2)^{(p-1)/2}=b^{p-1}=1.

Κατά συνέπεια είναι kerψ⊆kerϕ.\ker\psi\subseteq\ker\phi. Θα δείξουμε ότι kerψ=kerϕ.\ker\psi=\ker\phi. Ο kerψ\ker\psi έχει δείκτη 2 στο ℤ/pℤ*.\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^*. Εφόσον ο πυρήνας ενός ομομορφισμού είναι ομάδα από μόνος του και η τάξη μιας υποομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας, θα ισχύει είτε ότι kerϕ=kerψ\ker\phi=\ker\psi ή ϕ=1.\phi=1. Αν ϕ=1\phi=1 το πολυώνυμο x(p−1)/2−1x^{(p-1)/2}-1 έχει p−1p-1 ρίζες στο σώμα ℤ/pℤ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} το οποίο είναι άτοπο. Κατά συνέπεια ισχύει ότι kerϕ=kerψ.\ker\phi=\ker\psi.

Αθροίσματα Gauss

mm-ρίζες της μονάδας

Υπενθυμίζουμε ότι όλες οι mm-ρίζες της μονάδας είναι της μορφής ζm=cos(2πk/m)+isin(2πik/m)=exp(2πik/m),\zeta_m = \cos (2 \pi k /m) + i \sin (2 \pi i k/ m)=\exp(2\pi i k/m), όπου i2=−1i^2=-1 και 0≤k≤m−1,0 \leq k \leq m-1, k,m∈ℕ.k,m \in \mathbb{N}.

Οι mm ρίζες της μονάδας είναι δυνάμεις μίας πρωταρχικής ρίζας η οποία είναι της μορφής ζm=cos(2πk/m)+isin(2πik/m),\zeta_m = \cos (2 \pi k /m) + i \sin (2 \pi i k/ m), με (k,m)=1.(k,m)=1.

Ας υποθέσουμε ότι m=pm=p πρώτος αριθμός. Τότε η εξίσωση ορισμού της pp-ρίζας της μονάδας διασπάται ως xp−1=(x−1)(xp−1+xp−1+⋯+x+1)x^p-1= (x-1)(x^{p-1} + x^{p-1} + \cdots + x +1) και δείξαμε χρησιμοποιώντας το κριτήριο του Eisenstein ότι το πολυώνυμο (xp−1+xp−1+⋯+x+1)(x^{p-1} + x^{p-1} + \cdots + x +1) είναι ένα ανάγωγο πολυώνυμο του ℚ[x].\mathbb{Q}[x].

Οι nn-ρίζες της μονάδας ανήκουν στο λεγόμενο κυκλοτομικό σώμα αριθμών το οποίο ορίζεται ως το σώμα ℚ[ζn]=ℚ[x]/Φn(x)\mathbb{Q}[\zeta_n]=\mathbb{Q}[x]/\Phi_n(x) όπου Φn(x)\Phi_n(x) είναι ένα ελάχιστο ανάγωγο πολυώνυμο του ℚ[x]\mathbb{Q}[x] που μηδενίζεται σε μία nn-στή ρίζα της μονάδας. Ένα τέτοιο πολυώνυμο ορίζεται γενικότερα ως εξής: Θεωρούμε έναν αριθμό a∈ℂa\in \mathbb{C} και τον ομορφισμό δακτυλίων ϕ:ℚ[x]→ℂ\phi:\mathbb{Q}[x]\rightarrow \mathbb{C} f↦f(a)f \mapsto f(a) Ο πυρήνας είναι ένα ιδεώδες του δακτυλίου ℚ[x]\mathbb{Q}[x] και επειδή τα ιδεώδη του ℚ[x]\mathbb{Q}[x] είναι όλα κύρια, είναι της μορφής ker(ϕ)=Φn(x)ℚ[x].\text{ker}(\phi)=\Phi_n(x)\mathbb{Q}[x]. Η εύρεση του ανάγωγου πολυωνύμου είναι ένα ενδιαφέρον πρόβλημα. Στην περίπτωση n=p,n=p, όπου pp είναι ένας πρώτος αριθμός, το κυκλοτομικό πολυώνυμο είναι το Φp(x)=1+x+⋯+xp−1\Phi_p(x)=1+x+ \cdots + x^{p-1} που υπολογίσαμε παραπάνω. Θα επανέλθουμε αργότερα στον υπολογισμό του κυκλοτομικού πολυωνύμου για γενικό n.n.

Ας παρατηρήσουμε ακόμα ότι το θεώρημα ισομορφισμών δακτυλίων εξασφαλίζει ότι ℚ[x]/pn(x)ℚ[x]≅Im(ϕ)=ℚ(ζ).\mathbb{Q}[x]/p_n(x)\mathbb{Q}[x] \cong \text{Im}(\phi)=\mathbb{Q}(\zeta).

Συγκεκριμένα τώρα στο sage δίνουμε:

sage:L.<zeta>=CyclotomicField(7);L
Cyclotomic Field of order 7 and degree 6
sage:zeta^7
1
sage:1/zeta
-zeta^5 - zeta^4 - zeta^3 - zeta^2 - zeta - 1
sage:(zeta^4+5*zeta+1).complex_embedding()
3.21648014139125 + 3.47527367322259*I

Παρατηρούμε ότι οι πράξεις με το κυκλοτομικό σώμα αριθμών γίνονται ακριβώς στο πρόγραμμα sage. Μπορούμε να υπολογίσουμε σε κάθε βήμα δεκαδικές προσεγγίσεις των στοιχείων του κυκλοτομικού σώματος, αλλά αυτό δεν έχει κανένα πλεονέκτημα. Στην πραγματικότητα οι πράξεις κινητής υποδιαστολής μειονεκτούν, αφού σε αυτές εμφανίζονται σφάλματα προσέγγισης.

Για κάθε a∈ℤa\in \mathbb{Z} ισχύει ότι ∑ν=0p−1ζpa⋅ν={p αν a≡0modp0 διαφορετικά .\sum_{\nu=0}^{p-1} \zeta_p^{ a\cdot \nu}= \begin{cases} p & \text{ αν } a\equiv 0 \text{mod} p \\ 0 & \text{ διαφορετικά } \end{cases}. Επιπλέον αν x,yx,y είναι τυχαίοι ακέραιοι ∑ν=0p−1ζp(x−y)ν={p αν x≡ymodp0 διαφορετικά .\sum_{\nu=0}^{p-1} \zeta_p^{ (x-y) \nu}= \begin{cases} p & \text{ αν } x\equiv y \text{mod} p \\ 0 & \text{ διαφορετικά } \end{cases}.

Απόδειξη Αν p∣ap \mid a τότε ζpa=1\zeta_p^a=1 και στο άθροισμα μετέχουν pp το πλήθος προσθεταίοι ίσοι με 1.1. Σε διαφορετική περίπτωση χρησιμοποιούμε τον τύπο άθροισης γεωμετρικής προόδου.

Η δεύτερη ισότητα είναι άμεση συνέπεια της πρώτης.

Σταθεροποιούμε έναν πρώτο p≠2.p\neq 2. Το άθροισμα Gauss που αντιστοιχεί στον a∈ℤa \in \mathbb{Z} ορίζεται ως Ga=∑n=1p−1(np)ζa⋅n.G_a=\sum_{n=1}^{p-1} \left( \frac{n}{p}\right) \zeta^{a\cdot n}.

Ισχύει ότι G0=∑n=0p−1(np)=0.G_0=\sum_{n=0}^{p-1} \left(\frac{n}{p}\right)=0.

Απόδειξη Έχουμε αποδείξει ότι η συνάρτηση ϕ(n)=(np)\phi(n)=\left( \frac{n}{p}\right) είναι μη-τετριμμένος ομομορφισμός ομάδων ℤp*→{±1}.\mathbb{Z}_p^* \rightarrow \{\pm 1\}. Συνεπώς ο πυρήνας είναι μια υποομάδα δείκτη 22 στην ℤp*\mathbb{Z}_p^* που έχει p−1p-1 το πλήθος στοιχεία. Με άλλα λόγια τα μισά στοιχεία είναι τετραγωνικά υπόλοιπα και τα άλλα μισά δεν είναι. Το ζητούμενο αποτέλεσμα είναι σαφές.

Ισχύει ότι Ga=(ap)G1.G_a =\left( \frac{a}{p} \right) G_1.

Απόδειξη Στην περίπτωση a=0a=0 το αποτέλεσμα είναι σαφές αφού και τα δύο μέλη της προς απόδειξη εξίσωσης είναι μηδενικά.

Αν a≠0a\neq 0 τότε έχουμε

(ap)Ga=(ap)∑n=0p−1(np)ζpa⋅n \left(\frac{a}{p} \right) G_a = \left(\frac{a}{p}\right) \sum ^{p-1}_{n=0} \left( \frac{n}{p} \right) \zeta_p ^{a\cdot n} =∑n=0p−1(anp)ζpa⋅n=G1= \sum ^{p-1}_{n=0} \left( \frac{an}{p} \right) \zeta_p ^{a\cdot n}= G_1

Το τελικό αποτέλεσμα προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω εξίσωση με (ap).\left(\frac{a}{p} \right).

Για κάθε aa ακέραιο, (a,p)=1(a,p)=1 ισχύει

Ga2=(−1)(p−1)/2p. G _a ^2 = (-1) ^{ (p-1)/2} p. □\Box

Απόδειξη Υπολογίζουμε ότι GaG−a=(ap)G1(−ap)G1 G_a G_{-a} = \left( \frac{a}{p}\right) G_1 \left(\frac{-a}{p}\right) G_1

=(−1p)(ap)2G12 = \left( \frac{-1}{p}\right)\left( \frac{a}{p}\right) ^2 G_1 ^2

=(−1)(p−1)/2G12. = (-1)^{ (p-1)/2} G_1 ^2. Υπολογίζουμε τώρα ότι ∑a=0p−1GaG−a=(p−1)(−1)(p−1)/2G12.\sum_{a=0}^{p-1} G_a G_{-a}= (p-1)(-1)^{ (p-1)/2} G_1 ^2.

Από την άλλη υπολογίζουμε GaG−a=∑n=0p−1ζan(np)∑m=0p−1(mp)ζ−am.G_a G _{ -a }=\sum _{ n=0 } ^{ p-1 } \zeta ^{ a n} \left( \frac{n}{p} \right) \sum _{m=0} ^{p-1} \left( \frac{m}{p} \right) \zeta ^{-am}. =∑n=0p−1∑m=0p−1ζa(n−m).=\sum _{ n=0 } ^{ p-1 } \sum _{m=0} ^{p-1} \zeta ^{a (n-m)}.

Υπολογίζουμε και πάλι το άθροισμα ∑a=0p−1GaG−a=∑n=0p−1∑m=0p−1∑a=0p−1ζa(n−m).\sum_{a=0}^{p-1} G_a G_{-a}=\sum _{ n=0 } ^{ p-1 } \sum _{m=0} ^{p-1} \sum_{a=0}^{p-1} \zeta ^{a (n-m)}. To τελευταίο άθροισμα (ως προς aa) μηδενίζεται, όταν n,mn, m είναι ανισοϋπόλοιπα mod pp ενώ όταν n≡mmodpn\equiv m \text{mod} p δίνει τιμή p.p.

Άρα καταλήγουμε στο ∑a=0p−1GaG−a=∑n=0p−1(np)2p=p(p−1).\sum_{a=0}^{p-1} G_a G_{-a}=\sum _{ n=0 } ^{ p-1 } \left( \frac{n}{p} \right)^2 p= p(p-1).

Τελικά εξισώνοντας τους δύο διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού του ∑a=0p−1GaG−a\sum_{a=0}^{p-1}G_a G_{-a} καταλήγουμε στο

G12=(−1)(p−1)/2pG_1 ^2 = (-1)^{ (p-1)/2}p

και τέλος

Ga2=(np)2G12=G12=(−1)(p−1)/2p.G_a^2 = \left( \frac{n}{p} \right)^2 G_1^2= G_1^2=(-1)^{ (p-1)/2}p. □\Box

Ας ελέγξουμε την αλήθεια των παραπάνω με τη βοήθεια του sage

sage:
p=7
L.<zeta>=CyclotomicField(p)
g5=sum(legendre_symbol(n,p)*zeta^(5*n) for n in range(1,p))
gn5=sum(legendre_symbol(n,p)*zeta^(-5*n) for n in range(1,p))
g1=sum(legendre_symbol(n,p)*zeta^(1*n) for n in range(1,p))
g5*gn5==(-1)^((p-1)/2)*g1^2
True

foo Interactive

Απόδειξη του νόμου τετραγωνικής αντιστροφής

Έστω qq ένας περιττός πρώτος και p≠q.p\neq q. Θέτουμε p*=(−1)(p−1)/2pp^*=(-1)^{(p-1)/2}p και έχουμε ότι G1=p*.G_1=p^*. Έχουμε αποδείξει ότι (p*)(q−1)/2≡(p*q)modq.(p^*)^{(q-1)/2} \equiv \left( \frac{p^*}{q} \right) \text{mod} q. Από την άλλη G1q−1=(G12)(q−1)/2=(p*)(q−1)/2G_1^{q-1}= (G_1^2)^{(q-1)/2}= (p^*)^{(q-1)/2} και πολλαπασιάζοντας με G1G_1 καταλήγουμε στην εξίσωση G1q≡G(p*q)modqℤ[ζ]G_1^q \equiv G \left( \frac{p^*}{q} \right) \text{mod} q \mathbb{Z}[\zeta] Ο δακτύλιος ℤ[ζ]/qℤ[ζ]\mathbb{Z}[\zeta]/q\mathbb{Z}[\zeta] είναι χαρακτηριστικής q,q, και συνεπώς ισχύει ότι (x+y)q≡xq+yqmodq.(x+y)^q \equiv x^q+ y^q \text{mod} q. Υπολογίζουμε τώρα την G1q=(∑n=0p−1(np)ζn)qG_1^q = \left( \sum_{n=0}^{p-1} \left( \frac{n}{p} \right) \zeta^n \right)^q =∑n=0p−1(np)qζnq=Gqmodq.= \sum_{n=0}^{p-1} \left( \frac{n}{p} \right)^q \zeta^{nq}=G_q \text{mod} q. Καταλήγουμε συνεπώς στην (qp)G1≡(p*q)modp.\left(\frac{q}{p}\right)G_1\equiv \left(\frac{p^*}{q}\right) \text{mod} p. Πολλαπλασιάζοντας με G1G_1 και αφού G12=p*G_1^2=p^* και p≠qp\neq q καταλήγουμε στο (p*q)≡(p*q)modq.\left(\frac{p^*}{q}\right)\equiv\left(\frac{p^*}{q}\right) \text{mod} q. Όμως και τα δύο μέλη της παραπάνω ισότητας είναι ±1\pm 1 και αφού q≠2q \neq 2 καταλήγουμε στην (qp)=(p*q)\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p^*}{q}\right) Τέλος, το Θεώρημα του Euler δίνει ότι (p*q)=(−1q)(p−1)/2(pq)=(−1)(p−1)(q−1)2(pq)\left(\frac{p^*}{q}\right)=\left(\frac{-1}{q}\right)^{(p-1)/2} \left( \frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{2}}\left(\frac{p}{q}\right) και ο νόμος της τετραγωνικής αντιστροφής έχει αποδειχτεί.

Υπολογισμός του συμβόλου Legendre για το p=2p=2

Για τη μελέτη της περίπτωσης αυτής θα χρησιμοποιήσουμε μια γεωμετρική μέθοδο. Θα θεωρήσουμε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης x2+y2≡1modpx^2+y^2 \equiv 1 \text{mod}p Δηλαδή τα σημεία (x,y)∈𝔽p(x,y)\in \mathbb{F}_p τα οποία ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση.

Μία προφανής λύση είναι το σημείο με συντεταγμένες (−1,0)∈𝔽p.(-1,0) \in \mathbb{F}_p. Το σύνολο των ευθειών που περνούν από αυτό το σημείο είναι το y=t(x+1)y=t(x+1) όπου το tt διατρέχει τα σημεία του 𝔽p.\mathbb{F}_p. Καθεμία από τις ευθείες αυτές έχει δύο κοινά σημεία με τον παραπάνω κύκλο modp.\text{mod} p. Το ένα είναι το (−1,0)(-1,0) το άλλο το υπολογίζουμε λύνοντας το σύστημα: C(𝔽p):t2(x+1)2=x2=1⇒(x+1)(t2(x+1)+x−1)=0C(\mathbb{F}_p):t^2(x+1)^2=x^2=1 \Rightarrow (x+1)(t^2 (x+1)+x-1)=0 από όπου λογαριάζουμε x=1−t21+t2,y=2t1+t2.x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, y=\frac{2t}{1+t^2}. Παρατηρούμε ότι κάθε λύση της παραπάνω εξίσωσης οδηγεί σε ένα tt και κάθε tt σε μία λύση. Όμως δεν μπορούμε να επιτρέψουμε στο 1+t21+t^2 να γίνει 0.0.

Ξεχωρίζουμε λοιπόν δύο περιπτώσεις: Η εξίσωση 1+t21+t^2 έχει λύση modp.\text{mod} p. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο στην περίπτωση που το −1-1 είναι τετραγωνικό υπόλοιπο mod p.\text{mod }p. Όμως έχουμε υπολογίσει ότι (−1p)=(−1)p−12.\left( \frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}. Για να είναι το −1-1 τετραγωνικό υπόλοιπο πρέπει και αρκεί το p−1≡0modpp-1 \equiv 0 \text{mod} p ή ισοδύναμα p≡1mod4.p\equiv 1 \text{mod} 4. Σε αυτή την περίπτωση κάθε σημείο t∈𝔽pt \in \mathbb{F}_p που δεν είναι τετραγωνική ρίζα του −1-1 δίνει δύο σημεία της C(𝔽p).C(\mathbb{F}_p). Συνολικά λοιπόν έχουμε p−2p-2 σημεία τομής ευθείων. Αυτά μαζί με το αρχικό σημείο (−1,0)(-1,0) δίνουν ένα σύνολο από p−1p-1 σημεία.

Η δεύτερη περίπτωση είναι το −1-1 να μην είναι τετραγωνικό υπόλοιπο modp.\text{mod} p. Όμοια με την προηγούμενη περίπτωση βλέπουμε ότι αυτό μπορεί να συμβεί ακριβώς στην περίπτωση p≡3mod4.p \equiv 3 \text{mod} 4. Τώρα και οι pp τιμές του tt δίνουν σημεία πάνω στην καμπύλη. Σε αυτά προσθέτουμε και το αρχικό σημείο για να πάρουμε ότι το C(𝔽p)C(\mathbb{F}_p) έχει p+1p+1 σημεία.

Θεωρούμε το σύνολο SS των ζευγαριών (a,b)∈(ℤ/pℤ)*×(ℤ/pℤ)*(a,b) \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* τα οποία ικανοποιούν την a+b=1a+b=1 και (ap)=(bp)=1.\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)=1.

Το σύνολο SS σχετίζεται με το C(𝔽p).C(\mathbb{F}_p). Πράγματι, αν θέσουμε a=x2a=x^2 και b=y2b=y^2 βλέπουμε ότι κάθε σημείο (x,y)∈C(𝔽p)(x,y)\in C(\mathbb{F}_p) διαφορετικό από τα (±1,0)(\pm 1, 0) και (0,±1)(0,\pm 1) απεικονίζεται σε ένα σημείο του SS και μάλιστα η συνάρτηση αυτή είναι 44 προς 1.1. Δηλαδή #S=(C(𝔽p)−4)/4,\#S =(C(\mathbb{F}_p)-4)/4, συνεπώς #S={(p+1−4)/4 αν p≡3mod4(p−1−4)/4 αν p≡1mod4\#S=\begin{cases} (p+1-4)/4 & \text{ αν } p \equiv 3 \text{mod} 4 \\ (p-1-4)/4 & \text{ αν } p \equiv 1 \text{mod} 4\end{cases} Από τα παραπάνω προκύπτει ότι #S\#S είναι περιττός αν p≡±1mod8.p \equiv \pm 1 \text{mod} 8.

Η συνάρτηση σ(a,b)=(b,a)\sigma(a,b)=(b,a) είναι μια ενέλιξη του συνόλου S,S, δηλαδή μια συνάρτηση 1-1 επί σ:S→S\sigma:S \rightarrow S με την επιπλέον ιδιότητα ότι σ2=1.\sigma^2=1. H σ\sigma έχει ακριβώς ένα σταθερό σημείο αν και μόνο αν υπάρχει a∈ℤ/pℤa\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ώστε 2a=12a=1 και (ap)=1.\left( \frac{a}{p} \right)=1. Επιπλέον η 2a=12a=1 έχει λύση στο ℤ/pℤ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} με (ap)=1\left(\frac{a}{p} \right)=1 αν και μόνο αν (2p)=1.\left(\frac{2}{p}\right)=1. Μία ενέλιξη όμως έχει ένα σταθερό σημείο αν και μόνο αν #S\#S είναι περιττός. Συνεπώς έχουμε καταλήξει στον τύπο: (2p)=(−1)p2−12.\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{2}}.

Παρατήρηση O τετραγωνικός νόμος αντιστροφής μάς επιτρέπει να υπολογίζουμε το σύμβολο του Legendre με τον παρακάτω τρόπο. Καταρχήν ο υπολογισμός του σύμβολου (ap)\left(\frac{a}{p}\right) ανάγεται στον υπολογισμό του συμβόλου (vp),\left(\frac{v}{p}\right), όπου vv είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του aa με p.p. Συνεπώς μπορούμε να υποθέσουμε ότι το a<p.a < p. Στη συνέχεια παραγοντοποιούμε το aa σε γινόμενο πρώτων παραγόντων a=p1⋯psa=p_1\cdots p_s και κάθε σύμβολο της μορφής (pip)\left( \frac{p_i}{p} \right) το αντιστρέφουμε σύμφωνα με τον κανόνα (pip)=(−1)(p−1)(pi−1)8(ppi).\left(\frac{p_i}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(p_i-1)}{8}}\left( \frac{p}{p_i}\right). Στη συνέχεια, αντί του συμβόλου (ppi),\left( \frac{p}{p_i}\right), μπορούμε να υπολογίσουμε το (uipi),\left( \frac{u_i}{p_i}\right), όπου uiu_i είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του pp με το pip_i και να συνεχίσουμε τη διαδικασία μέχρι τέλους. Τα σύμβολα της μορφής (2pi)\left( \frac{2}{p_i}\right) αν εμφανιστούν τέτοια τα υπολογίζουμε εύκολα αφού είναι ίσα με (−1)pi2−18.(-1)^{\frac{p_i^2-1}{8}}.

Μπορούμε να κάνουμε την παραπάνω διαδικασία αποτελεσματικότερη εισαγάγοντας το σύμβολο του Jacobi, το οποίο γενικεύει το σύμβολο του Legendre και κάνει τη διαδικασία συντομότερη αφού αποφεύγουμε το στάδιο της παραγοντοποίησης. Η τεχνική αυτή αν και δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη να περιγραφεί δεν θα μας απασχολήσει εδώ.

Παράδειγμα Να εξετασθεί αν η ισοτιμία x2≡−154mod163x^2\equiv -154 \text{mod} 163 έχει λύση.

O 163163 είναι πρώτος αριθμός ενώ το −154-154 αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων −154=(−1)⋅2⋅7⋅11.-154=(-1) \cdot 2 \cdot 7 \cdot 11. Επομένως (−154163)=(−1163)(2163)(7163)(11163)\left(\frac{-154}{163} \right) = \left( \frac{-1}{163} \right) \left( \frac{2}{163} \right) \left(\frac{7}{163} \right)\left( \frac{11}{163}\right) Τώρα (−1163)=(−1)163−12=(−1)81=−1.\left( \frac{-1}{163} \right)=(-1)^{\frac{163-1}2}=(-1)^{81}=-1. Επειδή 163≡3mod8163\equiv 3 \text{mod} 8 έχουμε (2163)=−1.\left( \frac{2}{163} \right)=-1. Επίσης αφού 7≡1mod47\equiv 1 \text{mod} 4 (7163)=−(1637)=−(27)=(−1)(+1)=−1.\left( \frac{7}{163} \right)=- \left(\frac{163}{7} \right)=-\left(\frac{2}{7} \right)=(-1)(+1)=-1. Αφού 11≡3mod411\equiv 3 \text{mod} 4 (11163)=−(16311)=−(911)=−(311)2=−1.\left( \frac{11}{163} \right)=-\left( \frac{163}{11} \right)=-\left( \frac{9}{11} \right)= -\left( \frac{3}{11} \right)^2=-1. Τελικά έχουμε (−154163)=(−1)(−1)(−1)(−1)=+1\left( \frac{-154}{163} \right)=(-1)(-1)(-1)(-1)=+1 και συνεπώς η ισοτιμία έχει λύση.

Στο πρόγραμμα sage o παραπάνω υπολογισμός γίνεται ως εξής: (το σύμβολο Κronecker είναι η γενίκευση του συμβόλου του Legendre που δίνει τιμή 0 όταν ο αριθμητής είναι διαιρετός με p.p.)

sage:kronecker(-154,163)
1

Παράδειγμα Για ποιούς περιττούς πρώτους αριθμούς pp η ισοτιμία x2≡5modpx^2 \equiv 5 \text{mod} p έχει λύση;

H ισοτιμία έχει λύση ακριβώς τότε όταν (5p)=1.\left( \frac{5}p \right)=1. Τώρα (5p)=1\left( \frac{5}p \right)=1 αν και μόνο αν (p5)=1.\left( \frac{p}5 \right)=1. Αν p≡1,4mod5,p\equiv 1,4 \text{mod} 5, τότε (p5)=1.\left( \frac{p}5 \right)=1. Αν p≡2,3mod5,p\equiv 2,3 \text{mod} 5, τότε (p5)=−1.\left( \frac{p}5 \right)=-1. Συνεπώς έχει λύση ακριβώς τότε όταν p≡±1mod5.p\equiv \pm 1 \text{mod} 5.

Μπορούμε να βρούμε με το sage όλα τα τετραγωνικά υπόλοιπα και όλα τα τετραγωνικά μη υπόλοιπα ως εξής:

sage:R=[x for x in range(63) if kronecker(x,63)==1];R
[1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 23, 25, 29, 32, 37, 43, 44, 46,
 50, 53, 58]
sage:NR=[x for x in range(63) if kronecker(x,63)==-1];NR
[5, 10, 13, 17, 19, 20, 26, 31, 34, 38, 40, 41, 47, 52, 55,
59, 61, 62]

foo Interactive

Βιβλιογραφία

Lemmermeyer, F. 2000. Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Monographs in Mathematics. Springer. https://books.google.gr/books?id=EwjpPeK6GpEC.

Αντωνιάδης, Ι., και A. Κοντογεώργης. 2015. Θεωρία Αριθμών Και Εφαρμογές. Εκδόσεις Κάλλιπος.

Λάκκης, Κ. 1990. Θεωρία Αριθμών. Εκδόσεις Ζήτη.

Πεπερασμένα Σώματα

Επεκτάσεις σωμάτων

\;

Θα ξεκινήσουμε εισάγοντας τον αναγνώστη σε μια σειρά από απαραίτητες αλγεβρικές έννοιες. Περισσότερες πληροφορίες μπορεί να αντληθούν από γενικά βιβλία Άλγεβρας (Βάρσος et al. 2012), (Fraleigh 2011) αλλά και από βιβλία Θεωρίας Galois (Stewart 2003).

Ας υποθέσουμε ότι K⊂LK\subset L είναι ένας εγκλεισμός σωμάτων. Το LL θα λέγεται επέκταση του σώματος K.K.

Παρατήρηση Αν το LL είναι επέκταση του KK από τις ιδιότητες των πράξεων του σώματος μπορούμε να αποδείξουμε ότι το LL είναι ένας διανυσματικός χώρος υπέρ του σώματος KK με τις πράξεις L×L→LL \times L \rightarrow L (x,y)↦x+y(x,y) \mapsto x+y και K×L→LK \times L \rightarrow L (λ,x)↦λx.(\lambda,x) \mapsto \lambda x. Θα ονομάζουμε βαθμό (και θα το συμβολίζουμε με [L:K][L:K]) της επέκτασης L/KL/K τη διάσταση dimKL.\text{dim}_K L.

Παράδειγμα Το σώμα των μιγαδικών αριθμών ℂ\mathbb{C} είναι διδιάστατος ℝ\mathbb{R}-διανυσματικός χώρος και συνεπώς [ℂ:ℝ]=2.[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2.

Ας θεωρήσουμε μία επέκταση L/K,L/K, ένα στοιχείο a∈La \in L και τον ομομορφισμό εκτίμησης ϕa:K[x]→L\phi_a: K[x] \rightarrow L f↦ϕa(f):=f(a). f \mapsto \phi_a(f):=f(a). Αν ο πυρήνας της ϕa\phi_a είναι διαφορετικός του μηδενικού ιδεώδους, τότε το aa λέγεται αλγεβρικό. Στην περίπτωση αυτή αφού ο δακτύλιος K[x]K[x] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ο πυρήνας θα είναι ένα ιδεώδες της μορφής ker(ϕa)=g(x)K[x],\text{ker}(\phi_a)= g(x) K[x], για κάποιο κατάλληλο πολυώνυμο g≠0,g\neq 0, το οποίο θα το ονομάζουμε το ελάχιστο πολυώνυμο του a.a.

Διαφορετικά, αν δηλαδή ο πυρήνας της ϕa\phi_a είναι το μηδενικό ιδεώδες, το στοιχείο aa θα ονομάζεται υπερβατικό.

Παρατήρηση Το ότι το ιδεώδες των πολυωνύμων που μηδενίζονται στο aa είναι κύριο και παράγεται από το ελάχιστο πολυώνυμο g,g, έχει τη συνέπεια ότι κάθε πολυώνυμο που μηδενίζεται στο aa να είναι διαιρετό με g.g. Η συμπεριφορά αυτή είναι παρόμοια με τη γνώριμη ιδιότητα του ελαχίστου πολυωνύμου μιας γραμμικής απεικόνισης από τη γραμμική άλγεβρα.

Παραδείγματα Σε μία επέκταση σωμάτων για παράδειγμα ℂ/ℚ\mathbb{C}/\mathbb{Q} μπορεί να υπάρχουν και αλγεβρικά και υπερβατικά στοιχεία. Για παράδειγμα το 2\sqrt{2} είναι αλγεβρικό αφού ο πυρήνας της συνάρτησης ϕ2\phi_{\sqrt{2}} είναι το ιδεώδες του δακτυλίου ℚ[x]\mathbb{Q}[x] που περιέχει κάθε πολυώνυμο που είναι διαιρετό με το x2−2.x^2-2. Τα στοιχεία π,e\pi, e είναι γνωστό ότι είναι υπερβατικά, αν και μία απόδειξη υπερβαίνει τους στόχους του βιβλίου αυτού.

Θα λέμε μία επέκταση L/KL/K αλγεβρική αν κάθε στοιχείο a∈La \in L είναι αλγεβρικό υπέρ του K.K. Θα λέμε μια επέκταση L/KL/K πεπερασμένη αν [L:K]<∞.[L:K] < \infty.

Είναι σαφές ότι κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι αλγεβρική. Πράγματι αν x∈Lx \in L θεωρούμε το σύνολο των δυνάμεων {1,x,x2,…,xn}\{1,x,x^2,\ldots,x^{n}\} όπου n=[L:K].n=[L:K]. Αυτά είναι n+1n+1 στοιχεία σε έναν χώρο διάστασης n,n, άρα είναι γραμμικά εξαρτημένα. Άρα υπάρχουν στοιχεία ai∈Ka_i \in K ώστε a0+a1x+⋯anxn=0, a_0 +a_1 x + \cdots a_n x^{n}=0, δηλαδή το xx μηδενίζει ένα πολυώνυμο με συντελεστές από το KK και είναι αλγεβρικό.

Από την άλλη υπάρχουν αλγεβρικές επεκτάσεις που δεν είναι πεπερασμένες όπως θα δούμε στη συνέχεια.

Αν M/LM/L και L/KL/K δύο πεπερασμένες επεκτάσεις, τότε και η M/KM/K είναι πεπερασμένη και μάλιστα ισχύει: [M:K]=[M:L]⋅[L:K]. [M:K]= [M:L] \cdot [L:K].

Απόδειξη Πρόκειται για ένα γνωστό θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας της συμπεριφοράς της διάστασης σε επέκταση των βαθμωτών. Η απόδειξη βασίζεται στην επιλογή μιας βάσης {v1,…,v[M:L]}\{v_1,\ldots,v_{[M:L]}\} του MM πάνω από το LL και στην επιλογή μιας βάσης {w1,…,w[L:K]}\{w_1,\ldots,w_{[L:K]} \} του LL πάνω από το K.K.Τα [M:L]⋅[L:K][M:L] \cdot [L:K] το πλήθος στοιχεία viwjv_i w_j αποτελούν μία βάση του MM πάνω από το K.K.

Για ένα σώμα KK η αλγεβρική κλειστότητα K¯\overline{K} του KK ορίζεται να είναι μια αλγεβρική επέκταση του KK ώστε κάθε πολυώνυμο f∈K[x]f\in K[x] να έχει όλες τις ρίζες του στο K.K.

Παρατηρήσεις Η ύπαρξη της αλγεβρικής κλειστότητας ενός τυχαίου σώματος απαιτεί το λήμμα του Zorn και παραλείπεται. Επίσης μπορεί κανείς να αποδείξει ότι η αλγεβρική κλειστότητα του KK είναι μοναδική μέχρι ισομορφισμού που σταθεροποιεί κάθε στοιχείο του K.K.

Στην περίπτωση του σώματος ℚ\mathbb{Q} μπορούμε να θεωρήσουμε το σώμα ℚ¯:=∩L∈IL\overline{\mathbb{Q}}:= \cap_{L \in I } L όπου η τομή λαμβάνεται πάνω στο σύνολο ΙΙ των επεκτάσεων L/KL/K που είναι αλγεβρικά κλειστές και περιέχουν το ℚ.\mathbb{Q}. Το σύνολο II είναι μη κενό αφού περιλαμβάνει το αλγεβρικά κλειστό σώμα ℂ.\mathbb{C}.

Η επέκταση ℚ¯/ℚ\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q} είναι ένα από τα δυσκολότερα και περισσότερο ενδιαφέροντα θέματα στη μελέτη της Θεωρίας Αριθμών αλλά και των Μαθηματικών γενικότερα.

Στη συνέχεια του μαθήματος θα μελετήσουμε συστηματικά την επέκταση 𝔽¯p/𝔽p.\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p.

Θεωρούμε ένα ανάγωγο πολυώνυμο f(x)∈𝔽[x].f(x) \in \mathbb{F}[x]. Το σώμα K:=𝔽[x]/f𝔽[x]K:=\mathbb{F}[x]/f \mathbb{F}[x] είναι ένας διανυσματικός χώρος υπέρ του σώματος 𝔽\mathbb{F} και [K:𝔽]:=dim𝔽K=degf.[K:\mathbb{F}]:= \text{dim}_\mathbb{F} K=\text{deg}f.

Απόδειξη Παρατηρούμε ότι χώρος πηλίκο είναι σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης με f(x)f(x) τα οποία είναι όλα τα πολυώνυμα βαθμού γνήσια μικρότερου του d.d.

Ο τελευταίος χώρος έχει ως βάση τα στοιχεία {1,x,…,xd−1}\{1,x,\ldots,x^{d-1}\} και συνεπώς dim𝔽K=degf.\text{dim}_\mathbb{F} K=\text{deg}f.

Θεωρούμε ένα πολυώνυμο f(x)∈𝔽[x].f(x) \in \mathbb{F}[x]. Τότε υπάρχει μια επέκταση KK του 𝔽,\mathbb{F}, ώστε το ff να έχει όλες τις ρίζες του στο K.K.

Απόδειξη Με επαγωγή στον βαθμό. Αν deg(f)=1\text{deg}(f)=1 τότε K=𝔽.K=\mathbb{F}. Υποθέτουμε ότι για πολυώνυμα βαθμού <n< n και για όλα τα σώματα η πρόταση είναι αληθής. Θεωρούμε ένα πολυώνυμο βαθμού nn και επιλέγουμε έναν ανάγωγο παράγοντα hh του f.f. Υπάρχει σώμα K1=𝔽[x]/⟨h⟩K_1 =\mathbb{F}[x]/\langle h \rangle στο οποίο το hh και άρα και το ff έχει μια ρίζα. Δηλαδή f(x)=(x−ρ)g(x).f(x)=(x-\rho) g(x).
Το αποτέλεσμα προκύπτει από την επαγωγική υπόθεση για το g.g.

Στοιχεία θεωρίας Galois

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία επέκταση L/KL/K σωμάτων. Θεωρούμε το σύνολο των αυτομορφισμών Gal(L/K)={σ:L→L,σ|K=Idk},\text{Gal}(L/K)=\{\sigma:L \rightarrow L, \sigma|_{K}=Id_k \}, δηλαδή των ισομομορφισμών σωμάτων L→LL\rightarrow L οι οποίοι όταν περιοριστούν στο σώμα KK το κρατούν σταθερό. Το σύνολο Gal(L/K)\text{Gal}(L/K) απότελεί ομάδα με πράξη τη σύνθεση.

Παράδειγμα Η ομάδα Galois της επέκτασης ℂ/ℝ\mathbb{C}/\mathbb{R} είναι ισόμορφη με την ℤ/2ℤ\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} και περιέχει δύο στοιχεία -τον ταυτοτικό ισομορφισμό και τη μιγαδική συζυγία-. Πράγματι, προκειμένου να περιγράψουμε έναν ισομορφισμό σ:ℂ→ℂ\sigma:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} που αφήνει το σώμα ℝ\mathbb{R} σταθερό, αρκεί να περιγράψουμε πόσο κάνει το σ(i)\sigma(i) αφού σ(x+iy)=x+σ(i)y,\sigma(x+iy)=x + \sigma(i) y, για x,y∈ℝ.x,y \in \mathbb{R}. Όμως, i2=−1i^2=-1 συνεπώς εφαρμόζοντας τον σ\sigma έχουμε ότι σ(i)2=−1,\sigma(i)^2=-1, δηλαδή το σ(i)\sigma(i) δεν μπορεί να είναι τίποτε άλλο από μια τετραγωνική ρίζα του −1.-1. Άρα σ(i)=±i,\sigma(i)=\pm i, στη μία περίπτωση ο σ\sigma είναι η ταυτότητα, ενώ στην άλλη ο σ\sigma είναι η μιγαδική συζυγία.

Αν ο a∈La\in L είναι ένα αλγεβρικό στοιχείο και ικανοποιεί μια αλγεβρική σχέση f(a)=0,f(a)=0, όπου το f(x)∈K[x],f(x)\in K[x], τότε κάθε στοιχείο της Gal(L/K)\text{Gal}(L/K) στέλνει το aa σε μία άλλη ρίζα του f(x).f(x).

ΑπόδειξηTo θεώρημα αυτό είναι σαφές αφού αν f(x)=a0+a1x+⋯+anxnf(x)=a_0 +a_1 x + \cdots + a_n x^n τότε η σχέση σ(f(a))=σ(0)=0\sigma(f(a))=\sigma(0)=0 δίνει ότι a0+a1σ(a)+⋯+anσ(a)n=0a_0 + a_1 \sigma(a) + \cdots + a_n \sigma(a)^n=0 δηλαδή το σ(a)\sigma(a) είναι επίσης ρίζα του f(x).f(x).

Παρατήρηση Το παραπάνω είναι γενίκευση του γνωστού θεωρήματος: οι ρίζες πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές εμφανίζονται σε ζευγάρια συζυγών μιγαδικών αριθμών.

Ερώτημα Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ανάγωγο πολυώνυμο ff στο K[x],K[x], και έστω a1,…,ana_1,\ldots,a_n οι ρίζες του f.f. Είναι σωστό ότι κάθε μετάθεση των a1,…,ana_1,\ldots,a_n επεκτείνεται σε ένα ισομορφισμό σωμάτων μιας κατάληλης επέκτασης του LL;

Πριν απαντήσουμε ας δούμε μία περίπτωση που αυτό δεν ισχύει. Για pp πρώτο, το πολυώνυμο 1+x+⋯+xp−11+x+\cdots+x^{p-1} είναι ένα ανάγωγο πολυώνυμο του ℚ[x].\mathbb{Q}[x]. Οι ρίζες του είναι όλες οι pp-ρίζες της μονάδας και όλες είναι δύναμη μίας τέτοιας, δηλαδή υπάρχει μία ζp\zeta_p ώστε κάθε άλλη pp-ρίζα του 11 να είναι της μορφής ζpi\zeta_p^i για κάποιο 1≤i≤p−1.1\leq i \leq p-1.

Σε αυτή την περίπτωση, αν σ(ζ)=ζi0\sigma(\zeta)=\zeta^{i_0} (δεν θα μπορούσε να είναι τίποτε άλλο παρά μία άλλη pp-ρίζα του 11) τότε αφού ο σ\sigma είναι ένας ισομορφισμός σωμάτων θα πρέπει να έχουμε ότι σ(ζpk)=ζpki0.\sigma(\zeta_p^k)=\zeta_p^{ ki_0}. Αυτό σημαίνει ότι αν ``προσδιορίσουμε’’ την εικόνα μίας pp-ρίζας του 11 έχουμε προσδιορίσει τις εικόνες όλων των άλλων ριζών. Συνεπώς δεν εμφανίζονται όλες οι δυνατές μεταθέσεις μεταξύ των ριζών.

Με άλλα λόγια τα στοιχεία της ομάδας Galois είναι συγκεκριμένες μεταθέσεις που πρέπει να σέβονται κάθε αλγεβρική σχέση μεταξύ των ριζών. Η ιδέα για τη σχέση αυτή μεταξύ μεταθέσεων και αλγεβρικών σχέσεων μεταξύ των ριζών ήταν το εφαλτήριο του E. Galois για την ανάπτυξη της ομώνυμης θεωρίας. Στην περίπτωση που οι ρίζες είναι αρκετά ανεξάρτητες εμφανίζεται ολόκληρη η SnS_n ως ομάδα Galois.

Evariste Galois 1811-1832, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Πρόβλημα Δίνεται μία πεπερασμένη ομάδα G.G. Υπάρχει μια επέκταση L/ℚL/\mathbb{Q} η οποία να έχει ως ομάδα Galois την ομάδα GG;

Αυτό είναι ένα διάσημο βαθύ άλυτο πρόβλημα γνωστό και ως αντίστροφο πρόβλημα της Θεωρίας του Galois.

Για την επίλυσή του έχουν χρησιμοποιηθεί πλήθος εργαλεία από σχεδόν κάθε περιοχή των μαθηματικών. O J.P. Serre φέρεται να έχει πει ότι το αντιστρόφο πρόβλημα της θεωρίας του Galois μας δίνει τη δικαιολογία να μελετήσουμε πολλά και διαφορετικά μαθηματικά.

J.P. Serre, Δημιουργός: R. Schmid, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν αλγεβρικό αριθμό a∈La\in L σε μία επέκταση του L/ℚ.L/\mathbb{Q}. Μπορούμε να θεωρήσουμε τον αριθμό aa modulo pp? Δεν έχει νόημα! Μπορούμε όμως να υπολογίζουμε ένα πολυώνυμο με συντελεστές στο ℤ\mathbb{Z} που να έχει το aa ως ρίζα και να θεωρήσουμε το πολυώνυμο αυτό modulo p.p. Πώς θα το υπολογίσουμε αυτό το πολύωνυμο;

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Να βρεθεί ένα πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές που να έχει το a+iba+ib ως ρίζα, όπου a,b∈ℝ.a,b \in \mathbb{R}. Ένα τέτοιο πολυώνυμο είναι το (x−(a+ib))(x−(a−ib))=x2−2ax+(a+ib)(a−ib)(x-(a+ib))(x-(a-ib))=x^2 -2a x +(a+ib)(a-ib) =x2−2ax+(a2+b2).=x^2 -2ax +(a^2+b^2). Προφανώς αυτό το πολυώνυμο είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του ℚ[x]\mathbb{Q}[x] που έχει το a+iba+ib ως ρίζα, αφού αν έχει το a+iba+ib θα πρέπει να έχει και τη συζυγή ρίζα. Επιπλέον αν το b≠0b\neq 0 το παραπάνω πολυώνυμο είναι ανάγωγο. Παρατηρήστε ότι οι συντελεστές του πολυωνύμου δίνονται ως συμμετρικές εκφράσεις των ριζών: (x−ρ1)(x−ρ2)=x2−(ρ1+ρ2)x+ρ1ρ2.(x-\rho_1)(x-\rho_2)=x^2 - (\rho_1+\rho_2)x + \rho_1 \rho_2. Επιπλέον μπορούμε να δούμε ότι στην περίπτωση που ρ1=ρ,\rho_1=\rho, ρ2=ρ¯,\rho_2=\overline{\rho}, το άθροισμα ρ+ρ¯\rho+\overline{\rho} και το γινόμενο των ριζων ρρ¯\rho \overline{\rho} είναι αναλλοίωτα στοιχεία κάτω από τη μιγαδική συζυγία.

Να βρεθεί ένα πολυώνυμο στο ℚ[x]\mathbb{Q}[x] το οποίο να έχει ρίζα το a+b2.a+b\sqrt{2}. Θα δουλέψουμε με τον ίδιο τρόπο με το πολυώνυμο (x−(a+b2))(x−(a−b2))=x2−2ax+(a2−2b2).(x-(a+b\sqrt{2}))(x-(a-b\sqrt{2}))=x^2-2a x +(a^2-2b^2).

Και πάλι αν το a+b2a+b\sqrt{2} είναι ρίζα και το a−b2a-b\sqrt{2} θα πρέπει να είναι ρίζα. Το παραπάνω πολυώνυμο είναι ανάγωγο, αρκεί το b≠0.b\neq 0.

Ας δούμε τώρα κάτι δυσκολότερο: Μπορούμε να βρούμε ένα πολυώνυμο που να έχει ρίζα το 2+3\sqrt{2}+\sqrt{3}; Υπολογίζουμε ότι (x−2−3)(x+2−3)(x−2+3)(x+2+3)=(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3})= =x4−10x+1=x^4-10x+1

O παραπάνω υπολογισμός γίνεται στο sage ως εξής:

sage:R.<x,y> = PolynomialRing(QQ,2);R
Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
sage:S.<sq2,sq3> = QuotientRing(R,R.ideal(x^2-2,y^2-3));S
Quotient of Multivariate Polynomial Ring in x, y over
Rational Field by the ideal (x^2 - 2, y^2 - 3)
sage:RR.<X> = PolynomialRing(S);RR
(X-sq2-sq3)*(X-sq2+sq3)*(X+sq2-sq3)*(X+sq2+sq3)
X^4 - 10*X^2 + 1

foo Interactive

Ορίζουμε τον δακτύλιο RR ως έναν δακτύλιο δύο μεταβλητών με συντελεστές από τους ρητούς. Στη συνέχεια ορίζουμε έναν νέο δακτύλιο S,S, στις μεταβλητές sq2,sq3 στον οποίο επιβάλλουμε (μέσω της κατασκευής ενός δακτυλίου πηλίκου) να είναι οι τετραγωνικές ρίζες του 2,32,3 αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε τέλος τον δακτύλιο πολυωνύμων S[X]S[X] μέσα στον οποίο εκτελούμε τη ζητούμενη πράξη!

Πεπερασμένα Σώματα

\; Η βιβλιογραφία για τα πεπερασμένα σώματα είναι εκτενής. Πέρα από βιβλία γενικής άλγεβρας μπορούμε να προτείνουμε τα (Lidl and Niederreiter 1997) και (Mullen and Panario 2013).

Κάθε πεπερασμένο 𝔽\mathbb{F} σώμα έχει php^h το πλήθος στοιχεία όπου hh είναι η διάσταση του 𝔽\mathbb{F} ως διανυσματικού χώρου υπέρ του 𝔽p.\mathbb{F}_p.

Απόδειξη Θεωρούμε το 𝔽\mathbb{F} ώς διανυσματικό χώρο υπέρ του σώματος 𝔽p:=ℤ/pℤ.\mathbb{F}_p:=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. Αναγκαστικά η διάσταση είναι πεπερασμένη. Θεωρούμε μία βάση {e1,…,eh}\{e_1,\ldots,e_h\} του 𝔽.\mathbb{F}. Κάθε στοιχείο του 𝔽\mathbb{F} γράφεται στη μορφή: λ1e1+⋯λheh, \lambda_1 e_1+\cdots \lambda_h e_h, όπου τα λi\lambda_i διατρέχουν το ℤ/pℤ.\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. Προφανώς το 𝔽\mathbb{F} έχει php^h στοιχεία, όσες και οι επιλογές των λi∈𝔽p.\lambda_i \in \mathbb{F}_p.

Αντιστρόφως, αν δοθεί μια δύναμη πρώτου php^h υπάρχει σώμα με php^h το πλήθος στοιχεία; Αν το h=1h=1 είναι σαφές ότι υπάρχει ένα τέτοιο σώμα το 𝔽p=ℤ/pℤ.\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. Μάλιστα κάθε άλλο σώμα με pp το πλήθος στοιχεία είναι ισόμορφο με το 𝔽p,\mathbb{F}_p, αφού θα πρέπει να περιέχει ένα σώμα ισόμορφο με το 𝔽p\mathbb{F}_p και αφού έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων είναι ισόμορφα.

Θα χρειαστούμε την παρακάτω

Σε κάθε δακτύλιο RR χαρακτηριστικής pp για κάθε x,y∈Rx,y \in R ισχύει: (x+y)ph=xph+yph.(x+y)^{p^h}=x^{p^h}+ y^{p^h}.

Απόδειξη Θα το αποδείξουμε πρώτα για h=1.h=1. Ισχύει ότι (x+y)p=∑ν=0p(pν)xνyp−ν. (x+y)^p=\sum_{\nu=0}^p \binom{p}{\nu} x^{\nu} y^{p-\nu}. Ισχύει (p0)=(pp)=1.\binom{p}{0}=\binom{p}{p}=1.

Οι συντελεστές (pν)\binom{p}{\nu} 1≤ν≤p−11\leq \nu \leq p-1 είναι όλοι διαιρετοί με p.p. Πράγματι, (pν)=p(p−1)!i!(p−i)!∈ℤ\binom{p}{\nu}=p \frac{(p-1)!}{i! (p-i)!} \in \mathbb{Z} Κανείς παράγοντας του παρονομαστή (που είναι όλοι γνήσια μικρότεροι του pp) δεν διαιρεί το p.p. Άρα διαιρουν το (p−1)!(p-1)! Συνεπώς (p−1)!i!(p−i)!∈ℤ\frac{(p-1)!}{i! (p-i)!} \in \mathbb{Z} και (pν)≡0modp1≤ν≤p−1.\binom{p}{\nu}\equiv 0 \text{mod} p \;\;\; 1\leq \nu \leq p-1. Αυτό αποδεικνύει ότι (x+y)p=xp+yp.(x+y)^p=x^p+y^p. Η γενική περίπτωση προκύπτει με επαγωγή: Αν ισχύει (x+y)ph−1=xph−1+yph−1,(x+y)^{p^{h-1}}=x^{p^{h-1}}+y^{p^{h-1}}, τότε υψώνουμε στην pp και χρησιμοποιούμε την περίπτωση h=1h=1 για να δείξουμε ότι (x+y)ph=xph+yph.(x+y)^{p^h}=x^{p^h}+y^{p^h}.

Χρειαζόμαστε ένα κριτήριο που θα εξασφαλίζει ότι ένα πολυώνυμο έχει απλές ρίζες. Πρώτα θα χρειαστεί να αναπτύξουμε μια έννοια παραγώγου σε έναν οποιονδήποτε δακτύλιο. Ο ορισμός μας δεν θα περιλαμβάνει καθόλου την έννοια του ορίου.

Για κάθε σώμα 𝔽\mathbb{F} υπάρχει μια συνάρτηση D:𝔽[x]→𝔽[x],D:\mathbb{F}[x] \rightarrow \mathbb{F}[x], η οποία ικανοποιεί

D(f+g)=D(f)+D(g)D(f+g)=D(f)+ D(g) για κάθε f,g∈𝔽[x].f,g\in \mathbb{F}[x].

D(fg)=fD(g)+D(f)gD(fg)=f D(g)+ D(f)g

D(x)=1,D(c)=0D(x)=1, D(c)=0 για κάθε c∈𝔽.c\in \mathbb{F}.

Απόδειξη Παρατηρούμε ότι η 3η ιδιότητα σε συνδυασμό με τη δεύτερη επιβάλλει D(cf)=cD(f)D(cf)=c D(f) για κάθε c∈𝔽,c\in \mathbb{F}, δηλαδή η DD είναι γραμμική.

Λόγω γραμμικότητας αρκεί να ορίσουμε τη συνάρτησή μας πάνω στα στοιχεία xν,x^\nu, ν∈ℕ.\nu \in \mathbb{N}. Επιπλέον, αφού D(x)=1D(x)=1 έχουμε ότι D(xn)=D(x)xn−1+xD(xn−1).D(x^n)=D(x)x^{n-1}+ x D(x^{n-1}). Η παραπάνω σχέση επιβάλει να ορίσουμε D(xn)=nxn−1,D(x^n)=n x^{n-1}, όπως μπορούμε να δείξουμε με επαγωγή.

Αν p(x)∈𝔽[x]p(x)\in \mathbb{F}[x] πολυώνυμο βαθμού mm με συντελεστές από ένα σώμα 𝔽\mathbb{F} τότε η εξίσωση p(x)=0p(x)=0 έχει το πολύ mm διακεκριμένες ρίζες στο 𝔽.\mathbb{F}.

Απόδειξη Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της επαγωγής ως προς τον βαθμό του πολυωνύμου p(x).p(x). Αν m=1m=1 τότε το p(x)=ax+b,p(x)=ax+b, a≠0a\neq 0 και η p(x)p(x) έχει ακριβώς μία λύση στο 𝔽\mathbb{F} την x=−b/a.x=-b/a.

Αν m≥2m\geq 2 και η p(x)=0p(x)=0 δεν έχει καμία λύση τελειώσαμε. Αν η εξίσωση p(x)=0p(x)=0 έχει μία λύση aa τότε p(x)=(x−a)g(x)p(x)=(x-a)g(x) όπου g(x)∈𝔽[x].g(x) \in \mathbb{F}[x]. Αν έχουμε μια άλλη ρίζα bb η οποία είναι διαφορετική από την aa τότε επειδή p(b)=(b−a)g(b)=0p(b)=(b-a)g(b)=0 και b−a≠0b-a\neq 0 έχουμε ότι g(b)=0,g(b)=0, δηλαδή το bb είναι ρίζα του g(x)g(x) το οποίο όμως έχει βαθμό m−1,m-1, οπότε για αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την επαγωγική υπόθεση.

Εφαρμογή Ισχύει ότι (p−1)!≡−1modp(p-1)! \equiv -1 \text{mod} p για κάθε πρώτο αριθμό p.p. H παραπάνω ισότητα είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως θεώρημα του Wilson. Αν το p=2,p=2, τότε η παραπάνω ισότητα ισχύει. Αν pp περιττός πρώτος παρατηρούμε ότι η εξίσωση xp−xx^p-x έχει ως ρίζα κάθε στοιχείο του 𝔽p,\mathbb{F}_p, οπότε το ζητούμενο προκύπτει με σύγκριση του σταθερου όρου των πολυωνύμων x(x−1)(x−2)⋯(x−(p−1))=xp−x.x(x-1)(x-2)\cdots (x-(p-1))=x^p-x.

Παράδειγμα Στον δακτύλιο R[x],R[x], όταν το RR δεν είναι σώμα, μπορεί ένα πολυώνυμο να έχει περισσότερες λύσεις από τον βαθμό του. Για παράδειγμα η εξίσωση δευτέρου βαθμού x2−1=0x^2-1=0 στον ℤ/8ℤ\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} έχει 44-λύσεις, τις x=1,3,5,7.x=1,3,5,7. Αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με την παραπάνω πρόταση αφού το ℤ/8ℤ\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} δεν είναι σώμα.

Το πολυώνυμο f∈𝔽[x]f\in \mathbb{F}[x] έχει πολλαπλή ρίζα στο ρ∈𝔽,\rho\in \mathbb{F}, δηλαδή είναι διαιρετό με (x−ρ)i(x-\rho)^i για i≥2i\geq 2 αν και μόνο αν f(ρ)=D(f)(ρ)=0.f(\rho)=D(f)(\rho)=0.

Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι f(x)=(x−ρ)ig(x)f(x)=(x-\rho)^i g(x) και (x−ρ)(x-\rho) δεν διαιρεί το g(x).g(x). Παραγωγίζουμε και έχουμε: Df(x)=(x−ρ)iD(g(x))+i(x−ρ)i−1g(x).D f(x)= (x-\rho)^i D(g(x))+ i (x-\rho)^{i-1} g(x). Το συμπέρασμα είναι άμεσο.

Το παραπάνω αποτέλεσμα μας εξασφαλίζει ότι το πολυώνυμο xp−xx^p-x έχει απλές ρίζες, αφού
D(xp−x)=−1.D(x^p-x)=-1. Επιπλέον το xp−xx^p-x έχει ως ρίζα κάθε στοιχείο του 𝔽p,\mathbb{F}_p, όπως μπορούμε να δείξουμε με επαγωγή. Πράγματι 1p=1,1^p=1, υποθέτουμε ότι np=nn^p=n και υπολογίζουμε ότι (n+1)p=np+1p=n+1.(n+1)^p=n^p+1^p=n+1.

Ας θεωρήσουμε το πολυώνυμο gp,h:=xph−x.g_{p,h}:=x^{p^h}-x. Με βάση το κριτήριο της παραγώγου όλες οι ρίζες του είναι διαφορετικές. Επιπλέον μπορούμε να αποδείξουμε ότι οι ρίζες έχουν τη δομή σώματος. Πράγματι, έστω ένα αρκετά μεγάλο σώμα το οποίο να περιέχει όλες τις ρίζες του gp,h.g_{p,h}. Η ιδιότητα (a+b)ph=aph+bph (a+b)^{p^h}=a^{p^h}+b^{p^h} επιβάλλει ότι το άθροισμα και η διαφορά ριζών του gp,hg_{p,h} είναι ρίζα του gp,h.g_{p,h}. Επίσης το γινόμενο ριζών είναι ρίζα και οι ρίζες του gp,hg_{p,h} αποτελούν ένα σώμα.

Θα δείξουμε τώρα ότι κάθε πεπερασμένο σώμα με php^h στοιχεία ταυτίζεται με το σώμα ριζών του gp,h.g_{p,h}. Πράγματι, έστω ένα σώμα με php^h στοιχεία. Αναγράφουμε τα στοιχεία του σώματος {a1,…,aph}\{a_1,\ldots,a_{p^h} \} με a1=0,a_1=0, a2=1.a_2=1. Έστω ένα μη μηδενικό στοιχείο a.a. Πολλαπλασιάζουμε όλα τα στοιχεία του σώματος με aa και έχουμε τα {aa1,…,aaph}.\{ a a_1,\ldots, a a_{p^h}\}. Ο πολλαπλασιασμός με aa διατηρεί τα μη μηδενικά στοιχεία και συνεπώς ∏i=2phai=∏i=2phaai,\prod_{i=2}^{p^h} a_i =\prod_{i=2}^{p^h} a a_i, άρα το τυχαίο μη μηδενικό στοιχείο ικανοποιεί την εξίσωση aph−1=1a^{p^h-1}=1 με άλλα λόγια είναι ρίζα του πολυωνύμου gp,h.g_{p,h}. Προφανώς και το 00 είναι ρίζα του gp,h.g_{p,h}.

Στο πρόγραμμα sage μπορούμε να κατασκευάσουμε πεπερασμένα σώματα ως εξής:

sage:k = GF(9, 'a');k
Finite Field in a of size 3^2
sage:for i,x in enumerate(k):  print i,x
0 0
1 a
2 a + 1
3 2*a + 1
4 2
5 2*a
6 2*a + 2
7 a + 2
8 1

foo Interactive

Η πολλαπλασιαστική ομάδα ενός πεπερασμένου σώματος είναι μια κυκλική ομάδα.

Απόδειξη 1η Γνωρίζουμε ότι η πολλαπλασιαστική ομάδα GG του σώματος είναι αβελιανή με τάξη pn−1.p^n-1. Από το θεώρημα ταξινόμησης των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων αυτή θα είναι της μορφής: G=ℤ/n1ℤ⊕⋯⊕ℤ/nrℤ,G=\mathbb{Z}/n_1 \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/ n_r \mathbb{Z}, για φυσικούς αριθμούς n1,…,nrn_1,\ldots,n_r των οποίων το γινόμενο είναι pn−1.p^n-1. Θεωρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους m.m. Είναι σαφές ότι m≤n1⋯nr.m \leq n_1 \cdots n_r. Ένα τυχαίο στοιχείο x∈Gx\in G θα είναι της μορφής x=(x1,…,xn)x=(x_1,\ldots,x_n) όπου xν∈ℤ/nνℤ.x_\nu \in \mathbb{Z}/n_\nu \mathbb{Z}. Άρα xm=1.x^m=1. Όμως η εξίσωση xm−1x^m-1 σε ένα σώμα έχει το πολύ mm ρίζες άρα m=pn−1=|G|.m=p^n-1=|G|. Αυτό σημαίνει ότι (ni,nj)=1(n_i,n_j)=1 και συνεπώς η ομάδα GG είναι κυκλική.

Κάθε γεννήτορας της κυκλικής ομάδας (𝔽ph)*(\mathbb{F}_{p^h})^* θα λέγεται πρωταρχικό στοιχείο.

Παράδειγμα Στο σώμα με 77 στοιχεία έχουμε 𝔽7*={1,2,3,4,5,6}.\mathbb{F}_7^*=\{1,2,3,4,5,6\}. Παρατηρούμε ότι οι δυνάμεις του 22 είναι οι {2,22=4,23=8=1},\{2,2^2=4,2^3=8=1\}, άρα το 22 έχει τάξη 33 και δεν μπορεί να παράγει ολόκληρη την πολλαπλασιαστική ομάδα. Θεωρούμε τώρα τις δυνάμεις του 3.3. 32=9=2,3^2=9=2, άρα το 33 έχει τάξη 66 και παράγει όλη την ομάδα.

Θα χρειαστούμε μερικά στοιχεία από τη θεωρία των κυκλικών ομάδων.

Σε μία κυκλική ομάδα με γεννήτορα TT και τάξη m,m, το στοιχείο TiT^i έχει τάξη m/(m,i).m/(m,i).

Απόδειξη Πράγματι αν ss είναι η τάξη του Ti,T^i, τότε Tis=1T^{is}=1 και έτσι m∣is.m \mid is. Συνεπώς m/(i,m)∣s.m/(i,m) \mid s. Από την άλλη (Ti)m/(i,m)=(Tm)i/(i/m)=1.(T^i)^{m/(i,m)}=(T^{m})^{i/(i/m)}=1. Άρα s∣m/(i,m),s \mid m/(i,m), συνεπώς s=m/(i,m).s=m/(i,m).

Θεωρούμε μια κυκλική ομάδα G=⟨T⟩G=\langle T \rangle με τάξη m.m. Για κάθε διαιρέτη δ∣m\delta \mid m το πλήθος των στοιχείων με τάξη δ\delta είναι ϕ(δ).\phi(\delta).

Απόδειξη Σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση τα στοιχεία TiT^i με (a,i)=1(a,i)=1 είναι ακριβώς τα στοιχεία με τάξη m.m. Αυτά είναι ακριβώς ϕ(m)\phi(m) το πλήθος.

Ένα στοιχείο με τάξη δ∣m\delta \mid m είναι (πάλι σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση) το στοιχείο Tm/δ.T^{m/\delta}. Αυτό γεννά μια κυκλική ομάδα ⟨Tm/δ⟩\langle T^{m/\delta}\rangle η οποία έχει για γεννήτορες τα στοιχεία T(m/δ)jT^{(m/\delta)j} με (j,δ)=1.(j,\delta)=1. Τα στοιχεία αυτά είναι ϕ(δ)\phi(\delta) το πλήθος.

Για κάθε φυσικό αριθμό mm ισχύει m=∑δ∣mϕ(δ).m=\sum_{\delta \mid m } \phi(\delta).

Απόδειξη Εδώ θα δώσουμε μια απόδειξη βασισμένη στη θεωρία των κυκλικών ομάδων. Θεωρούμε την κυκλική ομάδα με τάξη mm και διαμερίζουμε τα στοιχεία της ανάλογα με την τάξη τους. Από το θεώρημα του Lagrange οι δυνατές τάξεις στοιχείων της ομάδας είναι οι διαιρέτες δ∣m.\delta \mid m. Από την παραπάνω πρόταση ο τύπος είναι σαφής.

Κάνοντας χρήση του τύπου ϕ(m)=∑δ∣mϕ(δ)\phi(m)=\sum_{\delta \mid m } \phi(\delta) μπορούμε να δώσουμε ακόμα μία απόδειξη ότι η πολλαπλασιαστκή ομάδα ενός πεπερασμένου σώματος είναι κυκλική. Θα χρειαστούμε το παρακάτω:

Μια πεπερασμένη ομάδα GG με τάξη mm είναι κυκλική αν και μόνο αν για κάθε διαιρέτη δ∣m\delta \mid m υπάρχει το πολύ μία κυκλική υποομάδα της GG με τάξη δ.\delta.

Απόδειξη Αν η GG είναι κυκλική, τότε είναι σαφές ότι έχουμε ακριβώς μια υποομάδα με τάξη δ\delta για κάθε δ∣m.\delta \mid m.

Αντιστρόφως, τα στοιχεία με τάξη δ\delta στην ομάδα GG είναι ή 00 ή ϕ(δ).\phi(\delta). Πράγματι αν δεν υπάρχει στοιχείο με τάξη δ\delta το πλήθος τους είναι 00 ενώ αν υπάρχει στοιχείο με τάξη δ\delta τότε αυτό θα παράγει μια κυκλική ομάδα με τάξη δ\delta η οποία θα είναι μοναδική. Αυτό θα έχει ως συνέπεια το πλήθος των στοιχείων με τάξη δ\delta αν δεν είναι 00 να είναι ϕ(δ).\phi(\delta). Διαμερίζουμε και πάλι τα στοιχεία της ομάδας με τάξη δ.\delta. Από τον τύπο του αθροίσματος έχουμε ότι ∑δ∣mϕ(δ)=m=∑δ′∣mϕ(δ′)\sum_{\delta \mid m } \phi(\delta)= m =\sum_{\delta' \mid m} \phi(\delta') όπου το αριστερό άθροισμα διατρέχει τους διαιρέτες δ∣m\delta \mid m ενώ το δεξί τους διαιρέτες δ′\delta' για τους οποίους υπάρχει στοιχείο τάξης δ′\delta' στην ομάδα G.G. Είναι σαφές (αφού και τα δύο αθροίσματα δίνουν αποτέλεσμα mm) ότι για κάθε διαιρέτη υπάρχει στοιχείο τάξης δ\delta και θεωρώντας δ=m,\delta=m, έχουμε ότι η ομάδα είναι κυκλική.

Μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι η πολλαπλασιαστική ομάδα ενός πεπερασμένου σώματος είναι κυκλική: Πράγματι, για κάθε δ∣ph−1=|𝔽ph|\delta \mid p^h-1=|\mathbb{F}_{p^h}| τα στοιχεία με τάξη δ\delta είναι ακριβώς οι δ\delta-ρίζες της μονάδας οι οποίες είναι οι λύσεις της εξίσωσης xδ−1=0x^\delta-1=0 η οποία έχει ή ακριβώς δ\delta το πλήθος ρίζες ή καμία.

Κάθε υπόσωμα του σώματος 𝔽pn\mathbb{F}_{p^n} έχει pdp^d στοιχεία με d∣n.d \mid n. Επιπλέον, για d∣nd\mid n υπάρχει μοναδικό υπόσωμα του 𝔽\mathbb{F} με pdp^d το πλήθος στοιχεία.

Απόδειξη Έστω KK υπόσωμα του 𝔽pn.\mathbb{F}_{p^n}. Η χαρακτηριστική του ΚΚ είναι pp άρα έχουμε την παρακάτω αλυσίδα σωμάτων: 𝔽p⊂K⊂𝔽pn. \mathbb{F}_p \subset K \subset \mathbb{F}_{p^n}. O βαθμός της επέκτασης [K:𝔽p]=d,[K:\mathbb{F}_p]=d, ενώ ο βαθμός της επέκτασης [𝔽pn:𝔽p]=n.[\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_p]=n. Άρα n=d⋅[𝔽pn:K].n =d \cdot [\mathbb{F}_{p^n} : K].

Αντιστρόφως αν d∣n,d\mid n, τότε (pd−1)∣(pn−1),(p^d-1) \mid (p^n-1), αφού: (pn−1)=(pd)n/d−1=(pd−1)(1+pd+p2d+⋯+pd(n/d−1)).(p^n-1)=(p^d)^{n/d}-1= (p^d-1) (1+ p^d+p^{2d} + \cdots + p^{d(n/d-1)}). Άρα xpd−1−1∣xpn−1−1x^{p^{d}-1}-1 \mid x^{p^n-1}-1 και συνεπώς xpd−x∣xpn−x.x^{p^d}-x \mid x^{p^n}-x. To σώμα ριζών του xpd−xx^{p^d}-x έχει pdp^d στοιχεία και δεν υπάρχει άλλο τέτοιο σώμα (αφού κάθε μη μηδενικό θα ήταν ρίζα του xd−x.x^d-x.)

Παρατήρηση Αφού η ομάδα 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h} είναι κυκλική τάξης ph−1,p^h-1, υπάρχουν ακριβώς ϕ(ph−1)\phi(p^h-1) γεννήτορές της (πρωταρχικά στοιχεία).

Για κάθε πεπερασμένο σώμα 𝔽pk\mathbb{F}_{p^k} και κάθε nn υπάρχει ένα ανάγωγο πολυώνυμο βαθμού n.n.

Απόδειξη Θεωρούμε ένα σώμα EE με pnkp^{nk} το πλήθος στοιχεία. Θεωρούμε ένα πρωταρχικό στοιχείο ζ\zeta του E.E. Ισχύει ότι E=𝔽pk(ζ).E=\mathbb{F}_{p^k}(\zeta). Ο βαθμός της επέκτασης 𝔽pk(ζ)/𝔽pk\mathbb{F}_{p^k}(\zeta)/\mathbb{F}_{p^k} είναι nn και ταυτίζεται με τον βαθμό του ανάγωγου πολυώνυμου του ζ.\zeta. Το ελάχιστο πολυώνυμο του ζ\zeta είναι συνεπώς ίσο με n.n.

Έστω 𝔽pn\mathbb{F}_{p^n} ένα πεπερασμένο σώμα με pnp^n το πλήθος στοιχεία. Θεωρούμε ένα ανάγωγο πολυώνυμο σ(x)∈𝔽pn[x].\sigma(x) \in \mathbb{F}_{p^n}[x]. Αν ζ\zeta είναι μια ρίζα του πολυωνύμου σ(x),\sigma(x), τότε το σώμα ριζών του σ(x)\sigma(x) είναι το 𝔽pn(ζ).\mathbb{F}_{p^n}(\zeta). Με άλλα λόγια, αν επισυνάψουμε μία ρίζα του αναγώγου πολυωνύμου τότε τις επισυνάπτουμε όλες.

Απόδειξη Το σώμα 𝔽pn(ζ),\mathbb{F}_{p^n}(\zeta), όπου ζ\zeta ρίζα του σ(x)\sigma(x) είναι ένα σώμα με pndp^{nd} στοιχεία, όπου d=deg(σ(x)).d =\text{deg}(\sigma(x)). Άρα το 𝔽pn(ζ)\mathbb{F}_{p^n}(\zeta) είναι το σώμα ριζών του xpnd−x.x^{p^{nd}}-x. Το σ(x)\sigma(x) διαιρεί το xpnd−x.x^{p^{nd}}-x. Συνεπώς όλες οι ρίζες του σ(x)\sigma(x) είναι και ρίζες του xpnd−x.x^{p^{nd}}-x.

Παρατήρηση Σε σώματα χαρακτηριστικής 00 το παραπάνω θεώρημα δεν είναι σωστό. Πράγματι το πολυώνυμο x3−2∈ℚ[x]x^3-2 \in \mathbb{Q}[x] έχει μια πραγματική ρίζα την 23∈ℝ.\sqrt[3]{2} \in \mathbb{R}. Το σώμα ℚ(23)\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) δεν περιέχει τις άλλες δύο μιγαδικές ρίζες 23ω,\sqrt[3]{2} \omega, 23ω2\sqrt[3]{2} \omega^2 του x3−2,x^3-2, όπου ω,ω2=ω¯\omega, \omega^2=\overline{\omega} είναι οι μιγαδικές τρίτες ρίζες της μονάδας.

Έστω 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h} σώμα με q=phq=p^h το πλήθος στοιχεία και σ(x)\sigma(x) ανάγωγο πολυώνυμο υπέρ του σώματος 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h} και το οποίο έχει βαθμό d.d. To σ(x)∣(xqn−x)\sigma(x) \mid (x^{q^n}-x) αν και μόνο αν d∣n.d \mid n.

Απόδειξη Έστω ζ\zeta μια ρίζα του σ(x).\sigma(x). Το σώμα 𝔽q(ζ)\mathbb{F}_q(\zeta) είναι ένα σώμα με qdq^d το πλήθος στοιχεία. Αν σ(x)|xqn−x\sigma(x) | x^{q^n}-x τότε το ζ\zeta είναι ρίζα του xqn−xx^{q^n}-x και συνεπώς το 𝔽q(ζ)\mathbb{F}_q(\zeta) με qdq^d το πλήθος στοιχεία είναι υπόσωμα του 𝔽qn.\mathbb{F}_{q^n}. Το σώμα ριζών του xqn−xx^{q^n}-x με qnq^n το πλήθος στοιχεία έχει ένα υπόσωμα με qdq^d στοιχεία αν και μόνο αν d∣n.d \mid n.

O τελεστής του Frobenious

Θεωρούμε τo πεπερασμένο σώμα 𝔽q\mathbb{F}_q με q=phq=p^h το πλήθος στοιχεία. Θα δείξουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό d,d, υπάρχει μοναδικό μέχρι ισομορφισμού σώμα FF ώστε [F:𝔽q]=d.[F:\mathbb{F}_q]=d. Το σώμα αυτό είναι το σώμα 𝔽qd.\mathbb{F}_{q^d}.

Ό τελεστής του Frobenious είναι μία συνάρτηση: Fq:𝔽qd→𝔽qdF_q: \mathbb{F}_{q^d} \rightarrow \mathbb{F}_{q^d} x↦xq.x \mapsto x^q. Παρατηρούμε ότι Fq(x+y)=Fq(x)+Fq(y)F_q(x+y)=F_q(x)+F_q(y) και ότι Fq(xy)=Fq(x)⋅Fq(y).F_q(xy)=F_q(x)\cdot F_q(y).

Επιπλέον ισχύει ότι x∈𝔽qdx\in \mathbb{F}_{q^d} είναι στοιχείο του 𝔽q\mathbb{F}_q αν και μόνο αν Fq(x)=x.F_q(x)=x.

Πράγματι έχουμε αποδείξει ότι τα στοιχεία του σώματος 𝔽q\mathbb{F}_q είναι ακριβώς οι ρίζες του πολυωνύμου xq−x.x^q-x. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση του Frobenious είναι γραμμική απεικόνιση του 𝔽qd\mathbb{F}_{q^d} αν θεωρήσουμε το 𝔽qd\mathbb{F}_{q^d} ως διανυσματικό χώρο υπέρ του σώματος 𝔽q,\mathbb{F}_q, δηλαδή Fq(λx+μy)=λFq(x)+μFq(y), F_q(\lambda x + \mu y)= \lambda F_q(x) + \mu F_q(y), για κάθε x,y∈𝔽qdx,y \in \mathbb{F}_{q^d} και λ,μ∈𝔽q.\lambda,\mu \in \mathbb{F}_q.

Ας θεωρήσουμε την αλγεβρική κλειστότητα 𝔽¯q\overline{\mathbb{F}}_q του σώματος 𝔽q.\mathbb{F}_q. Κάθε στοιχείο xx του σώματος 𝔽¯q\overline{\mathbb{F}}_q είναι αλγεβρικό υπέρ του σώματος 𝔽q,\mathbb{F}_q, άρα ικανοποιεί ένα ελάχιστο πολυώνυμο βαθμού dd για κάποιο dd και συνεπώς είναι στοιχείο του σώματος 𝔽qd\mathbb{F}_{q^d} για κάποιο d.d. Μπορούμε σε κάθε περίπτωση να ορίσουμε τον τελεστή του Frobenious ως συνάρτηση Fq:𝔽¯q→𝔽¯q,F_q: \overline{\mathbb{F}}_q \rightarrow \overline{\mathbb{F}}_q, x↦xq.x \mapsto x^q. Έχουμε αποδείξει ότι

Για κάθε x∈𝔽¯qx\in \overline{\mathbb{F}}_q x∈𝔽qανκαιμόνοανFq(x)=x.x \in \mathbb{F}_q \mbox{ αν και μόνο αν } F_q(x)=x. Επίσης το παραπάνω μπορεί να γενικευτεί ως εξής:

Για κάθε x∈𝔽¯qx\in \overline{\mathbb{F}}_q x∈𝔽qℓανκαιμόνοαν(Fq)ℓ(x)=Fqℓ(x)=x.x \in \mathbb{F}_{q^\ell} \mbox{ αν και μόνο αν } (F_q)^\ell(x)=F_{q^\ell}(x)=x.

Παρατήρηση Ο τελεστής του Frobenious παίζει τον ρόλο της μιγαδικής συζυγίας η οποία είναι μία συνάρτηση ℂ→ℂ.\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}. Είναι γνωστό ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι τα σταθερά στοιχεία της συζυγίας, δηλαδή ένα x∈ℂx \in \mathbb{C} ανήκει στο ℝ\mathbb{R} αν και μόνο αν x¯=x.\overline{x}=x.

Παρατήρηση Το σώμα 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h} είναι το υπόσωμα του 𝔽¯p\overline{\mathbb{F}}_p που σταθεροποιείται από τον τελεστή Fq,F_q, q=ph.q=p^h. Τα υποσώματα του 𝔽q\mathbb{F}_q είναι της μορφής 𝔽pℓ\mathbb{F}_{p^{\ell}} που σταθεροποιούνται από τον Fpℓ.F_{p^{\ell}}. Αφού 𝔽pℓ⊂𝔽q\mathbb{F}_{p^\ell} \subset \mathbb{F}_q o τελεστής FqF_q ανήκει στην ομάδα που παράγει ο Fpℓ,F_{p^\ell}, άρα Fq=FpℓsF_q=F_{p^\ell}^s για κάποια δύναμη s.s. Δηλαδή pℓs=ph.p^{\ell s}=p^{h}. Δηλαδή δείξαμε και με έναν διαφορετικό τρόπο ότι τα υποσώματα του σώματος 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h} αντιστοιχούν στους διαιρέτες του h.h.

Παρατήρηση Μία γνωστή πρόταση σχετικά με τα πραγματικά πολυώνυμα αναφέρει ότι αν ένα πολυώνυμο f(x)∈ℝ[x]f(x) \in \mathbb{R}[x] έχει μία ρίζα τότε θα έχει και τη συζυγή της. Η ανάλογη πρόταση στην περίπτωση των πεπερασμένων σωμάτων είναι η εξής:

Αν aa ρίζα του πολυωνύμου f∈𝔽q[x]f\in \mathbb{F}_q[x] τότε και όλες οι δυνάμεις Fqi(a)F_q^i(a) θα είναι ρίζες του f.f.

Απόδειξη Έστω f(x)=∑ν=0naνxν.f(x)=\sum_{\nu=0}^n a_\nu x^\nu. Έφαρμόζουμε τον τελεστή FqiF_q^i στην εξίσωση f(a)=0⇔∑ν=0naνaν=0f(a)=0 \Leftrightarrow \sum_{\nu=0}^n a_\nu a^\nu=0 και χρησιμοιποιούμε το γεγονός ότι ο FqiF_q^i είναι ομομορφισμός δακτυλίων καθώς και το ότι σταθεροποιεί τα στοιχεία του σώματος 𝔽q\mathbb{F}_q για να καταλήξουμε στην εξίσωση: ∑ν=0naνFqi(a)ν=0⇔f(Fqi(a))=0\sum_{\nu=0}^n a_\nu F_q^i(a)^\nu=0 \Leftrightarrow f(F_q^i(a))=0

Στην πραγματικότητα η ομάδα Galois της επέκτασης 𝔽qd/𝔽q\mathbb{F}_{q^d}/\mathbb{F}_q παράγεται από τον τελεστή του Frobenious. Καταρχήν ο τελεστής του Frobenious είναι ένας αυτομορφισμός 𝔽qd→𝔽qd\mathbb{F}_{q^d} \rightarrow \mathbb{F}_{q^d} ο οποίος κρατά σταθερό το σώμα 𝔽q.\mathbb{F}_q.

Ας είναι 𝔽qd=𝔽q[x]/⟨f(x)⟩\mathbb{F}_{q^d}=\mathbb{F}_q[x]/\langle f(x) \rangle μία γραφή του σώματος 𝔽qd\mathbb{F}_{q^d} ως πηλίκο ενός πολυωνυμικού δακτυλίου modulo το κύριο ιδεώδες που παράγεται από ένα ανάγωγο πολυώνυμο f.f.

Σταθεροποιούμε μία ρίζα a∈𝔽qda\in \mathbb{F}_{q^d} του f.f. Αποδείξαμε ότι οι a,aq,aq2,aq3…a,a^q,a^{q^{2}},a^{q^3}\ldots είναι επίσης ρίζες του f(x).f(x). Αυτές λέγονται συζυγείς του a.a. Η ακολουθία έχει πεπερασμένο πλήθος διακεκριμένων μεταξύ τους στοιχείων. Υποθέτουμε a≠0.a\neq 0. Έστω δ\delta ο ελάχιστος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχει jj με 0≤j<δ0 \leq j < \delta ώστε aqδ=aqj.a^{q^\delta}=a^{q^j}. Τότε 1=aqδ−qj=aqj(aqδ−j−1).1=a^{q^\delta-q^j}=a^{q^j}(a^{q^{\delta-j}-1}). Η τελευταία σχέση μας λέει ότι η τάξη ord(a)\text{ord}(a) του aa ως στοιχείο της πολλαπλασιαστικής ομάδας 𝔽qd*\mathbb{F}_{q^d}^* ικανοποιεί ord(a)∣qj(qδ−j−1).\text{ord}(a) \mid q^j(q^{\delta-j}-1). Aπό την άλλη μεριά #𝔽qd*=qd–1,\#\mathbb{F}_{q^d}^*= q^d – 1, οπότε ord(a)∣qd–1\text{ord}(a) \mid q^d – 1 και συνεπώς (ord(a),qj)=1,(\text{ord}(a), q^j) = 1, άρα έχουμε ord(a)∣(qδ−j–1)\text{ord}(a) \mid (q^{\delta-j} –1) ή aqδ−j=a.a^{q^{\delta-j}}=a. Το δ\delta όμως είναι ο εκθέτης της πρώτης επανάληψης. Συνεπώς θα πρέπει j=0j = 0 οπότε aqδ=a.a^{q^\delta}= a. Όμως a∈𝔽qda\in \mathbb{F}_{q^d} και #𝔽qd=qd\#\mathbb{F}_{q^d}= q^d το οποίο σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange δίνει aqd=a.a^{q^d}=a.

Θα αποδείξουμε την παρακάτω:

(xm−1,xn−1)=x(m,n)−1.(x^m-1,x^n-1)=x^{(m,n)}-1.

Πράγματι μπορούμε να υποθέσουμε ότι m>n.m > n. Σε αυτή την περίπτωση xm−1−xm−n(xn−1)=xm−n−1.x^m-1 -x^{m-n}(x^n-1)=x^{m-n}-1. Συνεπώς ένα πολυώνυμο που διαιρεί και το xm−1x^m-1 και το xn−1x^n-1 θα διαιρεί και το xm−n−1.x^{m-n}-1. Από την επαγωγική υπόθεση (xm−n−1,xn−1)=x(m−n,n)−1(x^{m-n}-1,x^n-1)=x^{(m-n,n)}-1 όμως (m,n)=(m−n,n)(m,n)=(m-n,n) συνεπώς (xm−1,xn−1)=(xm−n−1,xn−1)=x(m−n,n)−1=x(m,n)−1.(x^m-1,x^n-1)=(x^{m-n}-1,x^n-1)=x^{(m-n,n)}-1=x^{(m,n)}-1. □\Box

Από την παραπάνω πρόταση παίρνουμε ότι aqd,δ=a.a^{q^{d,\delta}}=a. Αυτό όμως είναι σε κάθε περίπτωση άτοπο, διότι υποθέσαμε ότι δ\delta είναι η πρώτη επανάληψη της ακολουθίας a,aq,aq2,aq3…a,a^q,a^{q^{2}},a^{q^3}\ldots Εκτός αν (δ,d)=δ.(\delta, d) = \delta. Δηλαδή πρέπει το δ∣d.\delta \mid d.

Συμπέρασμα: Το πλήθος των διακεκριμένων συζυγών δ\delta του aa είναι ένας διαιρέτης του d.d. To δ\delta αυτό θα λέγεται βαθμός του a.a. Μάλιστα είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος ώστε qδ≡1modt,q^\delta \equiv 1 \text{mod} t, όπου t=ord(a).t=\text{ord}(a). Δηλαδή αποδείξαμε το

Το πλήθος των (διακεκριμένων) συζυγών του a,a, έστω δ,\delta, είναι ένας διαιρέτης του d.d. Ο δ\delta είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος που ικανοποιεί την t=ord(a)∣qδ–1.t = \text{ord}(a) \mid q^{\delta} –1. Ακόμα, αν λ=μδ+r\lambda = \mu \delta + r όπου 0≤r≤d–10 \leq r \leq d –1 τότε aqλ=aqr.a^{q^\lambda}=a^{q^r}.

Απόδειξη Θα αποδείξουμε ότι αν λ=μδ+r\lambda = \mu \delta + r όπου 0≤r≤d–10 \leq r \leq d –1 τότε aqλ=aqr.a^{q^\lambda}=a^{q^r}. Παρατηρούμε ότι aqλ=aqμδ+r=(aqδ)μaqr=aqr.a^{q^\lambda}=a^{q^{\mu \delta + r}}=\left(a^{q^\delta}\right)^\mu a^{q^r}=a^{q^r}. □\Box

Το ελάχιστο πολυώνυμο του aa θα πρέπει να έχει τουλάχιστον δ\delta ρίζες. Συγκεκριμένα αποδείξαμε ότι μαζί με το aa και οι δυνάμεις a,aq,aq2,aq3…aqδ−1a,a^q,a^{q^{2}},a^{q^3}\ldots a^{q^{\delta-1}} είναι επίσης ρίζες. Έστω fa(x):=(x–a)(x–aq)⋯(x−aδ−1)f_a(x) : = (x – a)(x – a^q)\cdots (x -a^{\delta-1}) και f(x)f(x) το ελάχιστο πολυώνυμο του f.f.

Τότε το fa(x)f_a(x) διαιρεί το f(x).f(x). Θα αποδείξουμε ότι fa(x)=f(x).f_a(x) = f(x).

Γράφουμε fa(x):=(x–a)(x–aq)⋯(x−aδ−1)=∑ν=0δAνxν,f_a(x) : = (x – a)(x – a^q)\cdots (x -a^{\delta-1})=\sum_{\nu=0}^\delta A_\nu x^\nu, όπου Ai∈𝔽qd.A_i \in \mathbb{F}_{q^d}. Υψώνουμε στην qq-δύναμη (δηλαδή εφαρμόζουμε τον τελεστή του Frobenious) για να πάρουμε fa(x)q:=(x–a)q(x–aq)q⋯(x−aδ−1)q=∑ν=0δAνqxqν.f_a(x)^q : = (x – a)^q(x – a^q)^q\cdots (x -a^{\delta-1})^q=\sum_{\nu=0}^\delta A_\nu^q x^{q \nu}. Επιπλέον έχουμε ότι (x−b)q=xq−(−1)qbq=xq−bq.(x-b)^q=x^q- (-1)^q b^q =x^q-b^q. Αυτό μας δίνει ότι το fa(x)q=fa(xq)=∑ν=0δAνxνqf_a(x)^q=f_a(x^q)=\sum_{\nu=0}^\delta A_\nu x^{\nu q} και έτσι καταλήγουμε στην ∑ν=0δAνxνq=∑ν=0δAνqxνq\sum_{\nu=0}^\delta A_\nu x^{\nu q}=\sum_{\nu=0}^\delta A_\nu^q x^{\nu q} άρα Aiq=AiA_i^q=A_i για κάθε i=1,…,δ−1,i=1,\ldots,\delta-1, συνεπώς Ai∈𝔽q.A_i \in \mathbb{F}_q. Αποδείξαμε λοιπόν το ακόλουθο:

Αν 𝔽qd\mathbb{F}_{q^d} πεπερασμένο σώμα με qdq^d στοιχεία και KK υπόσωμα με με qq στοιχεία και a∈𝔽qd,a\in \mathbb{F}_{q^d}, τότε το ελάχιστο πολυώνυμο του aa ως προς το σώμα KK είναι το fa(x):=(x–a)(x–aq)⋯(x−aδ−1),f_a(x) : = (x – a)(x – a^q)\cdots (x -a^{\delta-1}), όπου δ\delta είναι ο ελάχιστος φυσικός τέτοιος ώστε qδ≡1modord(a).q^\delta \equiv 1 \text{mod} \text{ord}(a).

Παράδειγμα Για q=2q = 2 και d=4d = 4 θεωρούμε την επέκταση 𝔽/K όπου 𝔽=𝔽16,K=𝔽2={0,1}\mathbb{F}/K \text{ όπου } \mathbb{F}=\mathbb{F}_{16}, K = \mathbb{F}_2 = \{0,1\} Παρατηρούμε ότι το x4+x+1∈𝔽2[X]x^4 + x + 1\in \mathbb{F}_2[X] είναι ανάγωγο. Θα κατασκευάσουμε το σώμα με 16=2416= 2^4 στοιχεία μέσω αυτού του πολυωνύμου, δηλαδή θα κατασκευάσουμε το 𝔽16=𝔽2[x]/⟨x4+x+1⟩.\mathbb{F}_{16}=\mathbb{F}_2[x]/\langle x^4+x+1\rangle. Ο 𝔽16\mathbb{F}_{16} είναι 𝔽2\mathbb{F}_2-διανυσματικός χώρος διάστασης 4.4.

Αν με aa συμβολίσουμε το xx (modulo x4+x+1x^4 + x + 1) τότε, ως διάνυσμα, το aa είναι το (0,0,1,0).(0,0,1,0). Τα στοιχεία του 𝔽16\mathbb{F}_{16} θα αντιστοιχούν σε διατεταγμένες τετράδες (a,b,c,d)(a,b,c,d) όπου τα a,b,c,da, b, c, d είναι οι συντελεστές του υπολοίπου της διαίρεσης με x4+x+1,x^4 + x + 1, το υπόλοιπο δηλαδή θα είναι ax3+bx2+cx+d.ax^3 + bx^2 + cx + d.

Υπολογίζουμε τις δυνάμεις του aa:

a2→x2a^2 \rightarrow x^2 επομένως a2=(0,1,0,0)a^2 = (0, 1, 0, 0)

a3→x3a^3 \rightarrow x^3 επομένως a3=(1,0,0,0)a^3 = (1, 0, 0, 0)

a4→x4a^4 \rightarrow x^4 (modulo x4+x+1=a+1x^4 + x + 1 = a + 1 επομένως a4=(0,0,1,1)a^4 = (0, 0, 1, 1)

a5=a2+aa^5 = a^2 + a επομένως a5=(0,1,1,0)a^5 = (0, 1, 1, 0)

a6=a3+a2a^6 = a^3 + a^2 επομένως a6=(1,1,0,0)a^6 = (1, 1, 0, 0)

a7=a4+a3=a3+a+1a^7 = a^4 + a^3 = a^3 + a + 1 επομένως a7=(1,0,1,1)a^7 = (1, 0, 1, 1)

a8=a4+a2+a=a2+2a+1=a2+1a^8 = a^4 + a^2 + a = a^2 + 2a + 1 = a^2 + 1 επομένως a8=(0,1,0,1)a^8 = (0, 1, 0, 1)

a9=a4+aa^9 = a^4 + a επομένως a9=(1,0,1,0)a^9 = (1, 0, 1, 0)

a10=a4+a2=a2+a+1a^{10} = a^4 + a^2 = a^2 + a + 1 επομένως a10=(0,1,1,1)a^{10} = (0, 1, 1, 1)

a11=a3+a2+aa^{11} = a^3 + a^2 + a επομένως a11=(1,1,1,0)a_{11} = (1, 1, 1, 0)

a12=a4+a3+a2=a3+a2+a+1a^{12} = a^4 + a^3 + a^2 = a^3 + a^2 + a + 1 επομένως a12=(1,1,1,1)a^{12} = (1, 1, 1, 1)

a13=a4+a3+a2+a=a3+a2+2a+1=a3+a2+1a^{13} = a^4 + a^3 + a^2 + a = a^3 + a^2 + 2a + 1 = a^3 + a^2 + 1 επομένως a13=(1,1,0,1)a^{13} = (1, 1, 0, 1)

a14=a4+a3+a=a3+2a+1=a3+1a^{14} = a^4 + a^3 + a = a^3 + 2a + 1 = a^3 + 1 επομένως a14=(1,0,0,1)a^{14} = (1, 0, 0, 1)

a15=a4+a=2a+1=1a^{15} = a^4 + a = 2a + 1 = 1 επομένως a15=(0,1,0,1)a^{15} = (0, 1, 0, 1)

Κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα:

Δυνάμεις του a,a, τάξεις και ελάχιστα πολυώνυμα

ii | aia^i | ord(ai)\text{ord}(a^i) | deg(a)\text{deg}(a) | ελάχιστο πολυώνυμο
0 | (0001) | 1 | 1 | x+1x + 1
1 | (0010) | 15 | 4 | (x–a)(x–a2)(x–a4)(a–a8)(x – a)( x – a^2)( x – a^4)( a – a^8)
2 | (0100) | 15 | 4 | (x–a)(x–a2)(x–a4)(x–a8)(x – a)( x – a^2)( x – a^4)( x – a^8)
3 | (1000) | 5 | 4 | (x–a3)(x–a6)(x–a9)(x–a12)(x – a^3)(x – a^6)(x – a^9)(x – a^{12})
4 | (0011) | 15 | 4 | (x–a)(x–a2)(x–a4)(x–a8)(x – a)(x – a^2)(x – a^4)(x – a^8)
5 | (0110) | 3 | 2 | (x–a5)(x–a10)(x – a^5)(x – a^{10})
6 | (1100) | 5 | 4 | (x–a3)(x–a6)(x–a9)(x–a12)(x – a^3)(x – a^6)(x – a^9)(x – a^{12})
7 | (1011) | 15 | 4 |
8 | (0101) | 15 | 4 | (x–a)(x–a2)(x–a4)(x–a8)(x – a)(x – a^2)(x – a^4)(x – a^8)
9 | (1010) | 5 | 4 | (x–a3)(x–a6)(x–a9)(x–a12)(x – a^3)(x– a^6)(x – a^9)(x – a^{12})
10 | (0111) | 3 | 2 | (x–a5)(x–a10)(x – a^5)(x – a^{10})
11 | (1110) | 15 | 4 |
12 | (1111) | 5 | 4 | (x–a3)(x–a6)(x–a9)(x–a12(x – a^3)(x – a^6)(x – a^9)(x – a^{12})
13 | (1101) | 15 | 4 |
14 | (1001) | 15 | 4 |
15 | (0001) |  |

Θυμόμαστε ότι ο βαθμός του aia^i είναι ο ελάχιστος φυσικός d>0d > 0 τέτοιος ώστε qd≡1(modord(ai)).q^d \equiv 1 (\text{mod} \text{ord}(a^i)). Εδώ για το aa έχουμε t=15t = 15 και q=2,q = 2, οπότε θέλουμε 2d≡1(mod15).2^d \equiv 1 (\text{mod} 15). Δηλαδή d=4.d = 4. Έχουμε ότι: (x–a)(x–a2)(x–a4)(x–a8)=(x2–ax–a2x+a3)(x–a4)(x–a8)=(x – a)( x – a^2)( x – a^4)( x – a^8) = (x^2 – ax – a^2x + a^3)( x – a^4)( x – a^8)= =(x3–ax2–a2x2+a3x–a4x2+a5x+a6x–a7)(x–a8)== (x^3 – ax^2 – a^2x^2 + a^3x – a^4x^2 + a^5x + a^6x – a^7)(x – a^8)= =(x3–(a+a2+a4)x2+(a3+a5+a6)x–a7)(x–a8)== (x^3 – (a + a^2 + a^4)x^2 + (a^3 + a^5 + a^6)x – a^7)(x – a^8)= =x4–(a+a2+a4)x3+(a3+a5+a6)x2–a7x–a8x3+a8(a+a2+a4)x2–a8(a3+a5x2+a6)x+a15== x^4–(a+a^2+a^4)x^3+(a^3+a^5+a^6)x^2–a^7x –a^8x^3+a^8(a+a^2+a^4)x^2–a^8(a^3+a^5x^2+a^6)x+a^{15}= =x4+(a8+a4+a2+a)x3+(a12+a10+a9+a6+a5+a3)x2+(a14+a13+a11+a7)x+a15== x^4+(a^8+ a^4+ a^2+ a)x^3+(a^{12}+ a^{10}+ a^9+a^6+ a^5+ a^3)x^2+(a^{14}+ a^{13}+ a^{11}+a^{7})x+ a^{15}= =x4+0x3+0x62+1x+1== x^4 + 0x^3 + 0x62 + 1x + 1= =x4+x+1= x^4 + x + 1

Αυτό δεν είναι τυχαίο. Είναι το πολυώνυμο απ’ το οποίο ξεκινήσαμε. Τα a2,a^2, a4,a^4, a8a^8 είναι τα συζυγή του a,a, άρα το ελάχιστο πολυώνυμο και για αυτά είναι το ίδιο με του a.a. Αν πάρουμε το (x–a3)(x–a6)(x–a9)(x–a12)(x–a^3)(x–a^6)(x–a^9)(x–a^{12}) θα βρούμε το x4+x3+x2+x+1.x^4+x^3+x^2+x+1. Θα μπορούσαμε να κάνουμε τον υπολογισμό στο sage, αλλά ας δούμε ένα διαφορετικό επιχείρημα: Ονομάζουμε b=a3b=a^3 τότε έχουμε: 1=(0001)1= (0001) b=(1000)b = (1000) b2=(1100)b^2 = (1100) b3=(1010)b^3 = (1010) b4=(1111)b^4 = (1111) Παρατηρούμε από το δεξί μέρος των παραπάνω εξισώσεων ότι b4+b3+b2+b+1=0b^4 + b^3 + b^2 + b + 1 = 0 Αλλά b=a3≠1b = a^3\neq 1 οπότε b5=(a3)5=a15=1b^5 = (a^3)^5 = a^{15} = 1 Το bb είναι μια 55–ρίζα της μονάδας, δηλαδή ρίζα του πολυωνύμου x5–1=(x–1)(x4+x3+x2+x+1).x^5 – 1= (x – 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1).

N-στές ρίζες της μονάδας

Σε ένα σώμα 𝔽\mathbb{F} το xx θα λέγεται nn-οστή ρίζα της μονάδας αν και μόνο αν είναι ρίζα της εξίσωσης xn=1.x^n=1.

Αν το nn είναι δύναμη της χαρακτηριστικής, τότε υπάρχει μόνο μια nn-στή ρίζα της μονάδας, το 1.1. Πράγματι xph−1=0 είναι ισοδύναμο με (x−1)ph=0x^{p^h}-1=0 \text{ είναι ισοδύναμο με } (x-1)^{p^h}=0 δηλαδή x=1.x=1.

Ομοίως αν n=ph⋅m,n=p^h \cdot m, (m,p)=1(m,p)=1 τότε οι nn-στές ρίζες της μονάδας είναι ίδιες με τις mm-ρίζες της μονάδας αφού xn−1=0 είναι ισοδύναμο με (xm−1)ph=0.x^n-1=0 \text{ είναι ισοδύναμο με } (x^m-1)^{p^h}=0.

Έστω (n,p)=1(n,p)=1 με EnE_n θα συμβολίζουμε το σύνολο των nn-οστών ριζών της μονάδας στο σώμα 𝔽¯p.\overline{\mathbb{F}}_p.

Το πλήθος των στοιχείων τoυ EnE_n είναι nn αφού το πολυώνυμο ορισμού έχει απλές ρίζες (η παράγωγός του D(xn−1)=nxn−1D(x^n-1)=nx^{n-1} έχει μοναδική ρίζα το 00 άρα δεν μηδενίζεται σε ρίζα της μονάδας).

Το σύνολο EnE_n είναι ομάδα τάξης nn η οποία είναι κυκλική, αφού είναι υποομάδα της πολλαπλασιαστικής ομάδας του σώματος που περιέχει όλες τις ρίζες.

Έστω EE το σώμα ριζών του πολυωνύμου xn−1x^n-1 υπέρ του πεπερασμένου σώματος 𝔽q.\mathbb{F}_q. Ο βαθμός [E:𝔽q]=s[E:\mathbb{F}_q]=s είναι ο ελάχιστος φυσικός ώστε qs≡1modn.q^s \equiv 1 \text{mod} n.

Απόδειξη Αφού το πλήθος των στοιχείων του EE θα είναι qsq^s η ομάδα E*E^* θα έχει τάξη qs−1q^s-1 και συνεπώς n∣qs−1,n \mid q^s-1, συνεπώς qs≡1modn.q^s \equiv 1 \text{mod} n.

Αντιστρόφως, έστω ότι n∣qr−1n \mid q^r-1 τότε (xn−1)∣(xqr−1).(x^n-1) \mid (x^{q^r}-1). Έχουμε αποδείξει ότι το σώμα ριζών EE του xn−1x^{n}-1 περιέχεται στο σώμα με qrq^r στοιχεία αρκεί να ισχύει ότι n∣qr−1.n \mid q^r-1. Το ελάχιστο σώμα EE είναι αυτό που εμφανίζεται στον ελάχιστο ss για τον οποίο ισχύει n∣qs−1.n \mid q^s-1.

Ένας γεννήτορας ω\omega της κυκλικής ομάδας EnE_n θα λέγεται πρωταρχική nn-ρίζα της μονάδας.

Από τη μία έχουμε τα πρωταρχικά στοιχεία στο σώμα ριζών EE του πολυωνύμου xn−1x^n-1 τα οποία γεννούν μια κυκλική ομάδα E*E^* με τάξη qs−1q^s-1 και από την άλλη έχουμε την κυκλική υποομάδα En<E*.E_n < E^*. Ας υποθέσουμε ότι ω\omega είναι ένας γεννήτορας της En.E_n. Είναι σαφές ότι ω=ζℓ,\omega=\zeta^\ell, όπου ζ\zeta είναι ένα πρωταρχικό στοιχείο (γεννήτορας της E*E^*) και ℓ\ell κατάλληλη δύναμη ώστε το ω\omega να έχει τάξη n.n.

Είναι γνωστό ότι το στοιχείο ζℓ\zeta^\ell έχει τάξη qs−1(ℓ,qs−1).\frac{q^s-1}{(\ell,q^{s}-1)}. Στον παραπάνω τύπο αντικαθιστούμε το qs−1=nrq^s-1=nr και έχουμε qs−1(ℓ,qs−1)=nr(ℓ,nr).\frac{q^s-1}{(\ell,q^{s}-1)}=\frac{nr}{(\ell,nr)}. Απαιτούμε το τελευταίο κλάσμα να είναι ίσο με nn το οποίο είναι ισοδύναμο με r=(ℓ,nr),r=(\ell,nr), δηλαδή ℓ=rm=qs−1nm\ell=rm=\frac{q^s-1}{n}m με (m,n)=1.(m,n)=1. Καταλήγουμε λοιπόν στον παρακάτω χαρακτηρισμό:

Αν ζ\zeta είναι ένα πρωταρχικό στοιχείο του σώματος ριζών EE του xn−1x^n-1 στο 𝔽[x],\mathbb{F}[x], τότε το σύνολο των πρωταρχικών ριζών του είναι το {ζqs−1n⋅m,1≤m<n,(m,n)=1}.\left\{\zeta^{\frac{q^s-1}{n}\cdot m}, 1\leq m < n, (m,n)=1\right\}.

Πώς θα υπολογίσουμε πρωταρχικές ρίζες; Ας θεωρήσουμε ένα σώμα με qq το πλήθος στοιχεία, όπου το qq είναι μια δύναμη πρώτου. Αν το πεπερασμένο σώμα είναι μεγάλο τότε τα πράγματα είναι δύσκολα. Υπάρχει ένας αλγόριθμος, γνωστός ως αλγόριθμος του Gauss που ως έξοδό του δίνει δίνει στοιχεία του πεπερασμένου σώματος a1,…,aka_1,\ldots,a_k ώστε ord(a1)<ord(a2)<⋯<ord(ak)=q−1.\text{ord}(a_1) < \text{ord}(a_2) < \cdots < \text{ord}(a_k)=q-1. Επιπλέον ισχύει ότι ord(ai)∣ord(ai+1).\text{ord}(a_i) \mid \text{ord}(a_{i+1}).

Ο αλγόριθμος αυτός δίνεται από τα παρακάτω βήματα:

Έστω i=1i=1 και a1∈𝔽*a_1 \in \mathbb{F}^* με ord(a1)=t1.\text{ord}(a_1)=t_1.

Αν ti=q−1t_i=q-1 τελειώσαμε. To aia_i είναι μία πρωταρχική ρίζα.

Αν ord(ai)<q−1\text{ord}(a_i)< q-1 επιλέγουμε μη-μηδενικό στοιχείο του 𝔽\mathbb{F} (έστω bb), ώστε το bb να μην είναι δύναμη του aia_i που υπολογίσαμε στο προηγούμενο βήμα. Έστω ότι ord(b)=s.\text{ord}(b)=s. Αν s=q−1s=q-1 θέτουμε ai+1=ba_{i+1}=b και τελειώσαμε.

Διαφορετικά βρίσκουμε d∣tid \mid t_i και e∣se \mid s τέτοια ώστε (d,e)=1(d,e)=1 και d⋅e=[ti,s].d\cdot e =[t_i,s]. Οπότε θέτουμε ai+1=aiti/dbs/e,a_{i+1}=a_i^{t_i/d} b^{s/e}, ti=[ti,s],t_i=[t_i,s], i→i+1i \to i+1 και πηγαίνουμε στο δεύτερο βήμα.

Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε το σώμα 𝔽25\mathbb{F}_{25} με 2525 το πλήθος στοιχεία. Θεωρούμε το πολυώνυμο x2−2∈𝔽5[x].x^2-2 \in \mathbb{F}_5[x]. Το πολυώνυμο αυτό είναι ανάγωγο ως προς το σώμα 𝔽5\mathbb{F}_5 αφού είναι βαθμού 22 και κανένα στοιχείο του 𝔽5\mathbb{F}_5 δεν είναι ρίζα του. Συνεπώς το σώμα 𝔽25\mathbb{F}_{25} είναι ισόμορφο με το σώμα 𝔽5[x]/⟨x2−2⟩.\mathbb{F}_{5}[x]/\langle x^2-2\rangle.

Ξεκινάμε τον αλγόριθμο του Gauss: Θέτουμε a1=xa_1=x και υπολογίζουμε τις δυνάμεις του a1.a_1. a10=1,a11=x1=x,a12=x2=2,x3=2x,x4=4,x5=4x,x6=3,x7=3x,x8=1.a_1^0=1,a_1^1=x^1=x,a_1^2=x^2=2,x^3=2x,x^4=4,x^5=4x,x^6=3,x^7=3x,x^8=1. Η τάξη της κυκλικής ομάδας του 𝔽25\mathbb{F}_{25} είναι 24.24.

Εφαρμόζουμε το βήμα 2.2. Διαλέγουμε ένα στοιχείο bb το οποίο δεν είναι δύναμη του a1a_1 για παράδειγμα το 1+x.1+x. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις του b.b. b,b2=2x+3,b3=2,b4=2x+2b,b^2=2x+3,b^3=2,b^4=2x+2 b5=4x+1,b6=4,b7=4x+4,b8=3x+2b^5=4x+1,b^6=4,b^7=4x+4,b^8=3x+2 b9=3,b10=3x+3,b11=x+4,b12=1b^9=3,b^{10}=3x+3,b^{11}=x+4,b^{12}=1 Το στοιχείο bb έχει τάξη 1212 και πάλι δεν έχουμε τετραγωνική ρίζα.

Εφαρμόζουμε τώρα το βήμα 4. Ψάχνουμε d,ed,e με d∣t1=8d\mid t_1=8 και e∣s=12e\mid s=12 ώστε (d,e)=1(d,e)=1 και d⋅e=[t1,s]=(8,12)=24.d\cdot e =[t_1,s]=(8,12)=24. Υπολογίζουμε ότι d=8d=8 και ότι e=3.e=3. Σύμφωνα με το βήμα 4 παίρνουμε a2=a1t1/dbs/e.a_2=a_1^{t_1/d} b^{s/e}. Δηλαδή a2=a18/8b12/3=a1b4=2x+4.a_2=a_1^{8/8}b^{12/3}=a_1b^4=2x+4.

Σε μία ομάδα με δύο στοιχεία A,BA,B για τα οποία ισχύει AB=BAAB=BA και τα οποία έχουν τάξεις m,nm,n με (m,n)=1(m,n)=1 έχουμε ότι η τάξη του γινομένου ΑΒΑΒ είναι nm.nm.

Συνεπώς το 2x+42x+4 έχει τάξη 2424 και είναι μία πρωταρχική ρίζα στο 𝔽25.\mathbb{F}_{25}.

sage:F=FiniteField(5);F
Finite Field of size 5
sage:R.<x>=PolynomialRing(F);R
Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size
sage:I = R.ideal([x^2-2]);I
Principal ideal (x^2 + 3) of Univariate Polynomial
 Ring in x over Finite Field of size 5
sage:S=R.quotient_ring(I);S
Univariate Quotient Polynomial Ring in xbar
over Finite Field of size 5 with
modulus x^2 + 3
sage:is_field(S)
true

foo Interactive

Ας υπολογίσουμε τις δυνάμεις του xx με το sage:

for i in range(1,9):
    i,x^i
(1, x)
(2, 2)
(3, 2*x)
(4, 4)
(5, 4*x)
(6, 3)
(7, 3*x)
(8, 1)

Και ας κάνουμε το ίδιο για τις δυνάμεις του 1+x1+x

for i in range(1,13):
    i,(1+x)^i
(1, x + 1)
(2, 2*x + 3)
(3, 2)
(4, 2*x + 2)
(5, 4*x + 1)
(6, 4)
(7, 4*x + 4)
(8, 3*x + 2)
(9, 3)
(10, 3*x + 3)
(11, x + 4)
(12, 1)

Ας κάνουμε τον ίδιο υπολογισμό για τον γεννήτορα 2x+42x+4 που υπολογίσαμε:

for i in range(1,25):
    i,(4+2*x)^i
(1, 2*x + 4)
(2, x + 4)
(3, 2*x)
(4, 3*x + 3)
(5, 3*x + 4)
(6, 3)
(7, x + 2)
(8, 3*x + 2)
(9, x)
(10, 4*x + 4)
(11, 4*x + 2)
(12, 4)
(13, 3*x + 1)
(14, 4*x + 1)
(15, 3*x)
(16, 2*x + 2)
(17, 2*x + 1)
(18, 2)
(19, 4*x + 3)
(20, 2*x + 3)
(21, 4*x)
(22, x + 1)
(23, x + 3)
(24, 1)

Ας υπολογίσουμε τώρα το ελάχιστο πολυώνυμο του στοιχείου 2x+4.2x+4. Για αυτό θα επιστρατεύσουμε την ομάδα Galois η οποία είναι τάξης 22 και αποτελείται από δύο στοιχεία: την ταυτότητα IdId και τη συνάρτηση σ\sigma η οποία στέλνει το xx στο −x.-x. To ελάχιστο πολυώνυμο θα πρέπει να έχει ρίζα τουλάχιστον το 2x+4,2x+4, σ(2x+4)=−2x+4.\sigma(2x+4)=-2x+4. Υπολογίζουμε ότι (X−(2x+4))(X−(−2x+4))=X2−8X+8=X2+2X+5.(X-(2x+4))(X-(-2x+4))=X^2-8X+8=X^2+2X+5. Το παραπάνω είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του 2x+4.2x+4. Η κατασκευή του σώματος με 2525 στοιχεία ως πηλίκο 𝔽25=𝔽5[a]/⟨a2+2x+5⟩,\mathbb{F}_{25}=\mathbb{F}_5[a]/\langle a^2+2x+5\rangle, υπερτερεί από την προηγούμενη στην παράσταση των στοιχείων του σώματος.

Ανάγωγα πολυώνυμα σε πεπερασμένα σώματα

Έστω ΚΚ ένα πεπερασμένο σώμα. Τα πρωταρχικά στοιχεία είναι οι γεννήτορες της κυκλικής ομάδας K*.K^*. Το ελάχιστο πολυώνυμο ενός πρωταρχικού στοιχείου λέγεται ένα πρωταρχικό πολυώνυμο.

Έστω 𝔽q\mathbb{F}_q ένα πεπερασμένο σώμα. Το πολυώνυμο f(x)∈𝔽q[x]f(x)\in \mathbb{F}_q[x] είναι πρωταρχικό για κάποια επέκταση ΚΚ του 𝔽q\mathbb{F}_q βαθμού dd αν και μόνο αν ισχύει ότι f(x)∣xqd−1−1f(x) \mid x^{q^{d-1}}-1 και f(x)f(x) δεν διαιρεί το xk−1x^k-1 για k<qd−1.k < q^{d-1}.

Απόδειξη Έχουμε ήδη αποδείξει ότι ένα ανάγωγο πολυώνυμο βαθμού dd θα πρέπει να διαιρεί το xqd−1−1.x^{q^{d-1}}-1. Αν f(x)f(x) δεν διαιρεί το xk−1x^k-1 και k<qd−1k < q^{d-1} καμία ρίζα του ff δεν έχει τάξη μικρότερη του qd−1,q^{d-1}, άρα έχει την σωστή τάξη qd−1.q^{d-1}.

Αντιστρόφως, αν το πολυώνυμο f(x)f(x) είναι πρωταρχικό, τότε θα δείξουμε ότι f(x)f(x) δεν διαιρεί το xk−1x^k-1 για k<qd−1.k < q^{d-1}. Ας θεωρήσουμε τη ρίζα ζ\zeta του f(x).f(x). Οι άλλες ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι ζ,Fq(ζ)=ζq,Fq2(ζ)=ζq2,…,Fqd−1(ζ)=ζqd−1\zeta,F_q(\zeta)=\zeta^q,F_{q^2}(\zeta)=\zeta^{q^2},\ldots, F_{q^{d-1}}(\zeta)=\zeta^{q^{d-1}} αυτές είναι ανά δύο διαφορετικές και δεν μπορεί να είναι ρίζες του πολυωνύμου xk−1x^{k}-1 βαθμού k<qd−1.k < q^{d-1}.

Αν και είναι δύσκολο να υπολογίσουμε τα ανάγωγα πολυώνυμα του 𝔽q\mathbb{F}_q μπορούμε να υπολογίζουμε το πλήθος τους. Είναι γνωστό ότι xqn−x=∏d∣nVd,x^{q^n}-x=\prod_{d\mid n} V_d, όπου VdV_d είναι το γινόμενο όλων των μονικών αναγώγων πολυωνύμων του 𝔽q[x]\mathbb{F}_q[x] βαθμού d.d. Αν λοιπόν IdI_d είναι το πλήθος των διακεκριμένων μονικών πολυωνύμων βαθμού d,d, τότε συγκρίνοντας βαθμούς έχουμε qn=∑d∣nd⋅Id.q^n=\sum_{d\mid n} d \cdot I_d. Από τον νόμο αντιστροφής του Mobious που έχουμε αποδείξει προκύπτει ότι In=1n∑d∣nμ(d)qn/d.I_n=\frac{1}{n}\sum_{d \mid n} \mu(d) q^{n/d}.

Κυκλοτομικά Πολυώνυμα

Θα ορίσουμε πρώτα τα κυκλοτομικά πολυώνυμα στον δακτύλιο ℤ[x].\mathbb{Z}[x].

Το nn-οστό κυκλοτομικό πολυώνυμο Φn(x)\Phi_n(x) είναι το μοναδικό ανάγωγο πολυώνυμο στο ℤ[x]\mathbb{Z}[x] το οποίο διαιρεί το xn−1x^n-1 αλλά όχι το xk−1x^k-1 για κάθε k<n.k < n.

Αν ζ\zeta είναι μία ρίζα του Φn\Phi_n τότε και ζd\zeta^d είναι ρίζα του Φn\Phi_n για κάθε d,d, (d,n)=1.(d,n)=1.

Απόδειξη Θα δώσουμε μια απόδειξη βασισμένη σε αυτή του Schur. Για ένα πλήθος άλλων αποδείξεων εμπλουτισμένες με ιστορικά στοιχεία παραπέμπουμε στο άρθρο του S. Weintraub.

Θεωρούμε το πολυώνυμο xn−1x^n-1 και θέτουμε Δ\Delta τη “διακρίνουσά”, του δηλαδή την ποσότητα Δ=∏i<j(ζni−ζnj)2=\Delta=\prod_{i < j}(\zeta_n^i-\zeta_n^j)^2= =±∏i≠j(ζni−ζnj)==\pm \prod_{i\neq j} (\zeta_n^i-\zeta_n^j)= =±∏i≠jζni(1−ζnj−i)==\pm \prod_{i\neq j} \zeta_n^i(1-\zeta_n^{j-i})= =±∏iζni∏k≠0(1−ζnk).=\pm \prod_{i} \zeta_n^i \prod_{k\neq 0} (1-\zeta_n^{k}). Το γινόμενο ∏k≠0(1−ζnk)=n.\prod_{k\neq 0} (1-\zeta_n^{k})=n. Πράγματι είναι ίσο με την τιμή x=1x=1 στο πολυώνυμο h(x)=∏k≠0(x−ζnk)=xn−1x−1=h(x)=\prod_{k\neq 0}(x-\zeta_n^k)=\frac{x^n-1}{x-1}= =1+x+x2+⋯+xn−1.=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}. Άρα ο υπολογισμός της διακρίνουσας ολοκληρώνεται στον Δ=±nn.\Delta=\pm n^n.

Για να δείξουμε ότι ζnd\zeta_n^d είναι ρίζα του Φn(x),\Phi_n(x), αρκεί να δείξουμε ότι αν ζ\zeta ριζα του Φn(x)\Phi_n(x) τότε και ζp\zeta^p είναι ρίζα για κάθε πρώτο pp που δεν διαιρεί το n.n. Ας υποθέσουμε πως όχι. Το Φn(x)\Phi_n(x) είναι ένας ανάγωγος παράγοντας (όταν ολοκληρωθεί η απόδειξη θα έχουμε δείξει ότι είναι και μοναδικός) του πολυωνύμου xn−1.x^n-1. Συνεπώς θα έχουμε ότι Φn(x)=(x−ζ1)⋯(x−ζk),\Phi_n(x)=(x-\zeta_1)\cdots (x-\zeta_k), για κάποιες nn-στές ρίζες του 1,1, ζ1=ζ\zeta_1=\zeta και που δεν συμπεριλαμβάνουν το ζp.\zeta^p. Αυτό σημαίνει ότι το Φn(ζp)\Phi_n(\zeta^p) αποτελείται από διαφορές nn-οστών ριζών της μονάδας και διαιρεί το nn.n^n. Από την άλλη, είναι ένα μη μηδενικό στοιχείο του ℚ(ζ)=ℤ[x]/⟨Φn(x)⟩\mathbb{Q}(\zeta)=\mathbb{Z}[x]/\langle \Phi_n(x)\rangle και έχει μια μορφή Φn(ζp)=a0+a1ζ+⋯+an−1ζn−1.\Phi_n(\zeta^p)=a_0 + a_1 \zeta + \cdots + a_{n-1}\zeta^{n-1}. Αν την παραπάνω έκφραση τη θεωρήσουμε modulo p,p, καταλήγουμε σε ένα σώμα χαρακτηριστικής pp και έκει έχουμε Φn(ζp)≡Φn(ζ)p=0modp\Phi_n(\zeta^p)\equiv \Phi_n(\zeta)^p = 0 \text{mod} p Άρα όλοι οι συντελεστές aia_i είναι διαιρετοί με pp και συνεπώς p∣nn,p\mid n^n, άτοπο.

Παρατηρούμε ότι αν d∣n,d \mid n, τότε xd−1x^d-1 διαιρεί το xn−1.x^n-1. Συνεπώς λόγω μοναδικής παραγοντοποίησης στον δακτύλιο K[x]K[x] το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αντικειμένων που διαιρούν το xn−1x^n-1 επίσης διαιρεί το xn−1.x^n-1.

Το πολυώνυμο x−ax-a διαιρεί το Φn(x)\Phi_n(x) αν και μόνο αν Φn(a)=0.\Phi_n(a)=0. Συνεπώς ad=1a^d=1 αν και μόνο αν x−ax-a διαιρεί το xt−1.x^t-1. Επίσης ο παραπάνω ορισμός δίνει ότι Φn(a)=0,\Phi_n(a)=0, άρα an=1a^n=1 και επίσης ότι το aa δεν είναι ρίζα μικρότερης τάξης γιατί αν at=1,a^t=1, τότε το x−ax-a διαρεί το xt−1x^t-1 με το οποίο έχουμε διαιρέσει. Μάλιστα το πολυώνυμο xn−1x^n-1 έχει απλές ρίζες, άρα τις tt ρίζες τις έχουμε αφαιρέσει ήδη. Συνεπώς το πολυώνυμο Φn(x)\Phi_n(x) έχει ρίζες ακριβώς τάξης n.n.

Ο παραπάνω υπολογισμός μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την ομάδα Galois της επέκτασης ℚ(ζn)/ℚ.\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}. Έτσι Gal(ℚ(ζn)/ℚ)=(ℤnℤ)*\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})=\left(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}} \right)^* Για κάθε d,d, 1≤d≤n−11\leq d \leq n-1 ορίζουμε τον αυτομορφισμό σd(ζ)↦ζnd\sigma_d(\zeta)\mapsto \zeta_n^d

Απόδειξη Πράγματι μόλις δείξαμε ότι το πολυώνυμο Φd\Phi_d έχει ως ρίζες τις πρωταρχικές ρίζες της μονάδας ζnd.\zeta_n^d. Αυτές είναι και οι δυνατότητες διαφορετικών αυτομορφισμών του σώματος ℚ(ζn)≅ℚ[x]/⟨Φn(x)⟩.\mathbb{Q}(\zeta_n)\cong \mathbb{Q}[x]/\langle \Phi_n(x) \rangle.

Οι ρίζες του Φ(n)\Phi(n) είναι οι πρωταρχικές dd ρίζες της μονάδας, δηλαδή οι γεννήτορες της ομάδας των nn-οστών ριζών του 1.1. Μάλιστα αν ζn\zeta_n είναι μια πρωταρχική ρίζα της μονάδας, οποιαδήποτε άλλη πρωταρχική ρίζα της μονάδας θα είναι ρίζα του Φn(x),\Phi_n(x), δηλαδή Φn(x)=∏1≤k<n,(k,n)=1(x−ζnk),\Phi_n(x)=\prod_{1\leq k < n, (k,n)=1} (x-\zeta_n^k), όπου ζn=e2πi/n.\zeta_n=e^{2 \pi i/n}.

Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των Φn(x)\Phi_n(x) και Φm(x)\Phi_m(x) δίνεται: (Φm,Φn)=1.(\Phi_m,\Phi_n)=1.

Απόδειξη Έχουμε αποδείξει ότι (xm−1,xn−1)=x(m,n)−1.(x^m-1,x^n-1)=x^{(m,n)}-1. Από την άλλη, ας θεωρήσουμε έναν dd κοινό διαιρέτη των n,mn,m και ας υποθέσουμε ότι m>n.m>n. Είναι σαφές ότι ο d≤n<m,d\leq n < m, συνεπώς ο dd είναι γνήσιος διαιρέτης του m.m.

Από τον τύπο Φm(x)=xm−1ΕΚΠ των xd−1,0<d<m,d∣m\Phi_{m}(x)=\frac{x^m-1}{\text{ΕΚΠ των } x^d-1, 0 < d< m, d \mid m } έχουμε ότι το Φm(x)\Phi_m(x) διαιρεί το xm−1xd−1,\frac{x^m-1}{x^d-1}, αφού ο παρονομαστής που ορίζει το Φm(x)\Phi_m(x) έχει ίσως και άλλους διαιρέτες.

Επιπλέον αφού το xm−1x^m-1 έχει απλές ρίζες, το Φn(x)\Phi_n(x) δεν έχει κανέναν κοινό διαιρέτη με το xd−1.x^d-1. Aυτό σημαίνει ότι (Φm,Φn)=1.(\Phi_m,\Phi_n)=1.

Ισχύει xn−1=∏d∣nΦd(x).x^n-1=\prod_{d\mid n} \Phi_d(x).

Απόδειξη Αυτό είναι σαφές ως εξής: Όλες οι nn-στές ρίζες της μονάδας μπορούν να χωριστούν ανάλογα με την τάξη τους σε ρίζες με τάξη ακριβώς dd όπου το d∣n.d \mid n.

Παρατήρηση Μία ενδιαφέρουσα συνέπεια του παραπάνω τύπου είναι ο αναδρομικός τύπος υπολογισμού πολυωνύμων Φn\Phi_n: Φn(x)=xn−1∏d∣n,d<nΦd(x)\Phi_n(x)=\frac{x^n-1}{\prod_{d\mid n, d < n } \Phi_d(x)}

Παραδείγματα:

Για pp πρώτο το Φ(p)\Phi(p) μπορεί να υπολογιστεί και με τη βοήθεια του παραπάνω τύπου Φp(x)=xp−1x−1=1+x+x2+⋯+xp−1\Phi_{p}(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=1+x+x^2+\cdots+x^{p-1}

Για n=2pn=2p έχουμε Φ2p(x)=x2p=1Φ1(x)Φ2(x)Φp(x)=x2p−1Φ2(x)(xp−1)=xp+1x+1=\Phi_{2p}(x)=\frac{x^{2p}=1}{\Phi_1(x)\Phi_2(x) \Phi_p(x)}=\frac{x^{2p}-1}{\Phi_2(x)(x^p-1)}=\frac{x^p+1}{x+1}= =xp−1−xp−2+xp−3−⋯+x2−x+1.=x^{p-1}-x^{p-2}+x^{p-3}-\cdots+x^2-x+1.

Για n=p2n=p^2 όπου pp πρώτος έχουμε Φp2(x)=xp2−1Φ1(x)Φp(x)=xp2−1xp−1=\Phi_{p^2}(x)=\frac{x^{p^2}-1}{\Phi_1(x)\Phi_p(x)}=\frac{x^{p^2}-1}{x^p-1}=

=xp(p−1)+xp(p−2)+⋯+xp+1.=x^{p(p-1)}+x^{p(p-2)}+\cdots+x^p+1.

Γενικά μπορούμε με επαγωγή να δείξουμε ότι Φpe(x)=Φp(xpe−1)=\Phi_{p^e}(x)=\Phi_p(x^{p^{e-1}})= =x(p−1)pe−1+x(p−2)pe−1+⋯+x2pe−1+xpe−1+1.=x^{(p-1)p^{e-1}}+x^{(p-2)p^{e-1}}+\cdots+x^{2 p^{e-1}} +x^{p^{e-1}}+1.

Κάνοντας χρήση του sage μπορούμε να υπολογίσουμε κυκλοτομικά πολυώνυμα με τον αναδρομικό τύπο αλλά και με την ενσωματωμένη συνάρτηση:

sage:cyclotomic_polynomial(5,'x')
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
sage:prod(cyclotomic_polynomial(d,'x') for d in divisors(24))
x^24 - 1
cyclotomic_polynomial(3^10,'x')
x^39366 + x^19683 + 1

Μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα κυκλοτομικά πολυώνυμα

sage:for i in range(1,10):
         cyclotomic_polynomial(i,'x')
x - 1
x + 1
x^2 + x + 1
x^2 + 1
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
x^2 - x + 1
x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
x^4 + 1
x^6 + x^3 + 1

foo Interactive

Μπορεί εύκολα να πιστέψει κανείς ότι οι συντελεστές των κυκλοτομικών πολυωνύμων είναι ±1.\pm 1. Αυτό δεν είναι όμως σωστό αφού το x41x^{41} έχει συντελεστή 22 στο Φ105(x)\Phi_{105}(x):

sage:cyclotomic_polynomial(105,'x')
x^48 + x^47 + x^46 - x^43 - x^42 -
2*x^41 - x^40 - x^39 + x^36 + x^35 +
x^34 + x^33 + x^32 + x^31 - x^28 -
x^26 - x^24 - x^22 - x^20 + x^17 +
x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 -
x^9 - x^8 - 2*x^7 - x^6 - x^5 + x^2 +
x + 1

foo Interactive

Ο τύπος της αντιστροφής του Möbius μας επιτρέπει επίσης να γράψουμε

Φn(x)=∏d∣n(xd−1)μ(nd)\Phi_n(x)=\prod_{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(\frac{n}d)}

Απόδειξη Έχουμε αποδείξει τον προσθετικό τύπο αντιστροφής f(n)=∑d∣ng(d)⇒g(n)=∑d∣nμ(d)f(nd).f(n)=\sum_{d \mid n} g(d) \Rightarrow g(n)=\sum_{d\mid n} \mu(d) f\left( \frac{n}{d}\right). Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε μια πολλαπλασιαστική έκδοση f(n)=∏d∣ng(d)⇒g(n)=∏d∣nf(nd)μ(d).f(n)=\prod_{d \mid n} g(d) \Rightarrow g(n)=\prod_{d \mid n} f\left( \frac{n}{d}\right)^{\mu(d)}. Θα μπορούσαμε να πάμε από την πολλαπλασιαστική στην εκθετική περίπτωση με χρήση εκθετικών-λογαρίθμων αλλά μπορούμε να δώσουμε και μία απευθείας απόδειξη: ∏d∣nf(n/d)μ(d)=∏d∣n(∏t∣ndg(t))μ(d)=∏t∣ng(t)∑d∣n,t∣ndμ(d)=\prod_{d∣n} f(n/d)^{\mu(d)}=\prod_{d∣n}\left(\prod_{t \mid \frac{n}{d}} g(t) \right)^{\mu(d)}=\prod_{t∣n}g(t)^{\sum_{d∣n, t∣\frac{n}{d}} \mu(d)}= ∏t∣ng(t)∑d∣ntμ(d)=g(n)\prod_{t∣n}g(t)^{\sum_{d∣\frac{n}{t} \mu(d)}}=g(n)

Παρατήρηση Το Φn(x)\Phi_n(x) είναι πηλίκο δύο μονικών πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές. Στον αριθμητή είναι οι παράγοντες με μ(n/d)=+1\mu(n/d)=+1 και στον παρονομαστή είναι οι παράγοντες με μ(n/d)=−1.\mu(n/d)=-1.

Για παράδειγμα Φ18(x)=∏d∣18(xd−1)μ(18/d)=(x13−1)(x18−1)(x6−1)(x9−1),\Phi_{18}(x)=\prod_{d \mid 18} (x^d-1)^{\mu(18/d)}=\frac{(x^{13}-1)(x^{18-1})}{(x^6-1)(x^9-1)}, δηλαδή είναι πηλίκο δύο μονικών πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές βαθμών 2121 ο αριθμητής και 1515 ο παρονομαστής.

Για να διαπιστώσουμε ότι Φ18(x)∈ℤ[x]\Phi_{18}(x) \in \mathbb{Z}[x] μπορούμε να κάνουμε τη διαίρεση ή να επιχειρηματολογήσουμε κατά Berlekamp:

To Φ18(x)\Phi_{18}(x) είναι πολυώνυμο βαθμού ϕ(18)=ϕ(2)ϕ(32)=6.\phi(18)=\phi(2)\phi(3^2)=6. Αν πάρουμε ένα πολυώνυμο modulo x7,x^7, επειδή το degΦ18(x)=6<7\text{deg} \Phi_{18}(x)=6 <7 δεν χάνουμε τίποτα. Υπολογίζουμε λοιπόν: Φ18(x)=(x3−1)(−1)(x6−1)(−1)=1−x31−x6 modulo x7\Phi_{18}(x)=\frac{(x^3-1)(-1)}{(x^6-1)(-1)}=\frac{1-x^3}{1-x^6} \text{ modulo } x^7 Στη συνέχεια υπολογίζουμε 1−x31−x6=(1−x3)(1+x6)(1−x6)(1+x6)=(1−x3)(1+x6)1−x12.\frac{1-x^3}{1-x^6}=\frac{(1-x^3)(1+x^6)}{(1-x^6)(1+x^6)}=\frac{(1-x^3)(1+x^6)}{1-x^{12}}. Όμως 1−x12≡1modx7.1-x^{12} \equiv 1 \text{mod} x^7. Επομένως ϕ18(x)=(1−x3)(1+x6)=1−x3+x6 mod x7\phi_{18}(x)=(1-x^3)(1+x^6)=1-x^3+x^6 \text{ mod } x^7 και τελικά Φ18(x)=x6−x3+1.\Phi_{18}(x)=x^6-x^3+1.

Ως μία εφαρμογή ας αποδείξουμε μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Dirichlet σχεικά με την απειρία των πρώτων αριθμών που εμφανίζονται σε αριθμητικές προόδους:

Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής p≡1modn.p\equiv 1 \text{mod} n.

Απόδειξη Το κυκλοτομικό πολυώνυμο Φn(x)\Phi_n(x) είναι ένα μη σταθερό μονικό πολυώνυμο στον δακτύλιο ℤ[x]\mathbb{Z}[x] και έχει σταθερό συντελεστή ±1.\pm 1.

Ας υποθέσουμε ότι υπήρχαν πεπερασμένοι το πλήθος πρώτοι p1,…,ptp_1,\ldots,p_t ισοδύναμοι με 1modn.1 \text{mod} n. Τότε, για αρκετά μεγάλο ακέραιο ℓ\ell θα είχαμε N=Φn(ℓnp1⋯pt)≥1N=\Phi_n(\ell n p_1\cdots p_t) \geq 1 και προφανώς ο NN είναι ακέραιος. Συνεπώς για κάθε pip_i θα είχαμε N≡±1modpi,N \equiv \pm 1\text{mod} p_i, αφού μόνο ο σταθερός όρος επιβιώνει modpi.\text{mod} p_i. Άρα για όλα τα pi,p_i, pip_i δεν διαιρεί το N.N. Ο αριθμός NN όμως έχει πρώτους παράγοντες και έστω pp ένας από αυτούς. Αφού δε N=±1modnN=\pm 1 \text{mod} n έχουμε (N,p)=1.(N,p)=1. Έχουμε ότι Φn(ℓnp1⋯pt)=N≡0mod p\Phi_n(\ell n p_1\cdots p_t)=N \equiv 0 \text{mod }p συνεπώς το ℓnp1⋯pt\ell n p_1\cdots p_t έχει τάξη nn στην ομάδα U(𝔽p)U(\mathbb{F}_p) η οποία έχει τάξη p−1,p-1, άρα n∣p−1,n\mid p-1, άτοπο.

Κυκλοτομικά σώματα αριθμών.

Αυτά είναι σώματα της μορφής ℚ(ζn)=ℚ[x]/Φn(x)\mathbb{Q}(\zeta_n)=\mathbb{Q}[x]/\Phi_n(x) και είναι ιδιαίτερα σημαντικά στην αλγεβρική θεωρία των αριθμών.

Ας δούμε δύο κλασικές εφαρμογές των παραπάνω σωμάτων που μπορεί να γίνουν εύκολα κατανοητές

Τα κανονικά πολύγωνα

O Gauss απέδειξε ότι ένα κανονικό πολύγωνο με 17 πλευρές είναι δυνατόν να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη. Γενικότερα ισχύει ότι ένα κανονικό pp-γωνο μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη αν το ϕ(p)=p−1\phi(p)=p-1 είναι δύναμη του 22 ή με άλλα λόγια αν ο pp είναι ένας πρώτος αριθμός του Fermat. Προφανώς ο 1717 είναι ένας πρώτος αριθμός του Fermat, αφού ϕ(17)=16=24.\phi(17)=16=2^4.

Είναι σαφές ότι με κανόνα και διαβήτη μπορούμε να υπολογίσουμε σημεία τα οποία βρίσκονται στην τομή δύο τετραγωνικών καμπυλών άρα οι συντεταγμένες τους είναι σε τετραγωνικές επεκτάσεις σωμάτων που έχουν ήδη συντεταγμένες σε τετραγωνικές επεκτάσεις του σώματος των ρητών αριθμών.

Το ερώτημα λοιπόν ανάγεται στο εξής: Μπορεί το nn-κυκλοτομικό σώμα να κατασκευαστεί ως μια ακολουθία τετραγωνικών επεκτάσεων;

Το τελευταίο θεώρημα του Fermat

Δεν χρειάζεται να πούμε πολλά για αυτό το πασίγνωστο πρόβλημα. Είναι σαφές ότι τα γινόμενα συμπεριφέρονται καλύτερα από τα αθροίσματα αφού έχουμε μοναδικότητα στην ανάλυση σε πρώτους αλλά δεν υπάρχει ανάλογο αποτέλεσμα για τα αθροίσματα.

Στην προσπάθειά μας να μελετήσουμε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης xn+yn=znx^n+y^n=z^n μια φυσιολογική ιδέα είναι να διασπάσουμε το αρχικό άθροισμα δυνάμεων ως xn+yn=(x+y)(x+ζy)⋯(x+ζn−1y).x^n+y^n=(x+y)(x+\zeta y)\cdots (x+\zeta^{n-1}y). Η παραπάνω διάσπαση δεν μπορεί να γίνει στον δακτύλιο των ακέραιων, μπορεί όμως να γίνει στον δακτύλιο των ℤ[ζ],\mathbb{Z}[\zeta], ο οποίος είναι ένας υποδακτύλιος του κυκλοτομικού σώματος ℚ(ζ),\mathbb{Q}(\zeta), ο οποίος παίζει για το σώμα ℚ(ζ)\mathbb{Q}(\zeta) τον ρόλο που παίζει για το σώμα ℚ\mathbb{Q} ο δακτύλιος ℤ.\mathbb{Z}.

Πολλές αποδείξεις του τελευταίου θεωρήματος του Fermat δόθηκαν, ήταν όμως εσφαλμένες, διότι ο δακτύλιος ℤ\mathbb{Z} δεν υπάρχει μονοσήμαντη ανάλυση σε αδιάσπαστα στοιχεία. Αυτή ήταν η αρχή της αλγεβρικής Θεωρίας αριθμών η οποία κατάφερε να μετρήσει τη μη μονοσήμαντη ανάλυση μέσω της ομάδας κλάσεων Cln.Cl_n. Έτσι μπορεί πράγματι να δώσει κανείς μια απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat για όλους τους πρώτους ώστε pp δεν διαιρεί το |Cln|.|Cl_n|.

Η πλήρης απόδειξη χρειαζόταν μία νέα ιδέα -αυτή των ελλειπτικών καμπυλών- και θα πούμε περισσότερα σε επόμενο κεφάλαιο.

Κυκλοτομικά πολυώνυμα

Τα κυκλοτομικά πολυώνυμα είναι ανάγωγα πολυώνυμα στο ℤ[x].\mathbb{Z}[x]. Αυτό δεν είναι σωστό πάνω από πεπερασμένα σώματα. Για παράδειγμα: Φ4(x)=x2+1={(x+1)2 στο 𝔽2αναγωγο στο 𝔽3(x+1)2 στο 𝔽4(x−2)(x−3) στο 𝔽5\Phi_4(x)=x^2+1=\begin{cases} (x+1)^2 & \text{ στο } \mathbb{F}_2 \\ \text{αναγωγο} & \text{ στο } \mathbb{F}_3 \\ (x+1)^2 & \text{ στο } \mathbb{F}_4 \\ (x-2)(x-3) & \text{ στο } \mathbb{F}_5 \end{cases}

Ισχύει το

Αν pp πρώτος pp δεν διαιρεί το nn τότε για k≥1k\geq 1 ισχύουν

Φnpk(x)=Φnp(xpk−1)\Phi_{n p^k}(x)=\Phi_{np} (x^{p^{k-1}}) για σώματα κάθε χαρακτηριστικής

Φnpk=Φn(xpk)Φn(xpk−1)\Phi_{n p^k}=\frac{\Phi_n(x^{p^k})}{\Phi_n(x^{p^{k-1}})} για σώματα κάθε χαρακτηριστικής

Φnpk(x)=Φn(x)pk−pk−1\Phi_{n p^k}(x)=\Phi_n(x)^{p^k-p^{k-1}} μόνο σε σώματα χαρακτηριστικής p,p, (n,p)=1.(n,p)=1.

Απόδειξη Χωρίς απόδειξη.

Παραδείγματα Φ72(x)=Φ8⋅32(x)=Φ8⋅3(x3)=Φ3⋅2((x3)23−1)=Φ6(x12)=\Phi_{72}(x)=\Phi_{8\cdot 3^2}(x)=\Phi_{8 \cdot 3}(x^3)=\Phi_{3\cdot 2}\left( (x^3)^{2^{3-1}} \right)=\Phi_6(x^{12})= (x12)2−x12+1=x24−x12+1.(x^{12})^2-x^{12}+1=x^{24}-x^{12}+1.

Επίσης Φ72(x)=Φ8(x9)Φ8(x3)=x36+1x12+1=x24−x12+1.\Phi_{72}(x)=\frac{\Phi_8(x^9)}{\Phi_8(x^3)}=\frac{x^{36+1}}{x^{12}+1}=x^{24}-x^{12}+1.

Σε σώμα χαρακτηριστικής 33 ισχύει Φ72(x)=Φ8(x)32−3=(Φ8(x))6=\Phi_{72}(x)=\Phi_8(x)^{3^2-3}=\big( \Phi_8(x) \big)^6= (x4+1)6=((x4+1)3)2=x24−x12+1.(x^4+1)^6=\left((x^4+1)^3\right)^2=x^{24}-x^{12}+1.

Έστω λοιπόν 𝔽q\mathbb{F}_q πεπερασμένο σώμα τάξης q=plq=p^l με (p,n)=1.(p,n)=1. Υπάρχει φυσικός αριθμός λ\lambda με την ιδιότητα qλ≡1 mod pq^\lambda \equiv 1 \text{ mod } p Ας είναι mm o ελάχιστος αριθμός με αυτή την ιδιότητα, δηλαδή η τάξη του qq στην 𝔽p*.\mathbb{F}_p^*. Ας θεωρήσουμε το σώμα 𝔽qm\mathbb{F}_{q^m} με qmq^m στοιχεία.

Επειδή n∣qm−1n \mid q^m-1 από προηγούμενο θεώρημα έχουμε ότι υπάρχει a∈𝔽qm,a\in \mathbb{F}_{q^m}, ώστε ord(a)=n.\text{ord}(a)=n. Έχουμε Φd(x)=∏0≤j<h−1ord(aj)=d=∏ord(b)(x−b),\Phi_d(x)=\prod_{0\leq j < h-1 \text{ord}(a^j)=d}=\prod_{\text{ord}(b)}(x-b), και Φn(x)=∏d∣n(xd−1)μ(n/d)\Phi_n(x)=\prod_{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(n/d)} Αυτό σημαίνει ότι το Φd(x)\Phi_d(x) αναλύεται στο «μεγάλο» σώμα 𝔽qm\mathbb{F}_{q^m} σε γινόμενο γραμμικών παραγόντων.

Τι γίνεται στο μικρό σώμα 𝔽q\mathbb{F}_q; Το ελάχιστο πολυώνυμο του aa έχει ρίζες a,aq,…,aqd−1.a,a^q,\ldots,a^{q^{d-1}}.
Δηλαδή υπάρχουν ακριβώς dd-συζυγή του aa στο σώμα 𝔽q,\mathbb{F}_q, όπου dd ο ελάχιστος φυσικός τέτοιος ώστε qd≡1modn.q^d \equiv 1 \text{mod} n. Αλλά αυτό εμείς το ορίσαμε και το είπαμε m.m. Επομένως το Φn(x)\Phi_n(x) έχει έναν ανάγωγο παράγοντα βαθμού m.m.

Ποια είναι τα ανάγωγα πολυώνυμα των άλλων ριζών του Φn(x)\Phi_n(x);

Εξ ορισμού όλα έχουν βαθμό d=m.d = m. Με το ίδιο επιχείρημα όπως και προηγουμένως έπεται ότι υπάρχουν ακριβώς d=md = m συζυγή.

Αν pp πρώτος, pp δεν διαιρεί το nn και q=plq = p^l τότε το Φn(x)\Phi_n(x) στο 𝔽q=K\mathbb{F}_q = K αναλύεται σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων, βαθμού m,m, όπου mm ο ελάχιστος φυσικός με την ιδιότητα qm≡1modn.q^m \equiv 1 \text{mod} n.

Παράδειγμα Το Φ7(x)\Phi_7(x) υπέρ του 𝔽2=K.\mathbb{F}_2 = K. Έχουμε ότι ϕ(7)=6.\phi(7) = 6. Θα πρέπει να βρούμε το mm για q=2q = 2 και n=7.n = 7. Δηλαδή τον ελάχιστο φυσικό τέτοιο ώστε 2m≡1mod7.2^m \equiv 1 \text{mod} 7. Οπότε m=3.m = 3. Επομένως το Φ7(x)\Phi_7(x) αναλύεται στο 𝔽2\mathbb{F}_2 σε γινόμενο 6/3=26/3=2 ανάγωγων (κυκλικών) πολυωνύμων βαθμού 33 το καθένα.

Ας κάνουμε τον υπολογισμό στο sage:

sage:Phi=cyclotomic_polynomial(7,'x');Phi
x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
sage:Phi.is_irreducible()
True
sage:R.<t> = PolynomialRing(FiniteField(2));R
Univariate Polynomial Ring in t over Finite Field of
size 2 (using NTL)
sage:ff = ZZ[x].hom([t]); ff
Ring morphism:
  From: Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ring
  To:   Univariate Polynomial Ring in t over Finite Field
  of size 2 (using NTL)
  Defn: x |--> t
sage:factor(ff(Phi))
(t^3 + t + 1) * (t^3 + t^2 + 1)

foo Interactive

Πρώτα κατασκευάσαμε το Φ7(x)\Phi_7(x) και ελέγξαμε ότι είναι ανάγωγο. Στη συνέχεια κατασκευάσαμε τον δακτύλιο των πολυωνύμων R=𝔽2[t]R=\mathbb{F}_2[t] και τον ομομρφισμό ℤ[x]→𝔽2[t]\mathbb{Z}[x]\rightarrow \mathbb{F}_2[t] ο οποίος λαμβάνει τους συντελεστές modulo 2.2. Τέλος παραγοντοποιήσαμε την εικόνα του Φ7(x)\Phi_7(x) modulo 2.2.

Συνεχίζουμε τη θεωρητική προσέγγιση στο ίδιο παράδειγμα. Αν aa οποιοδήποτε στοιχείο τάξης 77 στο F=𝔽23,F = \mathbb{F}_{2^3}, οι ανάγωγοι παράγωντες του Φ7(x)\Phi_7(x) στο Κ=𝔽2Κ = \mathbb{F}_2 θα είναι f1(x)=(x–a)(x–a2)(x−a4)f_1(x)=(x–a)(x–a^2) (x-a^4) f3(x)=(x–a3)(x−a6)(x–a5)f_3(x)=(x–a^3)(x-a^6) (x–a^5) To 𝔽23≅𝔽2[x]/⟨f(x)⟩,\mathbb{F}_{2^3}\cong \mathbb{F}_2[x]/\langle f(x) \rangle, όπου f(x)f(x) ανάγωγο μονικό πολυώνυμο του 𝔽2[x].\mathbb{F}_2[x]. Ένα τέτοιο πολυώνυμο είναι το x3+x+1,x^3+x+1, επομένως αν για aa πάρουμε μια ρίζα του x3+x+1x^3+x+1 θα έχουμε a3+a+1=0.a^3+a+1 = 0. Οπότε a3=–(a+1)a^3 = – (a+1) ή a3=a+1.a^3 = a+1. Με αυτόν τον τρόπο καταλήγουμε ότι f1(x)=x3+x+1καιf3(x)=x3+x2+1.f_1(x)=x^3 +x +1 \mbox{ και } f_3(x)=x^3 +x^2 +1.

Παράδειγμα Να παραγοντοποιήσουμε το Φ180(x)\Phi_{180}(x) στο 𝔽3.\mathbb{F}_3. Έχουμε ότι 180=22⋅32⋅5.180=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5. Επομένως Φ180(x)=Φ20(x)9−3=Φ20(x)6.\Phi_{180}(x) = \Phi_{20}(x)^{9-3}=\Phi_{20}(x)^6. Συνεπώς θα πρέπει να παραγοντοποιήσουμε το κυκλοτομικό πολυώνυμο Φ20(x)\Phi_{20}(x) στο 𝔽3.\mathbb{F}_3. Επειδή 34≡1mod203^4 \equiv 1 \text{mod} 20 έχουμε ότι m=4m=4 και n=20n=20 με ϕ(n)=ϕ(20)=8.\phi(n)=\phi(20)=8. Άρα το ϕ20(x)\phi_{20}(x) είναι ίσο με το γινόμενο 8/4=28/4=2 αναγώγων πολυωνύμων βαθμού 44 το καθένα. Οπότε, αν aa στοιχείο τάξης 2020 στο 𝔽34\mathbb{F}_{3^4} τότε οι δυο παράγοντες του Φ20(x)\Phi{20}(x) είναι: f1(x)=(x–a)(x–a3)(x–a9)(x–a7)f_1(x)=(x–a) (x–a^3) (x–a^9) (x–a^7) f2(x)=(x–a11)(x–a13)(x–a19)(x–a17)f_2(x)=(x–a^{11}) (x–a^{13}) (x–a^{19}) (x–a^{17}) Αν πάλι έχουμε στο 𝔽34\mathbb{F}_{3^4} ότι και aa ρίζα του q(X)q(X) μπορούμε να υπολογίσουμε επακριβώς τα f1(x)f_1(x) και f2(x).f_2(x).

Ας πάμε με ωμή βία να κάνουμε τον ίδιο υπολογισμό στο sage:

sage:Phi=cyclotomic_polynomial(180,'x');Phi
x^48 + x^42 - x^30 - x^24 - x^18 + x^6 + 1
sage:Phi.is_irreducible()
True
sage:R.<t> = PolynomialRing(FiniteField(3));R
Univariate Polynomial Ring in t over Finite Field of size 3
sage:ff = ZZ[x].hom([t]); ff
Ring morphism:
  From: Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ring
  To:   Univariate Polynomial Ring in t over Finite Field
                                                of size 3
  Defn: x |--> t
sage:factor(ff(Phi))
(t^4 + t^3 + 2*t + 1)^6 * (t^4 + 2*t^3 + t + 1)^6

foo Interactive

Θα προσπαθήσουμε να ανακαλύψουμε τεχνικές που μας επιτρέπουν να βρούμε τους ανάγωγους παράγοντες του κυκλοτομικού πολυωνύμου Φn(x)\Phi_n(x) στο 𝔽q\mathbb{F}_q επακριβώς. Ως πρώτο βήμα θα προσπαθήσουμε να βρούμε κριτήρια για το πότε το Φn(x)\Phi_n(x) είναι ανάγωγο.

Έχουμε αποδείξει ότι

Φn(x)\Phi_n(x) ανάγωγο στο 𝔽q\mathbb{F}_q αν και μόνο αν {qϕ(n)≡1modnqk≠1modn για κάθε k<ϕ(n)}\left\{\begin{array}{c} q^{\phi(n)} \equiv 1 \text{mod} n \\ q^k \neq 1 \text{mod} n \text{ για κάθε } k< \phi(n) \end{array}\right\}

Η παραπάνω εξίσωση μας λέει ότι η ομάδα των πρώτων κλάσεων υπολοίπων mod n,n, η οποία έχει τάξη ϕ(n),\phi(n), είναι κυκλική και έχει το qq ως γεννήτορα. Δηλαδή ότι το qq είναι πρωταρχική ρίζα modulo n.n.

Από τη Θεωρία Αριθμών όμως γνωρίζουμε ότι οι μοναδικές τιμές του nn για τις οποίες υπάρχει πρωταρχική ρίζα mod nn είναι n=1,2,4,ps,2ps,n = 1, 2, 4, p^s, 2p^s, s∈ℕs\in \mathbb{N} και pp πρώτος, p≠2.p\neq 2.

Επομένως, αν το nn δεν είναι της παραπάνω μορφής, τότε Φn(x)\Phi_n(x) όχι ανάγωγο στο 𝔽q.\mathbb{F}_q. Απ’ την άλλη μεριά, αν το nn είναι τέτοιας μορφής, τότε Φn(x) ανάγωγο στο 𝔽q⇔ το q είναι πρωταρχική ρίζα mod n.\Phi_n(x) \text{ ανάγωγο στο } \mathbb{F}_q \Leftrightarrow \text{ το } q \text{ είναι πρωταρχική ρίζα mod } n.

Παράδειγμα Έστω n=7.n = 7. Τότε φ(7)=6.φ(7) = 6. Παίρνουμε τους πρώτους ως προς 77 modulo 7: 1,2,3,4,5,6(mod7)1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod 7) 23≡1mod72^3 \equiv 1 \text{mod} 7 συνεπώς ord7(2)=3.\text{ord}_7(2) = 3. Επομένως, το 22 δεν είναι πρωταρχική ρίζα mod 7.7.

31≡3mod7,3^1 \equiv 3 \text{mod} 7, 32≡2mod7),3^2 \equiv 2 \text{mod} 7), 33≡6mod73^3 \equiv 6 \text{mod} 7 συναπώς ord7(3)=6.\text{ord}_7(3) = 6. Tο 33 είναι πρωταρχική ρίζα mod 7.7. Οι άλλες πρωταρχικές ρίζες προκύπτουν από τις δυνάμεις του 3d3^d με 1≤d<61\leq d <6 (d,6)=1,(d,6)=1, δηλαδή η μοναδική άλλη πρωταρχική ρίζα είναι το 35≡5mod73^5\equiv 5 \text{mod} 7

Άρα, Φ7(x)=x6+x5+x4+x3+x2+x+1\Phi_7(x)=x^6+ x^5+ x^4+ x^3+ x^2+ x+1 είναι ανάγωγο στο σώμα 𝔽q\mathbb{F}_q αν και μόνο αν q≡3mod7 ή q≡5mod7.q \equiv 3 \text{mod} 7 \text{ ή } q\equiv 5 \text{mod} 7. Για παράδειγμα για q=3,5,17,19,…q = 3, 5, 17, 19,\ldots το Φ7(x)\Phi_7(x) είναι ανάγωγο στο 𝔽q.\mathbb{F}_q.

Ας πάρουμε τώρα n=8n = 8 (αναμένουμε να μην έχει πρωταρχικές ρίζες). Έχουμε ότι ϕ(8)=4.\phi(8) = 4. Οι πρώτες κλάσεις mod 88 είναι: 1,3,−3=5,7.1, 3, -3=5, 7. 72≡(−3)2≡32≡1mod87^2 \equiv (-3)^2 \equiv 3^2 \equiv 1 \text{mod} 8 και ομοίως (±1)2≡1mod8,(\pm 1)^2 \equiv 1 \text{mod} 8, δηλαδή όλα τα στοιχεία έχουν τάξη 2.2.

Αυτό σημαίνει ότι το πολυώνυμο Φ8(x)=x4+1\Phi_8(x) = x^4 + 1 δεν είναι ποτέ ανάγωγο στο 𝔽p\mathbb{F}_p για κάθε πρώτο p.p. Αντιθέτως το Φ8(x)\Phi_8(x) είναι ανάγωγο στο ℤ.\mathbb{Z}.

Πιο γενικά: Αν f(x)f(x) οποιοδήποτε πολυώνυμο του 𝔽q[x]\mathbb{F}_q[x] θα περιγράψουμε αλγόριθμο (του Berlekamp) παραγοντοποίησης του f(x)f(x) σε γινόμενο ανάγωγων παραγόντων.

Αν f(x)f(x) μονικό πολυώνυμο με degf(x)=n\text{deg}f(x)=n όπου f(x)∈𝔽qf(x)\in \mathbb{F}_q και αν h(x)∈𝔽q[x],h(x) \in \mathbb{F}_q[x], τέτοιο ώστε h(x)q≡h(X)modf(X)h(x)^q\equiv h(X) \text{mod} f(X) τότε f(x)=∏s∈𝔽q(f(x),h(x)−s).f(x)=\prod_{s\in \mathbb{F}_q} (f(x),h(x)-s).

(χωρίς απόδειξη)

Παρατήρηση Αν υπάρχει s0∈𝔽qs_0\in \mathbb{F}_q τέτοιο ώστε h(X)≡s0modf(x),h(X)\equiv s_0 \text{mod} f(x), τότε η παραγοντοποίηση του προηγούμενου θεωρήματος είναι τετριμμένη. Δηλαδή ένας παράγοντας είναι το f(x)f(x) και οι άλλοι είναι 1.1.

Το επόμενο θεώρημα θα μας δώσει ότι αν f(x)f(x) διαιρείται από δυο ή περισσότερα διακεκριμένα ανάγωγα πολυώνυμα τότε υπάρχει πολυώνυμο h(x)h(x) τέτοιο ώστε η παραγοντοποίηση του προηγούμενου θεωρήματος να μην είναι τετριμμένη.

Θεωρούμε τον δακτύλιο V(f):=𝔽q[x]/⟨f(x)⟩V(f):=\mathbb{F}_q[x]/\langle f(x) \rangle σαν nn-διάστατο 𝔽q\mathbb{F}_q-διανυσματικό χώρο, όπου n=degf,n=\text{deg}f, με βάση τα {1,x,x2,…,xn−1}.\{1,x,x^2,\ldots,x^n-1\}. Έστω R(f)={h(x)∈𝔽q[x] ώστε h(x)q≡h(x)modf(x)}.R(f)=\{h(x)\in \mathbb{F}_q[x] \text{ ώστε } h(x)^q \equiv h(x) \text{mod} f(x)\}. Το R(f)R(f) είναι διανυσματικός υπόχωρος του V(f)V(f) διότι (s1h1(x)+s2h2(x))q=s1q+h1(x)q+s2qh2(x)q\big(s_1 h_1(x)+s_2 h_2(x) \big)^q=s_1^q+h_1(x)^q +s_2^q h_2(x)^q =s1h1(x)+s2(x)h2(x) mod f(x).=s_1h_1(x)+s_2(x)h_2(x) \text{ mod } f(x).

Αν f(x)=∏i=1mPi(x)ℓi,f(x)=\prod_{i=1}^m P_i(x)^{\ell_i}, όπου Pi(x)P_i(x) διακεκριμένα ανά δύο ανάγωγα μονικά πολυώνυμα, τότε dim𝔽qR(f)=m.\text{dim}_{\mathbb{F}_q}R(f)=m.

(χωρίς απόδειξη)

Παρατήρηση: Αν καταφέρουμε να υπολογίσουμε τη διάσταση του χώρου m,m, τότε γνωρίζουμε το πλήθος των ανάγωγων παραγόντων του f(x)f(x) (Θα είναι mm).

Παράδειγμα Έστω f(x)=x4+x+1f(x)=x^4 + x + 1 και q=2q = 2 τότε 𝔽2.\mathbb{F}_2. Αν h(x)=h0+h1x+h2x2+h3x3h(x)=h_0+h_1x+h_2x^2+ h_3x^3 τότε η συνθήκη h(x)q≡h(x) mod f(x)h(x)^q \equiv h(x) \text{ mod } f(x) γράφεται h0+h1x2+h2x4+h3x6≡h0+h1x+h2x2+h3x3mod (x4+x+1).h_0+h_1x^2+h_2x^4+ h_3x^6 \equiv h_0+h_1x+h_2x^2+ h_3x^3 \text{mod } (x^4+x+1). Ισχύει ότι x4≡x+1mod (x4+x+1)x^4\equiv x+1 \text{mod }(x^4+x+1) οπότε και x6≡x3+x2mod (x4+x+1)x^6 \equiv x^3+ x^2 \text{mod } (x^4+x+1) και έχουμε ότι h(X)2=h0+h1x2+h2(x+1)+h3(x3+x2)mod (x4+x+1).h(X)^2=h_0+h_1x^2+h_2(x+1)+h_3(x^3+x^2) \text{mod }(x^4+x+1). Oπότε αν παραστήσουμε το πολυώνυμο h(x)=h0+h1x+h2x2+h3x3h(x)=h_0+h_1x+h_2x^2+ h_3x^3 με το διάνυσμα στήλη (h0,h1,h2,h3)t,(h_0, h_1, h_2, h_3)^t, τότε h(X)∈R(f)⇔h(X)2≡h(X)mod f(X)h(X) \in R(f) \Leftrightarrow h(X)^2 \equiv h(X) \text{mod }f(X) ή ισοδύναμα h0(1000)+h1(0010)+h2(1100)+h3(0011)=h0(1000)+h1(1000)+h2(0010)+h3(0001)h_0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+ h_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+ h_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+h_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}=h_0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+ h_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+ h_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+h_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} Δηλαδή το h(X)∈R(f)h(X) \in R(f) ισοδυναμεί με το ότι το διάνυσμα (h0,h1,h2,h3)t(h_0, h_1, h_2, h_3)^t ανήκει στον χώρο μηδενισμού του πίνακα B,B, όπου B=(10100010001001010001)−Id=(0000011001110000).B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}- Id= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Κάνοντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στον πίνακα B,B, συγκεκριμένα προσθέτοντας στη γραμμή 2 τη γραμμή 1 και στη γραμμή 3 τη γραμμή 2 φέρνουμε τον BB στη μορφή: B=(0010010000010000).B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Παρατηρούμε ότι (h0,h1,h2,h3)∈R(f)⇔h1=h2=h3=0.(h_0,h_1,h_2,h_3) \in R(f) \Leftrightarrow h_1=h_2=h_3=0. Συνεπώς η διάσταση του παραπάνω χώρου dim(R(f))=1\text{dim}(R(f))=1 και το f(x)f(x) είναι δύναμη αναγώγου. Όμως f′(x)=4x3+1=1.f'(x)=4x^3+1=1. Άρα έχει απλές ρίζες και το ff είναι ανάγωγο.

Παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε το f(x)=x5+x+1f(x)=x^5+x+1 στο 𝔽2\mathbb{F}_2 Αν h(x)=h0+h1x+h2x2+h3x3+h4x4h(x) = h_0 + h_1x + h_2x^2 + h_3x^3 + h_4x^4 τότε θέλουμε να έχουμε h(x)2≡h(x)mod(x5+x+1).h(x)^2 \equiv h(x) mod (x^5+x+1). Θα χρησιμοποιήσουμε τις ισοτιμίες: x5≡x+1mod (x5+x+1),x^5 \equiv x+1 \text{mod }(x^5+x+1), x6≡x2+xmod (x5+x+1)x^6 \equiv x^2+ x \text{mod }(x^5+x+1) και x8≡x4+x3mod (x5+x+1).x^8 \equiv x^4+ x^3 \text{mod }(x^5+x+1). Η ισοδυναμία h(x)2≡h(X)mod f(x)h(x)^2 \equiv h(X) \text{mod } f(x) γράφεται ισοδύναμα στο σύστημα (1000000010010100000100101)(h0h1h2h3h4)=Id(h0h1h2h3h4),\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_0 \\ h_1 \\ h_2 \\ h_3 \\h_4 \end{pmatrix}= \text{Id}\begin{pmatrix} h_0 \\ h_1 \\ h_2 \\ h_3 \\h_4 \end{pmatrix}, δηλαδή στον ιδιοχώρο της ιδιοτιμής 1.1. Υπολογίζουμε ότι η διάσταση του ιδιοχώρου αυτού είναι 22 και μία βάση του R(f)R(f) είναι τα 1,x+x3+x4.1, x+x^3+x^4.

Επομένως το f(x)f(x) είναι γινόμενο δύο αναγώγων πολυωνύμων πιθανόν σε κάποια δύναμη το καθένα.

Υπολογίζουμε κατά τα γνωστά τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες (x5+x+1,x4+x3+x)=x3+x2+1(x^5+x+1, x^4+x^3+x) = x^3+x^2+1 (x5+x+1,x4+x3+x+1)=x2+x+1(x^5+x+1, x^4+x^3+x+1) = x^2+x+1 Επομένως, x5+x+1=(x3+x2+1)(x2+x+1).x^5+x+1 = (x^3+x^2+1)(x^2+x+1). Γνωρίζουμε ότι x3+x2+xx^3+x^2+x και x2+x+1x^2+x+1 ανάγωγα στο 𝔽2.\mathbb{F}_2. Άρα η ανάλυση του f(x)f(x) σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων είναι f(x)=x5+x+1=(x3+x2+1)(x2+x+1).f(x) = x^5+x+1 = (x^3+x^2+1)(x^2+x+1).

Ο αλγόριθμος του Berlekamp μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά αν το πολυώνυμο που θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε είναι της μορφής xn–1x^n –1 όπου (n,q)=1.(n,q) = 1.

Το πολυώνυμο h(x)=∑i=0n−1hixih(x) = \sum_{i=0}^{n-1} h_i x^i επαληθεύει την ισοδυναμία h(x)q≡h(x)mod (xn−1)h(x)^q \equiv h(x) \text{mod }(x^n-1) αν και μόνο αν hiq=hi για κάθε i=0,1,2,…,n−1h_{iq}=h_i \text{ για κάθε } i = 0,1,2,\ldots,n-1 (όπου οι δείκτες θεωρούνται modulo nn).

(χωρίς απόδειξη)

Παρατήρηση: Επειδή (n,q)=1,(n, q) = 1, η απεικόνιση i↦qimod ni \mapsto qi \text{mod } n είναι μια μετάθεση του συνόλου {0,1,2,…,n−1}.\{0,1,2,\ldots,n-1\}.

Παράδειγμα: Για q=2q = 2 και n=5n = 5 έχουμε ότι {0,1,2,3,4}↦{0,2,4,6,8}≡{0,2,4,1,3}mod 5.\{0,1,2,3,4\} \mapsto \{0,2,4,6,8\} \equiv \{0,2,4,1,3\} \text{mod } 5. Δηλαδή έχουμε τη μετάθεση: (0123402413)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Παράδειγμα: Για q=3q = 3 και n=20n = 20 η μετάθεση που θα προκύψει σε γινόμενο κύκλων γράφεται: (0)(1397)(261814)(412168)(515)(10)(11131917).(0)(1 3 9 7)(2 6 18 14)(4 12 16 8)(5 15)(10)(11 13 19 17).

Συνεπώς κάθε πολυώνυμο h(x)h(x) που επαληθεύει την ισοδυναμία h(x)3≡h(x) mod x20−1h(x)^3 \equiv h(x) \text{ mod } x^{20}-1 θα πρέπει να είναι 𝔽3\mathbb{F}_3-γραμμικός συνδυασμός των ακολούθων 77 πολυωνύμων: h0=1h_0 = 1 h1(x)=x+x3+x9+x7h1(x) = x + x^3 + x^9 + x^7 h2(x)=x2+x6+x18+x14h2(x) = x^2 + x^6 + x^{18} + x^{14} h4(x)=x4+x12+x16+x8h_4(x) = x^4 + x^12 + x^16 + x^8 h5(x)=x5+x15h_5(x) = x^5 + x^{15} h10(x)=x10h_10(x) = x^{10} h11(x)=x11+x13+x19+x17h_{11}(x) = x^{11} + x^{13} + x^{19} + x^{17} Οι κύκλοι των μεταθέσεων i→qimod ni\rightarrow qi \text{mod } n λέγονται κυκλοτομικά cosets.

Μελετάμε το πολυώνυμο f(x)=x20–1f(x)=x^{20} –1 στο σώμα 𝔽3.\mathbb{F}_3. Η τάξη του 33 modulo 2020 είναι 44 αφού 34≡1mod 20.3^4 \equiv 1 \text{mod } 20. Επομένως, αν περάσουμε στο σώμα 𝔽34\mathbb{F}_{3^4} τότε αυτό θα έχει ένα στοιχείο τάξης 20,20, δηλαδή x20–1=∏j=019(x−aj),x^{20} –1 = \prod_{j=0}^{19}(x-a^j), όπου aa ένα στοιχείο τάξης 2020 του 𝔽34.\mathbb{F}_{3^4}.

Έχουμε ήδη δει ότι η παραγοντοποίηση του x20–1x^{20}–1 στο 𝔽3\mathbb{F}_3 καθορίζεται από την παραγοντοποίηση του x20–1x^{20} –1 στο 𝔽34.\mathbb{F}_{3^4}. Έστω για παράδειγμα ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του aa στο σώμα 𝔽3\mathbb{F}_{3} είναι το f1(x)=(x–a)(x–a3)(x–a9)(x–a7)f_1(x) = (x – a)(x – a^3) (x – a^9) (x – a^7) Επειδή για κάθε i=1,3,7,9i = 1, 3, 7, 9 έχουμε ότι (i,20)=1,(i, 20) = 1, έπεται ότι τα στοιχεία aia^i για κάθε i=1,3,7,9i = 1, 3, 7, 9 είναι επίσης τάξης 20.20. Επομένως το f1(x)f_1(x) είναι ανάγωγος παράγοντας, όχι μόνο του x20–1x^{20} –1 αλλά και του Φ20(x).\Phi_{20}(x). Ομοίως αν fi(x)f_i(x) είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του ai,a_i, τότε το fi(x)f_i(x) είναι και ανάγωγο πολυώνυμο του Φn/(n,i)(x).\Phi_{n/(n,i)}(x). Αν τώρα συμβολίσουμε το κυκλοτομικό coset που περιέχει το i με Ci φτιάχνουμε τον ακόλουθο πίνακα:

Πίνακας Κυκλοτoμικών cosets

ii | CiC_i | |Ci|=degfi(x)|C_i| =\text{deg} f_i(x) | 20(20,i)\frac{20}{(20,i)}
0 | 0 | 1 | 1
1 | (1, 3, 9, 7) | 4 | 20
2 | (2, 6, 18, 14) | 4 | 10
4 | (4, 12, 16, 8) | 4 | 5
5 | (5, 15) | 2 | 4
10 | (10) | 1 | 2
11 | (11, 13, 19, 17) | 4 | 20

Με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα μπορούμε να φτιάξουμε τον πίνακα των παραγόντων του x20–1x^{20} –1 οι οποίοι δίνονται μέσω τον κυκλοτομικών πολυωνύμων Φd(x),\Phi_d(x), όπου d∣20.d \mid 20.

Παράγοντες του x20−1.x^{20}-1.

dd | Φd(x)\Phi_d(x) | παράγοντες
1 | x–1x–1 | f1(x)f_1(x) ανάγωγο
2 | x+1x+1 | f10(x)=x–a10f_{10}(x) = x – a^{10} ανάγωγο
4 | x2+1x^2+1 | f5(x)f_5(x) ανάγωγο
5 | x4+x3+x2+x+1x^4+x^3+x^2+x+1 | f4(x)f_4(x) ανάγωγο
10 | x4–x3+x2–x+1x^4–x^3+x^2–x+1 | f2(x)f_2(x) ανάγωγο
20 | x8–x6+x4–x2+1x^8–x^6+x^4–x^2+1 | f1(x)f11(x)f_1(x)f_{11}(x)

Μόνο το Φ20(x)\Phi_{20}(x) δεν παραγοντοποιείται πλήρως σε γινόμενο αναγώγων για αυτό εφαρμόζουμε και πάλι τον αλγόριθμο του Berlekamp. Για κάθε hi(x)h_i(x) ισχύει: x20–1=(x20–1,hi(x))(x20–1,hi(x)+1)(x20–1,hi(x)+2)x^{20} –1 = (x^{20} –1, h_i(x))(x^{20} –1, h_i(x)+1) (x^{20} –1, h_i(x)+2) Επειδή Φ20(x)|x20–1\Phi_{20}(x)| x^{20} –1 έπεται ότι h3(x)≡h(x)modΦ20(x).h^3(x) \equiv h(x) mod \Phi_{20}(x). Οπότε, Φ20(x)=(Φ20(x),hi(x))(Φ20(x),hi(x)+1)(Φ20(x),hi(x)+2)=\Phi_{20}(x) = (\Phi_{20}(x), h_i(x)) (\Phi_{20}(x), h_i(x) + 1)(\Phi_{20}(x), h_i(x) + 2)= |=(x4+x3+2X+1)(x4+2x3+x+1).|= (x^4 + x^3 + 2X + 1)( x^4 + 2x^3 + x + 1).

Έτσι παραγοντοποιήσαμε πλήρως το x20–1x^{20} –1 σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων. Στο sage η παραπάνω κατασκευή θα μπορούσε να γίνει ως:

sage:Phi20=cyclotomic_polynomial(20,'x');Phi20
sage:R.<t> = PolynomialRing(FiniteField(3))
sage:ff = ZZ[x].hom([t]);
sage:factor(ff(Phi20))
(t^4 + t^3 + 2*t + 1) * (t^4 + 2*t^3 + t + 1)
sage:factor(ff(x^20-1))
(t + 1) * (t + 2) * (t^2 + 1) * (t^4 + t^3 + 2*t + 1) *
(t^4 + t^3 + t^2+ t + 1) * (t^4 + 2*t^3 + t + 1) *
(t^4 + 2*t^3 + t^2 + 2*t + 1)

Ο κυκλοτομικός νόμος αντιστροφής.

Παρατηρούμε ότι ο τετραγωνικός νόμος αντιστροφής δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια μέθοδος να προσδιορίζουμε πότε το ανάγωγο πολυώνυμο x2−ax^2-a διασπάται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων. Συγκεκριμένα, για να αποφασίσουμε αν το aa είναι ή όχι τετραγωνικό υπόλοιπο θα πρέπει να υπολογίζουμε το σύμβολο του Legendre (ap).\left(\frac{a}{p}\right).

Θα μπορούσαμε να ρωτήσουμε όμως το εξής θέμα: Ορίζουμε το σύνολο Spl(x2−a):={p πρώτοι ώστε το (x2−a)να διασπάται σε γινόμενο 1-βαθμίων πολ/μων}.\text{Spl}(x^2-a):= \left\{p \text{ πρώτοι ώστε το } (x^2-a) \text{να διασπάται σε γινόμενο 1-βαθμίων πολ/μων} \right\}.

Ας υποθέσουμε για απλότητα ότι το aa είναι και αυτό πρώτος. Ο προσδιορισμός του συνόλου Spl(x2−a)\text{Spl}(x^2-a) περιλαμβάνει τον υπολογισμό απείρων συμβόλων του Legendre. Και όμως με τον τετραγωνικό νόμο αντιστροφής αυτό μπορεί να αλλάξει!

Για παράδειγμα αν το q=17q=17 τότε (17p)=(p17)\left(\frac{17}{p} \right)=\left( \frac{p}{17}\right) και τώρα οι πρώτοι χωρίζονται ανάλογα με τη συμπεριφορά τους σε κλάσεις modulo 17.17. Δηλαδή τo 1717 είναι τετραγωνικό υπόλοιπο για τους πρώτους οι όποιοι είναι ίσοδύναμοι με p≡1,2,4,8,9,13,15,16mod 17p\equiv 1,2,4,8,9,13,15,16 \text{mod } 17

Εντελώς όμοια αποδεικνύεται ότι οι κατασκευή του παραπάνω παραδείγματος ισχύει γενικά και ο τετραγωνικός νόμος αντιστροφής εκφράζεται ως εξής:

Έστω qq περιττός πρώτος. Τότε το σύνολο Spl(x2−q)\text{Spl}(x^2-q) ορίζεται μέσω ισοδυναμιών modulo qq αν q≡1mod4q\equiv 1 \text{mod} 4 και μέσω ισοδυναμιών modulo 4q4q αν q≡3mod4.q \equiv 3 \text{mod} 4.

Ο νόμος ανάλυσης των κυκλοτομικών πολυωνύμων αποδείξαμε ότι δίνεται ως εξής: Spl(Φn(x))={p πρώτος ώστε p≡1 mod n}\text{Spl}(\Phi_n(x))=\{p \text{ πρώτος ώστε } p \equiv 1 \text{ mod }n \} τον οποίο και θα ονομάζουμε κυκλοτομικό νόμο αντιστροφής. Παρατηρούμε και πάλι ότι και αυτός εκφράζεται μέσω ισοδυναμιών.

Το 9ο πρόβλημα του Hilbert (πρόκειται για μια σειρά προβλημάτων που έθεσε ο Hilbert, σαν τα βασικά προβλήματα των μαθηματικών που μπαίνουν άλυτα στο κατώφλι του 20ού αιώνα. Η διάλεξη δόθηκε στο Παγκόσμιο Συνέδριο Μαθηματικών στα 1900, στο Παρίσι.) ασχολείται με την εύρεση του περισσότερο γενικού νόμου αντιστροφής σε κάθε αλγεβρικό σώμα αριθμών. Η λύση του προβλήματος θα ερχόταν μέσω της θεωρίας κλάσεων σωμάτων, όπως υποστήριζε. Το πρόβλημα λύθηκε για όλες τις αβελιανές επεκτάσεις από τον Artin, ενώ σημαντική συνεισφορά είχαν οι Teiji Takagi, Phillip Furtwängler, Helmut Hasse, Claude Chevalley και άλλοι.

Τελειώνοντας, θέλουμε να σημειώσουμε ότι υπάρχουν πολλές γενικεύσεις του νόμου αυτού. Μέσω του θεωρήματος των Kronecker-Weber έγινε σαφές ότι αν θέλουμε να κατανοήσουμε την αριθμητική των αβελιανών επεκτάσεων του σώματος των ρητών αριθμών αρκεί να κατανοήσουμε την αριθμητική των κυκλοτομικών σωμάτων.

Προσθετικά Πολυώνυμα

Στην παράγραφο αυτή θα μελετηθεί η θεωρία των προσθετικών πολυωνύμων, περισσότερα στοιχεία μπορούν να αναζητηθούν στο (Goss 1997). Θεωρούμε ένα σώμα kk πεπερασμένης χαρακτηριστικής και έστω k¯\overline{k} η αλγεβρική κλειστότητά του.

Θα λέμε ότι ένα πολυώνυμο P(x)∈k[x]P(x)\in k[x] είναι προσθετικό στο σώμα kk αν και μόνο αν ισχύει: P(a+b)=P(a)+P(b),P(a+b)=P(a)+P(b), για οποιαδήποτε στοιχεία a,b∈k.a,b\in k. Θα λέμε ότι το πολυώνυμο είναι απολύτως προσθετικό αν και μόνο αν είναι προσθετικό στο σώμα k¯.\overline{k}.

Παρατήρηση: Στη χαρακτηριστική pp το πολυώνυμο τp(x)=xp\tau_p(x)=x^p είναι προσθετικό και απολύτως προσθετικό πολυώνυμο. Επίσης είναι σαφές ότι αν P,GP,G είναι προσθετικά πολυώνυμα και a∈k¯,a\in \overline{k}, τότε P+G,P+G, aP,a P, P∘GP\circ G είναι επίσης προσθετικά πολυώνυμα.

Θα συμβολίζουμε με k{τp}k\{\tau_p\} τον υποχώρο του k[x]k[x] που παράγεται από τους γραμμικούς συνδυασμούς των πολυωνύμων τpi(x)=xpi.\tau_p^i(x)=x^{p^i}.

Παρατήρηση: Το σύνολο k{τp}k\{\tau_p\} εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και της σύνθεσης αποτελεί έναν δακτύλιο. Αν k≠𝔽p,k\neq \mathbb{F}_p, τότε ο δακτύλιος αυτός είναι μη αντιμεταθετικός, αφού τp(a)=apτp,\tau_p(a)=a^p \tau_p, για a∈k.a\in k.

Αν το kk είναι ένα σώμα με άπειρο πλήθος στοιχεία, τότε το πολυώνυμο P(x)∈k[x]P(x)\in k[x] είναι προσθετικό αν και μόνο αν P(x)∈k{τp}.P(x) \in k\{\tau_p\}. Ιδιαίτερα, το σύνολο των απολύτως προσθετικών πολυωνύμων είναι το σύνολο k{τp}.k\{\tau_p\}.

Απόδειξη: Είναι σαφές ότι όλα τα πολυώνυμα στο {τp}\{\tau_p\} είναι προσθετικά.

Αντιστρόφως, έστω ένα προσθετικό πολυώνυμο. Θεωρούμε την τυπική παράγωγό του P′(x).P'(x). Δηλαδή αν P(x)=∑ν=0naνxν,P(x)=\sum_{\nu=0}^n a_\nu x^\nu, τότε P′(x)=∑ν=1naννxν−1.P'(x)=\sum_{\nu=1}^n a_\nu \nu x^{\nu-1}. Παρατηρούμε ότι αν το PP είναι προσθετικό τότε για κάθε a∈ka\in k έχουμε P(x+a)−P(x)−P(a)P(x+a)-P(x)-P(a) είναι μηδέν για κάθε τιμή x∈kx\in k και αφού το kk είναι άπειρο αυτό σημαίνει ότι το P(x)P(x) θα πρέπει να είναι μηδενικό. Πράγματι, αν δεν ήταν θα είχε κάποιο πεπερασμένο βαθμό και συνεπώς θα είχε το πολύ τόσες ρίζες όσες ο βαθμός του.

Συνεπώς P′(a)=ddxP(x+a)|x=0=ddx(P(x)+P(a))|x=0=P′(0).P'(a)= \left.\frac{d}{dx}P(x+a)\right|_{x=0}= \left.\frac{d}{dx} (P(x)+P(a))\right|_{x=0}=P'(0). Άρα και πάλι επειδή το σώμα kk έχει άπειρα στοιχεία έχουμε ότι η παράγωγος είναι ένα σταθερό πολυώνυμο: P′(x)=P′(0)=c.P'(x)=P'(0)=c. Δηλαδή, P(x)=cx+∑j=2najxnj,P(x)=c x+ \sum_{j=2}^{n} a_j x^{n_j}, όπου όλοι οι εκθέτες njn_j είναι διαιρετοί με p.p. Θα απομονώσουμε τους εκθέτες που είναι διαιρετοί μόνο με pp και θα τους μαζέψουμε σε ένα πολυώνυμο P0(x)P_0(x) και θα μαζέψουμε τους εκθέτες που εκτός από pp είναι διαιρετοί και με άλλους πρώτους. Δηλαδή P(x)=P0(x)+P1(x).P(x)=P_0(x)+P_1(x). Θα δείξουμε ότι το P1(x)P_1(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Είναι σαφές ότι είναι και αυτό προσθετικό.

Στην αλγεβρική κλειστότητα k¯\overline{k} του σώματος kk η συνάρτηση x→xpx\rightarrow x^p είναι αυτομορφισμός. Για κάθε στοιχείο y∈k¯y\in \overline{k} υπάρχει μοναδικό xx ώστε xp=y.x^p=y. Παρατηρήστε ότι εν γένει σε σώματα χαρακτηριστικής 00 κάθε στοιχείο έχει nn το πλήθος nn-στές ρίζες, αρκεί να βρούμε μία και να την πολλαπλασιάσουμε με τις nn-στές ρίζες της μονάδας. Στη χαρακτηριστική pp όμως υπάρχει μόναδικη pp-ρίζα της μονάδας.

Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε τη συνάρτηση x↦x1/pe,x\mapsto x^{1/p^e}, η οποία είναι προσθετική αν και μη πολυωνυμική. Έστω pep^e η μεγαλύτερη δύναμη του pp η οποία διαιρεί όλους τους εκθέτες του P1(x).P_1(x). Θεωρούμε το πολυώνυμο: P2(x)=P1(x)1/pe∈k¯[x].P_2(x)=P_1(x)^{1/p^e} \in \overline{k}[x]. Το πολυώνυμο P2(x)P_2(x) είναι προσθετικό, και το προηγούμενο επιχείρημα δείχνει ότι θα πρέπει να είναι μηδενικό.

Θα λέμε ότι το προσθετικό πολυώνυμο P(x)∈k[x]P(x)\in k[x] είναι 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h}-γραμμικό αν και μόνο αν P(λx)=λP(x)P(\lambda x)=\lambda P(x) για κάθε λ∈𝔽ph.\lambda \in \mathbb{F}_{p^h}.

Παρατηρούμε ότι τα 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h}-γραμμικά πολυώνυμα είναι αυτά που είναι kk γραμμικοί συνδυασμοί των στοιχείων xph.x^{p^h}.

Θεωρούμε ένα διαχωρίσιμο πολυώνυμο P(x)∈k[x]P(x)\in k[x] και έστω S:={ρ1,…,ρm}S:=\{\rho_1,\ldots,\rho_m\} το σύνολο των ριζών του. Το πολυώνυμο P(x)P(x) είναι προσθετικό αν και μόνο αν το σύνολο SS είναι προσθετική ομάδα. Επιπλέον το P(x)P(x) είναι 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h}-γραμμικό αν και μόνο αν το σύνολο 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h}-διανυσματικός χώρος.

Απόδειξη: Θα πρέπει να δείξουμε ότι το πολυώνυμο P(x)=∏i=1m(x−ρi)P(x)=\prod_{i=1}^m (x-\rho_i) είναι προσθετικό. Παρατηρούμε ότι αν ρ∈S\rho\in S τότε P(x+ρ)=P(x),P(x+\rho)=P(x), διότι σε μία προσθετική ομάδα S,S, αν το ρi\rho_i διατρέχει το S,S, τότε και το ρ+ρi\rho+\rho_i επίσης διατρέχει το S.S. Στη συνέχεια θεωρούμε το πολυώνυμο G(x)=P(x+y)−P(x)−P(y)∈k[x],G(x)=P(x+y)-P(x)-P(y) \in k[x], για μια τιμή y∈k.y\in k. Αυτό είναι ένα πολυώνυμο βαθμού degG<degP\text{deg}G < \text{deg}P συνεπώς αν έχει degP\text{deg}P ρίζες είναι ταυτοτικά μηδενικό. Πράγματι παρατηρούμε ότι κάθε ρ∈S\rho\in S είναι ρίζα του πολυωνύμου G.G.

Για τη γραμμικότητα, υποθέτουμε ότι το SS είναι ένας 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h}-διανυσματικός χώρος. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι |S|=(phj|S|=(p^{hj} και ο βαθμός του PP είναι ο ίδιος. Θεωρούμε το πολυώνυμο, για λ∈𝔽ph\lambda \in \mathbb{F}_{p^h} G(x)=P(λx)−λP(x).G(x)=P(\lambda x)- \lambda P(x). Παρατηρούμε ότι degG<degP.\text{deg}G < \text{deg}P. Πράγματι, o μεγιστοβάθμιος όρος του G(x)G(x) είναι (λphj−λ)xphj,(\lambda^{p^{hj}}-\lambda)x^{p^{hj}}, και αφού λ∈𝔽ph\lambda\in \mathbb{F}_{p^h} ο όρος αυτός δεν εμφανίζεται.

Από την άλλη G(ρ)=0G(\rho)=0 για κάθε ρ∈W\rho\in W συνεπώς έχουμε περισσότερες ρίζες από τον βαθμό του πολυωνύμου, άρα το πολυώνυμο είναι ταυτοτικά ίσο με το μηδέν.

Η ορίζουσα Moore

Είναι γνωστό (ορίζουσα Vandermonde) ότι det(1…1x1…xn⋮⋮x1n−1…xnn−1)=∏i<j(xi−xj).\text{det}\begin{pmatrix} 1 & \ldots & 1 \\ x_1 & \ldots & x_n \\ \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & \ldots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}= \prod_{i<j} (x_i-x_j).

Εδώ θα δώσουμε μια διαφορετική qq-έκδοση του παραπάνω τύπου. Έχουμε ένα σώμα 𝔽q\mathbb{F}_q με q=phq=p^h το πλήθος στοιχεία, και έστω W⊂kW \subset k ένας 𝔽q\mathbb{F}_q-διανυσματικός χώρος.

Ορίζουμε την ορίζουσα Moore να είναι το παρακάτω: Δ(w1,…,wn)=det(w1…wnw1q…wnq⋮w1qn−1…wnqn−1).\Delta(w_1,\ldots,w_n)=\text{det} \begin{pmatrix} w_1 & \ldots & w_n \\ w_1^q & \ldots & w_n^q \\ & \vdots & \\ w_1^{q^{n-1}} & \ldots & w_n^{q^{n-1}}\end{pmatrix}.

Το σύνολο {w1,…,wn}\{w_1,\ldots,w_n\} είναι 𝔽q\mathbb{F}_q-γραμμικά ανεξάρτητο αν και μόνο αν Δ(w1,…,wn)≠0.\Delta(w_1,\ldots,w_n)\neq 0.

Απόδειξη Ας υποθέσουμε πρώτα ότι Δ(w1,…,wn)≠0.\Delta(w_1,\ldots,w_n)\neq 0. Θα δείξουμε ότι σε αυτή την περίπτωση τα {w1,…,wn}\{w_1,\ldots, w_n\} είναι 𝔽q\mathbb{F}_q γραμμικά ανεξάρτητα.

Πράγματι αν λi∈𝔽p\lambda_i\in \mathbb{F}_p συντελεστές ώστε ∑ν=1nλνwν=0,\sum_{\nu=1}^n \lambda_\nu w_\nu=0, τότε ∑ν=1nλνqiwνqi=∑μ=1nλνwνqi,\sum_{\nu=1}^n \lambda_\nu^{q^i} w_\nu^{q^i}=\sum_{\mu=1}^n \lambda_\nu w_\nu^{q^i}, για κάθε i=0,…,n−1,i=0,\ldots,n-1, αφού λi∈𝔽p\lambda_i\in \mathbb{F}_p και συνεπώς λiq=λi.\lambda_i^q=\lambda_i.

Συνεπώς καταλήγουμε σε μία σχέση της μορφής ∑ν=1nλν(wνwνq⋮wνqn−1)=(00⋮0).\sum_{\nu=1}^n \lambda_\nu \begin{pmatrix} w_\nu \\ w_\nu^q \\ \vdots \\ w_\nu^{q^{n-1}} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}. Αφού δε Δ(w1,…,wn)≠0\Delta(w_1,\ldots,w_n)\neq 0 η παραπάνω εξίσωση έχει ως λύση μόνο την (λ1,…,λn)=0.(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)=0.

Αντιστρόφως ας υποθέσουμε ότι το σύνολο {w1,…,wn}\{w_1,\ldots,w_n\} είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Θα δείξουμε ότι Δ(w1,…,wn)≠0.\Delta(w_1,\ldots,w_n)\neq 0. Θα δουλέψουμε επαγωγικά. Η περίπτωση n=1n=1 είναι προφανής. Ας υποθέσουμε ότι για n−1n-1 οποιαδήποτε γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία {w1,…,wn−1}\{w_1,\ldots,w_{n-1} \} η ορίζουσα Δ(w1,…,wn−1)≠0.\Delta(w_1,\ldots,w_{n-1})\neq 0. Ας υποθέσουμε ότι Δ(w1,…,wn−1)=0\Delta(w_1,\ldots,w_{n-1})=0 και {w1,…,wn}\{w_1,\ldots,w_n\} γραμμικά ανεξάρτητα, συνεπώς υπάρχουν στοιχεία λ1,…,λn∈k\lambda_1,\ldots, \lambda_{n} \in k για τα οποία να ισχύει: λ1w1+⋯+λnwn=0\lambda_1 w_1+ \cdots +\lambda_n w_n=0 λ1w1q+⋯+λnwnq=0\lambda_1 w_1^q+ \cdots + \lambda_n w_n^q=0 ⋯\cdots λ1w1qn−1+⋯+λnwnqn−1=0\lambda_1 w_1^{q^{n-1}}+ \cdots + \lambda_n w_n^{q^{n-1}}=0 Μπορούμε χωρίς περιορισμό της γενικότητας να υποθέσουμε ότι το λ1=1\lambda_1=1 (πράγματι κάποιος συντελεστής και υποθέτουμε ο πρώτος είναι μη μηδενικός, στη συνέχεια διαιρούμε όλες τις εξισώσεις με αυτόν για να υποθέσουμε ότι είναι ίσος με ένα).

Στη συνέχεια υψώνουμε την ii-στή εξίσωση στην qq-δύναμη και την αφαιρούμε από την i+1i+1-στη για όλες τις εξισώσεις για να καταλήξουμε στο σύστημα: (λ2−λ2q)w2q+⋯+(λn−λnq)wnq=0(\lambda_2 -\lambda_2^q)w_2^q+ \cdots +(\lambda_n-\lambda_n^q) w_n^q=0 ⋯\cdots (λ2−λ2q)w2qn−1+⋯+(λn−λnq)wnqn−1=0(\lambda_2 -\lambda_2^q)w_2^{q^{n-1}}+ \cdots + (\lambda_n-\lambda_n^q)w_n^{q^{n-1}}=0 Παρατηρούμε ότι το σύνολο {w2q,…,wnq}\{w_2^q,\ldots,w_n^{q}\} είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο υπέρ του 𝔽q\mathbb{F}_q συνεπώς Δ(w2q,…,wnq)≠0.\Delta(w_2^q,\ldots,w_n^q) \neq 0. Συνεπώς η αρχική εξίσωση έχει συντελεστές στο 𝔽q\mathbb{F}_q και το σύνολο {w1,…,wn}\{w_1,\ldots,w_n\} είναι 𝔽q\mathbb{F}_q-γραμμικά εξαρτημένο, άτοπο.

Στη συνέχεια θα δώσουμε έναν κλειστό τύπο προκειμένου να εκφράσουμε το προσθετικό πολυώνυμο που αντιστοιχεί σε έναν 𝔽q\mathbb{F}_q-διανυσματικό χώρο W.W. Ας θεωρήσουμε {w1,…,wn}\{w_1,\ldots,w_n\} μια βάση του WW και ας είναι Wi=⟨w1,…,wi⟩.W_i=\langle w_1,\ldots,w_i \rangle. Θεωρούμε τα πολυώνυμα PW:=∏a∈W(x−a).P_{W}:=\prod_{a\in W} (x-a).

Το πολυώνυμo PWP_W υπολογίζεται ως PW(x)=Δ(w1,…,wn,x)Δ(w1,…,wn).P_W(x)=\frac{\Delta(w_1,\ldots,w_n,x)}{\Delta(w_1,\ldots,w_n)}.

Απόδειξη Παρατηρούμε ότι ένα στοιχείο xx είναι ρίζα του πολυωνύμου Δ(w1,…,wn,x)\Delta(w_1,\ldots,w_n,x) αν και μόνο αν x∈⟨w1,…,wn⟩.x \in \langle w_1,\ldots,w_n \rangle. Με άλλα λόγια το πολυώνυμο Δ(w1,…,wn,x)\Delta(w_1,\ldots,w_n,x) έχει ακριβώς ως ρίζες τα στοιχεία του διανυσματικού χώρου W.W.

Επίσης αν αναπτύξουμε την ορίζουσα Δ(w1,…,wn,x)\Delta(w_1,\ldots,w_n,x) ως προς την τελευταία γραμμή βλέπουμε ότι ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είναι η ορίζουσα Δ(w1,…,wn)\Delta(w_1,\ldots,w_n) και για να καταλήξουμε στο μονικό πολυώνυμο PW,P_W, θα πρέπει να διαιρέσουμε με αυτόν.

Το σώμα με ένα στοιχείο

Ας ξεκαθαρίσουμε ότι όλα τα σώματα είναι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι με μονάδα και συνεπώς περιέχουν δύο τουλάχιστον στοιχεία το 00 και το 1.1. Θα θέλαμε παρόλα αυτά να έχουμε έναν γενικευμένο ορισμό που θα επιτρέψει να δώσουμε κάποιο νόημα στην οριακή κατάσταση limq→1𝔽q=𝔽1.\lim_{q\rightarrow 1} \mathbb{F}_q=\mathbb{F}_1.

To σώμα αυτό το οραματίστηκε πρώτος το 1956 ο Jacques Tits, στη μελέτη του σχετικά με τα buildings. Όπως θα δούμε στο κεφάλαιο των ελλειπτικών καμπυλών ο τελεστής του Frobenious παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στη μέτρηση των σημείων μιας αλγεβρικής καμπύλης ή πολλάπλότητας στον πύργο σωμάτων 𝔽pℓ.\mathbb{F}_{p^\ell}. Στην πραγματικότητα αυτό ήταν το βασικό εργαλείο στο να αποδείξει κανείς την εικασία του Riemann για ζήτα συναρτήσεις ορισμένες σε σώματα συναρτήσεων.

Στην πραγματικότητα πολλοί μαθηματικοί έχουν προτείνει το πώς η απόδειξη για σώματα συναρτήσεων θα μπορούσε να μεταφερθεί στη μελέτη της κλασικής εικασίας του Riemann μέσω ενός κατάλληλα ορισμένου σώματος με ένα στοιχείο.

Τα παραπάνω είναι δύσκολα να τα αναπτύξουμε στα πλαίσια ενός προπτυχιακού βιβλίου. Μπορούμε όμως μεταφράζοντας τον Α. Connes να κάνουμε πλάκα με το FunF_{un} ακολουθώντας τις ιδέες των Kapranov-Smirnov σχετικά με το 𝔽1\mathbb{F}_1 και τις επεκτάσεις του 𝔽1n.\mathbb{F}_{1^n}.

Δεν μπορούμε να πούμε τι είναι το 𝔽1.\mathbb{F}_1. Παρόλα αυτά μπορούμε να επιχειρηματολογήσουμε ότι ένας διανυσματικός VV χώρος πάνω από το 𝔽1\mathbb{F}_1 είναι απλά ένα σύνολο. Η διάσταση του VV ως διανυσματικού χώρου πάνω από το 𝔽1\mathbb{F}_1 είναι απλά ο πληθικός αριθμός του V.V.

Προχωρώντας την ιδέα αυτή η GLn(𝔽1)=Sn.\text{GL}_n(\mathbb{F}_1)=S_n. Η συνάρτηση ορίζουσας είναι απλά η συνάρτηση προσήμου sgn:Sn→{±1},\text{sgn}: S_n \rightarrow \{\pm 1\}, δηλαδή limq→1GLn(𝔽q)=Sn.\lim_{q\rightarrow 1} \text{GL}_n(\mathbb{F}_q)=S_n. Έτσι η SLn(𝔽1)\text{SL}_n(\mathbb{F}_1) δεν είναι άλλη από την An.A_n. Δηλαδή, η γραμμική άλγεβρα υπέρ του 𝔽1\mathbb{F}_1 είναι η συνδυαστική θεωρία των πεπερασμένων συνόλων.

Για να το κάνουμε περισσότερο ενδιαφέρον ας αναφέρουμε ότι το σύνολο των διανυσματικών υποχώρων διάστασης kk μέσα σε έναν διανυσματικό χώρο διάστασης nn είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο γνωστό ως η πολλαπλότητα Grassmann. Μπορούμε να μετρήσουμε ακριβώς το πλήθος των σημείων μιας τέτοιας πολλαπλότητας πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα και να δούμε ότι limq→1#G(n,r)(𝔽q)=(nr),\lim_{q\rightarrow 1} \#G(n,r)(\mathbb{F}_q)=\binom{n}{r}, το οποίο είναι συμβατό με την παραπάνω θεώρηση.

Δεν γνωρίζουμε τι είναι το 𝔽1[t].\mathbb{F}_1[t]. Παρόλα αυτά μπορούμε να επιχειρηματολογήσουμε ότι GLd(𝔽1[t])\text{GL}_d(\mathbb{F}_1[t]) θα πρέπει να είναι η πλήρης ομάδα κοτσίδων σε dd-κλωστές.

Θα τελειώσουμε αυτή την αναλογία αναφέροντας ότι η επέκταση 𝔽1n\mathbb{F}_{1^n} του 𝔽1\mathbb{F}_1 δεν είναι τίποτε άλλο από το {0}∪μn,\{0\} \cup \mu_n, όπου μn\mu_n είναι το σύνολο των nn-στών ριζών της μονάδας.

Ελπίζουμε ότι όλα τα παραπάνω θα οδηγήσουν τον αναγνώστη να ανατρέξει για περισσότερες πληροφορίες στη βιβλιογραφία.

Βιβλιογραφία

Fraleigh, J.B. 2011. Εισαγωγή Στην Άλγεβρα. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

Goss, D. 1997. Basic Structures of Function Field Arithmetic. Ergebnisse Der Mathematik Und Ihrer Grenzgebiete ; 3. Folge, Bd. 35. Springer Berlin Heidelberg. https://books.google.gr/books?id=cIV3AaOcPDcC.

Lidl, R., and H. Niederreiter. 1997. Finite Fields. EBL-Schweitzer, τ. 20,μ. 1. Cambridge University Press. https://books.google.gr/books?id=xqMqxQTFUkMC.

Mullen, G.L., and D. Panario. 2013. Handbook of Finite Fields. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. https://books.google.gr/books?id=YADSBQAAQBAJ.

Stewart, I. 2003. Galois Theory, Third Edition. Chapman Hall/CRC Mathematics Series. Taylor & Francis. https://books.google.gr/books?id=C9_Vivwgf5cC.

Βάρσος, Δ., Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας, και Ο. Ταλέλλη. 2012. Μια Εισαγωγή Στην Άλγεβρα. Σοφία Α. Ε.

Απλα Κρυπτοσυστήματα

Κρυπτολογία-Κρυπτογραφία

Κρυπτολογία-Κρυπτογραφία είναι η επιστήμη που μελετάει τις μεθόδους με τις οποίες η επικοινωνία ανθρώπων να είναι μυστική ώστε κάποιος ανεπιθύμητος να μην μπορεί να αντιληφθεί το περιεχόμενο της επικοινωνίας.

Η κρυπτογραφία δεν πρέπει να συγχέεται με την κωδικοποίηση που ασχολείται με το πώς μπορούν να γίνουν αντιληπτά και να διορθωθούν λάθη μετάδοσης.

Η Κρυπτοανάλυση είναι η αντίστροφη προσπάθεια που ασχολείται με το πώς ο ενδιάμεσος μπορεί να υποκλέψει το περιεχόμενο του μηνύματος.

Οι εφαρμογές είναι πολλές:

Ηλεκτρονική επικοινωνία-e-mail,

Μεταφορά χρημάτων-e-banking,

Βιομηχανική - Στρατιωτική - Διπλωματική ασφάλεια.

Ένα κρυπτοσύστημα είναι μια διατεταγμένη πεντάδα (P,C,K,E,D),(P,C,K,E,D), όπου

PP είναι πεπερασμένο σύνολο των μηνυμάτων που θέλουμε να στείλουμε,

CC είναι πεπερασμένο σύνολο των κρυπτογραφημένων μηνυμάτων (cipher text),

KK είναι πεπερασμένο σύνολο των κλειδιών κωδικοποίησης (Keyspace),

Για κάθε k∈Kk \in K υπάρχει κανόνας κρυπτογράφησης ek∈Ee_k \in E και ένας κανόνας αποκρυπτογράφησης dk∈Dd_k \in D ώστε dk(ek)=x.d_k(e_k)=x.

Το κρυπτοσύστημα της μεταφοράς.

Τα γράμματα μπορούν να μετατραπούν σε αριθμούς:

Πίνακας αντιστοιχίας γραμμάτων

A | B | C | D | E | F | G
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

H | I | J | K | L | M | N
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14

O | P | Q | R | S | T | U
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21

V | W | X | Y | Z
22 | 23 | 24 | 25 | 26

Έχουμε τα σύνολα

P=ℤ/26P=\mathbb{Z}/26 (ακέραιοι modulo 26)

C=ℤ/26C=\mathbb{Z}/26

K=ℤ/26K=\mathbb{Z}/26

Το μήνυμα NUMBER THEORY μεταφράζεται ως

Μετάφραση μηνύματος

Ν | U | M | B | E | R | T | H | E | O | R | Y
14 | 21 | 13 | 2 | 5 | 18 | 20 | 8 | 5 | 15 | 18 | 25

Το κρυπτοσύστημα της αντικατάστασης

Στο σύστημα αυτό P=ℤ/26,P=\mathbb{Z}/26, K=S26,K=S_{26}, το σύνολο των μεταθέσεων σε 26 γράμματα.

Η συνάρτηση κρυπτογράφησης είναι μια μετάθεση:

Πίνακας Συνάρτησης κρυπτογράφησης

Α | Β | C | D | E | F | G
d | e | r | y | v | o | h

H | I | J | K | L | M | N
e | z | x | w | p | t | b

O | P | Q | R | S | T | U
g | f | j | q | n | m | u

V | W | X | Y | Z
s | k | a | c | i

Το μήνυμα NUMBER THEORY μεταφράζεται ως

Μετάφραση μηνύματος

Ν | U | M | B | E | R | T | H | E | O | R | Y
b | u | t | e | v | q | m | e | v | g | q | c

Παρατήρηση Ο αριθμός κλειδιών είναι μεγάλος 26!,26!, παρόλα αυτά το σύστημα μπορεί να αποκρυπτογραφηθεί εύκολα με βάση τη στατιστική εμφάνιση των γραμμάτων της αλφαβήτου.

Το αφινικό Κρυπτοσύστημα

P=C=ℤ/26P= C =\mathbb{Z}/26 K={(a,b)∈(ℤ/26×ℤ/26)}.K = \{(a,b) ∈ (\mathbb{Z}/26 ×\mathbb{Z}/26) \}. Για ένα σταθερό (a,b)(a,b) έχουμε ek(x)=ax+be_k (x) = ax+b

Έστω ax+b=ymod26⇒ax=y−bmod26ax+b = y \text{mod} 26 \Rightarrow ax=y-b \text{mod} 26 Την παραπάνω εξίσωση θα πρέπει να έχει μοναδική λύση ως προς x.x. Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν ΜΚΔ (a,26) =1. Αν θεωρήσουμε την ισοδυναμία a⋅x=1mod26a \cdot x=1 \text{mod} 26 και συμβολίσουμε τη λύση της με x=a−1,x=a^{-1}, τότε dk(y)=a−1(y−b)mod26.d_k(y) = a^{-1} (y-b) \text{mod} 26.

Παράδειγμα Έστω το κλειδί Κ=(7,3)Κ=(7,3) και ο (7,26)=1(7,26)=1 ισχύει ek(x)=7x+3mod26.e_k (x) = 7x+3 \text{mod} 26. Για τη συνάρτηση αποκωδικοποίησης πρέπει 7−1=157^{-1} =15 αφού 7x=1mod26.7 x = 1 \text{mod} 26. Επομένως dk(y)=15(y−3)=15y−19mod26d_k(y) = 15(y-3) =15 y -19 \text{mod} 26

Έστω ότι θέλουμε να στείλουμε το μήνυμα “hot”

Κωδικοποίηση

h→8ek(7)=7⋅8+3=59≡7mod26o→15ek(14)=7⋅15+3=108≡4mod26t→20ek(19)=7⋅20+3=143≡13mod26\begin{array}{lcr} h \rightarrow 8 & e_k (7) = 7\cdot 8 +3 = 59 \equiv 7 & \text{mod} 26 \\ o \rightarrow 15 & e_k (14) = 7\cdot 15+3 =108 \equiv 4 & \text{mod} 26 \\ t \rightarrow 20 & e_k (19) = 7\cdot 20+3 =143 \equiv 13 & \text{mod} 26 \end{array}

Άρα Cipher Text = GDM

Αποκωδικοποίηση

dk(7)=15⋅7−19=86=8mod268→hdk(4)=15⋅4−19=41≡15mod2615→odk(19)=7⋅13−19≡20mod2620→t\begin{array}{lr} d_k (7) = 15\cdot 7 -19 = 86 = 8 \text{mod} 26 & 8 \rightarrow h \\ d_k (4) = 15\cdot 4 -19 =41 \equiv 15 \text{mod} 26 & 15 \rightarrow o \\ d_k(19) = 7\cdot 13-19 \equiv 20 \text{mod} 26 & 20 \rightarrow t \end{array}

Σημείωση: Για να λύσουμε την 7x=1mod267x =1 \text{mod} 26: Γνωρίζουμε ότι αν (a,b)=d,(a,b) = d, τότε υπάρχουν x0,y0∈ℤx_0, y_0 \in \mathbb{Z} ώστε d=ax0+y0d= a x_0+y_0 και πρέπει να βρούμε τα x0,y0,d.x_0 , y_0, d. Για παράδειγμα 26=7⋅3+526 =7\cdot 3+5 και 7=5⋅1+27=5\cdot 1+2 και 5=2⋅2+1.5=2\cdot 2+1. Προχωράμε αντίστροφα: 1=5−2⋅2=5−2(7−5)=−2⋅7+3⋅5=1=5-2\cdot 2 =5-2 (7-5)= -2\cdot 7 +3\cdot 5 = −2⋅7+3(26−3⋅7)=3⋅26−11⋅7 -2 \cdot 7+3 (26-3\cdot 7) =3\cdot 26-11 \cdot 7 Άρα 26⋅3+7(−11)26 \cdot 3+7(-11) όπου x0=3x_0 =3 και y0=7.y_0 =7. Είναι 7(−11)≡1mod267(-11) \equiv 1 \text{mod} 26 και −11=15-11=15 στο ℤ26\mathbb{Z}_{26} Δηλαδή a−1=15.a^{-1}=15.

To Κρυπτοσύστημα Vigenere

P=C=(ℤ26)m=KP= C =( \mathbb{Z}_{26})^m = K όπου m∈ℕm \in \mathbb{N} με m≠0.m\neq 0. Έστω k∈Kk \in K δηλαδή k=(k1,k2,…,km)k=(k_1,k_2,\ldots,k_m) με ki∈ℤ26.k_i \in \mathbb{Z}_{26}. Θεωρούμε τις συναρτήσεις ek(x1,x2,…,xm)=(x1+k1,x2+k2,…,xm+km)e_k(x_1,x_2,\ldots,x_m) =( x_1+k_1, x_2+k_2,\ldots, x_m +k_m) και dk(y1,y2,…,ym)=(y1−k1,y2−k2,…,ym−km)d_k (y_1,y_2,\ldots,y_m) =( y_1-k_1, y_2-k_2,\ldots, y_m -k_m )

Παρατηρήσεις

Το σύστημα είναι πολυαλφαβητικό, άρα η κρυπτοανάλυση είναι πιο δύσκολη από ότι στα προηγούμενα μονοαλφαβητικά συστήματα.

Το πλήθος των κλειδιών είναι 26m.26^m. Επειδή το mm είναι αυθαίρετο μπορούμε να φτιάξουμε κρυπτοσύστημα με όσο αριθμό κλειδιών επιθυμούμε.

Δεν χρειάζεται το κείμενο να έχει πλήθος γραμμάτων πολλαπλάσιο του m,m, αν κατά την ομαδοποίηση προκύψει ομάδα με μικρότερο πλήθος γραμμάτων - έστω υ<m\upsilon< m από αυτή του κλειδιού κρατάμε το κομμάτι του κλειδιού που χρειαζόμαστε δηλαδή τα πρώτα υ\upsilon γράμματα.

Έστω m=6m=6 και κλειδί η λέξη CIPHER , δηλαδή k=(2,8,15,7,4,17).k=(2,8,15,7,4,17).

Παράδειγμα Κωδικοποίησης

Έστω ότι θέλουμε να στείλουμε το μήνυμα “Number Theory”. Μετατρέπουμε το μήνυμα σε αριθμούς, ομαδοποιούμε ανά 66 και προσθέτουμε το κλειδί στο ℤ26.\mathbb{Z}_{26}.

Μήνυμα 14,21,13,2,5,18,20,8,5,15,18,25.14,21,13,2,5,18,20,8,5,15,18,25.

Ομαδοποίηση (14,21,13,2,5,18),(20,8,5,15,18,25)(14,21,13,2,5,18),(20,8,5,15,18,25)

Προσθέτουμε το κλειδί (14,21,13,2,5,18)+(2,8,15,7,4,17)=(16,3,2,9,9,9),(14,21,13,2,5,18)+(2,8,15,7,4,17)=(16,3,2,9,9,9), (20,8,5,15,18,25)+(2,8,15,7,4,17)=(22,16,20,22,16)(20,8,5,15,18,25)+(2,8,15,7,4,17)=(22,16,20,22,16) Το μήνυμα γίνεται λοιπόν: PCBIIIVPTVP

To Κρυπτοσύστημα του Hill

P=C=(ℤ26)m,P= C =( \mathbb{Z}_{26} )^m, με m∈ℕ,m≠0.m \in \mathbb{N}, m\neq 0. Το σύνολο KK αποτελείται από τους m×mm\times m πίνακες με στοιχεία από το ℤ26.\mathbb{Z}_{26}. Αν x=(x1,x2,…,xm)∈Px= (x_1,x_2,\ldots,x_m) \in P και k=(ki,j),k=(k_{i,j}), 1≤i,j≤m1\leq i,j \leq m τότε y=(y1,y2,…,ym)=ek(x)=k⋅x.y= (y_1,y_2,\ldots,y_m) =e_k(x)= k \cdot x. Για να ορίζεται η αντίστροφη συνάρηση θα πρέπει να υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας k−1k^{-1} και αυτό γίνεται αν και μόνο αν η ορίζουσα det(k)\det(k) είναι αντιστρέψιμο στοιχείο στο ℤ26\mathbb{Z}_{26} ισοδύναμα αν και μόνο αν (det(k),26)=1.(\det(k) ,26) =1. Η συνάρτηση αποκωδικοποίησης είναι η dk(y)=k−1⋅y.d_k(y)=k^{-1}\cdot y.

Παράδειγμα Κλειδί k=(11837)k=\begin{pmatrix} 11 & 8 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} και det(k)=53≡1mod26\det(k) =53 \equiv 1 \text{mod} 26

Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να στείλουμε την λέξη MATH →(13,1,20,8).\rightarrow (13,1,20,8).

Για την κωδικοποίηση έχουμε: (11837)(131)=(2120),(11837)(208)=(2412). \begin{pmatrix} 11 & 8 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 21 \\ 20\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 11 & 8 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20 \\ 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 24 \\ 12\end{pmatrix}. Δηλαδή το κρυπτογραφημένο μήνυμα είναι UTXL.

Η αποκρυπτογράφηση γίνεται με πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο πίνακα k−1=(7−8−311)k^{-1}=\begin{pmatrix} 7 & -8 \\ -3 & 11 \end{pmatrix} Έτσι (7−8−311)⋅(2120)=(131),(7−8−311)⋅(2412)=(208)\begin{pmatrix}7 & -8 \\ -3 & 11\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 21 \\ 20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}7 & -8 \\ -3 & 11\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 24 \\ 12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 8 \end{pmatrix}

Παρατηρήσεις Αν detk≠1\det k \neq 1 τότε det(k)−1\det(k)^{-1} συμβολίζει τον αντίστροφο της det(k)\det(k) στον δακτύλιο ℤ26\mathbb{Z}_{26} Δηλαδή θα πρέπει να λύσουμε την ισοδυναμία det(k)⋅x≡1mod26).\det(k)\cdot x \equiv 1 \text{mod} 26).

Το κρυπτοσύστημα μεταθέσεων

Το κρυπτοσύστημα αυτό αποτελεί ειδική περίπτωση του κρυπτοσυστήματος του Hill. Θεωρούμε μια μετάθεση σ∈Sm\sigma \in S_m δηλαδή μια μετάθεση του συνόλου {1,2,…,m}.\{1,2,\ldots,m\}. Στη μετάθεση αυτή αντιστοιχεί ένας πίνακας μεταθέσεων kσk_\sigma ο οποίος ορίζεται ως kij={1 αν j=σ(i)0 διαφορετικάk_{ij}=\begin{cases} 1 & \text{ αν } j=\sigma(i) \\ 0 & \text{ διαφορετικά} \end{cases} O πίνακας αυτός έχει την ιδιότητα να μεταθέτει τα στοιχεία των στηλών που πολλαπλασιάζονται με αυτόν, και κάνει αναγραμματισμούς.

Έχουμε P=C=ℤ26m,P=C=\mathbb{Z}_{26}^m, eσ(x1,x2,…,xn)=(xσ(1),xσ(2),…,xσ(m))e_\sigma(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots,x_{\sigma(m)}) και dσ(x1,x2,…,xn)=eσ−1(x1,x2,…,xn).d_\sigma(x_1,x_2,\ldots, x_n)=e_{\sigma^{-1}}(x_1,x_2,\ldots, x_n). Έτσι αν το κλειδί είναι η μετάθεση (m=6)(m=6)

Πίνακες μετάθεσης

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
3 | 5 | 1 | 6 | 4 | 2

το μήνυμα Nice party in Sparti γράφεται

N | i | c | e | p | a
c | a | n | p | i | e

r | t | y | i | n | S
y | s | r | n | t | i

p | a | r | t | i | q
r | q | p | i | a | t

Το μήνυμά μας έγινε: canpieysrntirqpiat.

Κρυπτοσυστήματα Ροής

Ιδέα: Χρησιμοποιούμε κλειδί ροής z=z1,z2,…z=z_1,z_2,\ldots και κρυπτογραφούμε το μήνυμα x=x1,x2,…x=x_1,x2,\ldots y=y1,y2,…=ez1(x1),ez2(x2),…,y=y_1,y_2,\ldots = e_{z_1}(x1),e_{z_2}(x_2),\ldots, H συνάρτηση fif_i (εξαρτάται από το κλειδί kk και από τους i−1i-1 χαρακτήρες του μηνύματος) χρησιμοποιείται για να μας δώσει το ziz_i (ii- οστό στοιχείο του κλειδιού ροής ). Δηλαδή: zi=fi(k,x1,x2,…,xi−1).z_i =f_i (k, x_1, x_2,\ldots,x_{i-1} ). To ziz_i χρησιμοποιείται και δίνει το yi=ezi(xi).y_i=e_{z_i}(x_i). Επομένως κρυπτογραφούμε το μήνυμα x1,x2,…,xi−1x_1,x_2,\ldots,x_{i-1} υπολογίζοντας διαδοχικά τα z1,y1,z2,y2,…z_1,y_1,z_2,y_2,\ldots

Ορισμός: Διατεταγμένη 7-αδα (P,C,K,L,F,E,D)(P, C, K, L, F, E, D) όπου

PP: πεπερασμένο σύνολο όλων των δυνατών plaintext CC: πεπερασμένο σύνολο όλων των δυνατών cipher text KK: πεπερασμένο σύνολο όλων των δυνατών κλειδιών LL: πεπερασμένο σύνολο που λέγεται αλφάβητο κλειδιών ροής F=(f1,f2,…)F = (f_1, f_2 ,\ldots) σύνολο-γεννήτορας κλειδιών ροής. Για κάθε i≥1i\geq 1 είναι fi:K×Pi−1→L.f_i : K × P^{i-1} \rightarrow L.

Για κάθε z∈Lz \in L υπάρχει ez∈Ee_z\in E και dz(ez(x))=x,∀x∈P.d_z( e_z(x))=x, ∀x\in P. Δηλαδή ez:P→C και dz:C→P.e_z : P\rightarrow C \text{ και } d_z : C\rightarrow P.

Το κρυπτοσύστημα ροής θα λέγεται συγχρονισμένο όταν το κλειδί ροής εξαρτάται μόνο από το κλειδί k.k. Θα λέγεται περιοδικό με περίοδο d,d,όταν zi+d=ziz_{i+d} =z_i για κάθε i≥1.i\geq 1.

Παρατήρησεις: 1. Όλα τα προηγούμενα κρυπτοσυστήματα μπορούν να θεωρηθούν ως ειδική περίπτωση του κρυπτοσυστήματος ροής όταν zi=k,z_i=k, για κάθε k≥1.k\geq 1.

Το Vigenere με κλειδί μήκους mm μπορεί να θεωρηθεί περιοδικό κρυπτοσύστημα ροής, με περίοδο m.m. To Vigenere μοιάζει με το μεταφοράς ez(x)=x+ze_z(x)=x+z και dz(y)=y−z.d_z(y)=y-z. Συνήθως P=C=L=ℤ2P=C=L=\mathbb{Z}_2 και ez(x)=x+zmod2e_z(x)=x+z \text{mod} 2 και dz(y)=y−zmod2d_z(y)=y-z \text{mod} 2

Άλλη μέθοδος (συγχρονισμένου) κλειδιού ροής:

Αν ξεκινήσουμε από (k1,k2,…,km)(k_1,k_2,\ldots,k_m) και ας θέσουμε zi=kIz_i = k_I για 1≤i≤m.1 \leq i \leq m. Συνεχίζουμε να παράγουμε το κλειδί ροής χρησιμοποιώντας την αναδρομική σχέση βαθμού mm zi+m=∑j=0m−1cjzi+jmod2,z_{i+m}=\sum_{j=0}^{m-1} c_j z_{i+j} \text{mod} 2, όπου ci∈ℤ2c_i \in \mathbb{Z}_2 δοσμένα και c0=1.c_0=1. Εδώ το kk αποτελείται από 2m2^m τιμές τις k1,…,kmk_1,\ldots,k_m και c0,c1,…,cm−1.c_0,c_1,\ldots,c_{m-1}.

Κρυπτοανάλυση

Υποθέτοντας ότι το σύστημα επικοινωνίας είναι γνωστό θα δούμε πώς με τη βοήθεια της στατιστικής ανάλυσης εμφάνισης γραμμάτων μπορούμε να υποκλέψουμε το μήνυμα.

Συχνότητα εμφανίσης γραμμάτων:

Συχνότητες εμφάνισης γραμμάτων

Γράμμα | Συχνότητα
Ε | 0,120
Τ,A,O,I,N,S,H,R | 0,06 έως 0.09 (σε φθίνουσα σειρά)
D,L | 0,04
C,U,M,W,F,G,Y,P,B | 0,015 έως 0,028
V,K, J, X,Q, Z | <0,01

Συχνότητα εμφανίσεως διγραμμάτων, σε φθίνουσα σειρά της συχνότητας εμφανίσεως:

ΤΗ, ΗΕ, ΙΝ, ΕR, AN, RE, ED, ON, ES, ST, EN, AT, TO, NT, HA, ND, OU, EA, NG, AS, OR, TI, IS, ET, IT, AR, TE, SE, HI, OE

Συχνότητα εμφανίσεως τριγραμμάτων,σε φθίνουσα σειρά της συχνότητας εμφανίσης: THE, ING, AND, HER, ERG, ENT, THA, NTH, WAS, ETH, FOR, DTH

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ότι το παρακάτω μήνυμα
FMXVEDKAPHFERBNDKRXRSREFMORUDSDKDVSHVUFEDKAPRKDLYEVLR HHRH έχει κρυπτογραφηθεί με το αφινικό σύστημα:

Στο παραπάνω ciphertext μελετούμε τη συχνότητα εμφάνισης γραμμάτων και φτιάχνουμε τον πίνακα:

Συχνότητες εμφάνισης γραμμάτων στο ciphertext

Γράμμα | Συχνότητα | Γράμμα | Συχνότητα | Γράμμα | Συχνότητα
A | 2 | J | 0 | S | 3
B | 1 | K | 5 | T | 0
C | 0 | L | 2 | U | 2
D | 7 | M | 2 | V | 4
E | 5 | N | 1 | W | 0
F | 4 | O | 1 | X | 2
G | 0 | P | 2 | Y | 1
H | 5 | Q | 0 | Z | 0
I | 0 | R | 8

Τα γράμματα με τη μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης στο κρυπτομήνυμα είναι:

Γράμματα με τη μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης στο ciphertext

Γράμμα | Συχνότητα
R | 8
D | 7
E, H, K | 5
F, S,V | 4

Βάσει των συχνοτήτων εμφάνισης κάνουμε τις εξής αντιστοιχίσεις:

R→E,ek(5)=18 άρα 5a+b≡18mod26R \rightarrow E, e_k(5)=18 \text{ άρα } 5a+b\equiv 18 \text{mod} 26

D→T,ek(20)=4 άρα20a+b≡4mod26D \rightarrow T, e_k(20)=4 \text{ άρα} 20a+b \equiv 4 \text{mod} 26

Λύνουμε το παραπάνω σύστημα οπότε πιθανές λύσεις είναι: a=6a=6 και b=14.b=14. Επειδή όμως (6,26)=2≠1(6 ,26) =2 \neq 1 υπάρχει λάθος στην αρχική αντιστοίχιση.

Δοκιμάζουμε εκ νέου

R→E,ek(5)=18 άρα 5a+b≡18mod26R\rightarrow E, e_k(5)=18 \text{ άρα } 5a+b\equiv 18 \text{mod} 26

E→T,ek(20)=5 άρα 20a+b≡20mod26E\rightarrow T, e_k(20)=5 \text{ άρα } 20a+b\equiv 20 \text{mod} 26

το οποίο δίνει a=14a=14 και πάλι άτοπο.

Δοκιμάζουμε εκ νέου

R→E,ek(5)=18 άρα 5a+b≡18mod26R\rightarrow E, e_k(5)=18 \text{ άρα } 5a+b\equiv 18 \text{mod} 26

Η→T,ek(20)=8 άρα 20a+b≡8mod26Η \rightarrow T, e_k(20)=8 \text{ άρα } 20a+b\equiv 8 \text{mod} 26

η οποία δίνει λύση a=22a=22 και πάλι άτοπο.

Δοκιμάζουμε εκ νέου

R→E,ek(5)=18 άρα 5a+b≡18mod26R\rightarrow E, e_k(5)=18 \text{ άρα } 5a+b\equiv 18 \text{mod} 26

Κ→T,ek(20)=11 άρα 20a+b≡11mod26Κ \rightarrow T, e_k(20)=11 \text{ άρα } 20a+b\equiv 11 \text{mod} 26

η οποία έχει ως λύση a=3a=3 και b=3,b=3, δηλαδή πιθανό κλειδί είναι το a=3,a=3, b=3.b=3. Υπολογίζουμε ότι a−1≡9mod26a^{-1}\equiv 9 \text{mod} 26 και dk(y)=9(y−3)=9y−3,d_k(y)=9(y-3)=9y-3, και παρατηρούμε ότι πράγματι η συνάρτηση αυτή αποκρυπτογραφεί το ζητούμενο μήνυμα, αφού η αποκρυπτογράφηση δίνει:

algorithms are quite general definitions of arithmetic processes

που αποτελεί το μήνυμα (plaintext)

Κρυπτανάλυση συστήματος αντικατάστασης

Στα παρακάτω ακολουθούμε το παράδειγμα του βιβλίου του D. R. Stinson Cryptography: Theory and Practice (Stinson 2005).

Επιθυμούμε να αποκρυπτογραφήσουμε το κρυπτογραφημένο μήνυμα:

YIFQFMZRWQFYVECFMDZPCVMRZWNMDZVEJBTXCDDUMJ
NDIFEFMDZCDMQZKCEYFCJMYRNCWJCSZREXCHZUNMXZ
NZUCDRJXYYSMRTMEYIFZWDYVZVYFZUMRZCRWNZDZJJ
XZWGCHSMRNMDHNCMFQCHZJMXJZWIEJYUCFWDJNZDIR

Υπολογίζουμε τον πίνακα συχνοτήτων εμφάνισης των γραμμάτων:

Συχνότητες εμφάνισης γραμμάτων στο μήνυμα

Γρ. | Συχ. | Γρ. | Συχ. | Γρ. | Συχ. | Γρ. | Συχ.
A | 0 | H | 4 | O | 0 | V | 5
B | 1 | I | 5 | P | 1 | X | 8
C | 15 | J | 11 | Q | 4 | Y | 10
D | 13 | K | 1 | R | 10 | Z | 20
E | 7 | L | 0 | S | 3 | F | 11
M | 16 | T | 2 | G | 1 | N | 9
U | 5

Επειδή το Z έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης λογικό είναι να υποθέσουμε ότι Ζ→eΖ \rightarrow e δηλαδή ότι dk(Z)=ed_k (Z)= e

Τα C,D,F,J,M,R,Y έχουν τουλάχιστον 10 εμφανίσεις. Λογικό είναι να υποθέσουμε ότι ανήκουν στο σύνολο {t,a,o,i,n,s,h,r}. Επειδή οι συχνότητες αυτές διαφέρουν πολύ λίγο τίθεται η εξής ερώτηση: Πού αντιστοιχεί το καθένα;

Καταρχήν κοιτάζουμε τα διγράμματα: Ζ και Ζ αφού γνωρίζουμε ότι Ζ→e.Ζ\rightarrow e. Υπολογίζουμε τον παρακάτω πίνακα εμφάνισης διγραμμάτων:

Συχνότητες εμφάνισης διγραμμάτων

Δίγραμμα | Εμφανίσεις | Δίγραμμα | Εμφανίσεις
DZ | 4 | FZ | 2
ZW | 4 | ZR | 2
NZ | 3 | ZV | 2
ZU | 3 | ZC | 2
RZ | 2 | ZD | 2
HZ | 2 | ZJ | 2
XZ | 2

Επειδή το ZW εμφανίζεται 4 φορές και το WZ δεν εμφανίζεται καθόλου, ενώ το W εμφανίζεται λίγες φορές (8 φορές) είναι λογικό να υποθέσουμε ότι dk(W)=d.d_k(W)= d.

Επειδή το DZ εμφανίζεται 4 φορές και το ZD εμφανίζεται 2 φορές είναι λογικό να υποθέσουμε ότι dk(D)∈{r,s,t}.d_k (D) \in \{r,s,t\}. Tίθεται ξανά ερώτηση: Πού αντιστοιχεί το καθένα;

Με την υπόθεση dk(Z)=ed_k(Z)=e και dk(W)=dd_k(W)=d επιστρέφουμε ξανά στο κρυπτογράφημα και παρατηρούμε:

Τα τριγράμματα ZRW και RZW εμφανίζονται στην αρχή, ενώ το RW πολύ αργότερα. Επίσης το R εμφανίζεται συχνά στο κείμενο (10 φορές) και το nd είναι ένα συχνά εμφανιζόμενο δίγραμμα. Έτσι μπορούμε να υποθέσουμε ότι dk(R)=nd_k(R)=n Μέχρι τώρα η αποκρυπτογράφηση δίνει:

_ _ _ _ _ _ end _ _ _ _ _ _ _ _ _ e _ _ _ _ ned _ _ _ e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ e _ _ _ _ e _ _ _ _ _ _ _ _ _ n _ _ d _ _ _ en _ _ _ _ e _ _ _ _ e _ e _ _ _ n _ _ _ _ n _ _ _ _ _ _ ed _ _ _ e _ _ _ e _ _ ne _ nd _ e_ e _ _ _ ed _ _ _ _ _ n _ _ _ _ _ _ _ _ _ e _ _ _ _ ed _ _ _ _ _ _ _ d _ _ _ e _ _ n

Υποθέτουμε ότι dk(N)=h,d_k(N) = h, διότι το NZ (he) είναι κοινό δίγραμμα (εμφανίζεται 3 φορές), ενώ το ZN (eh) όχι. Αν αυτό είναι σωστό, τότε μέσα στο κείμενο έχει σχηματιστεί: ne_ndhe. To μόνο συχνά επαναλαμβανόμενο τρίγραμμα που τελειώνει σε nd είναι το and.

Λογικό λοιπόν είναι να υποθέσουμε ότι dk(C)=a.d_k(C)=a.

Στη συνέχεια θεωρούμε το δεύτερο πιο συχνά εμφανιζόμενο γράμμα, που είναι το Μ (16 φορές). Πιστεύουμε ότι αποτελεί κρυπτογράφημα του nh _ Δεν υπάρχει τρίγραμμα συχνά εμφανιζόμενο με nh, άρα το h_ πιθανά θα αποτελεί αρχή κάποιας λέξης. Τα διγράμματα όμως με h _ είναι τα he, ha, hi. Επειδή στα a, e έχουμε αντιστοιχίσει ήδη άλλα γράμματα τώρα αναμένουμε ότι dk(M)=id_k(M)=i ή dk(M)=od_k(M)=o

Επειδή το ai είναι πολύ πιο συχνό από το ao το δίγραμμα CM του κρυπτογραφήματος μας υποβάλλει την ιδέα να δοκιμάσουμε πρώτα το dk(M)=id_k(M)=i

Σ’ αυτό το στάδιο το κείμενο γίνεται :

_ _ _ _ _ iend _ _ _ _ _ a _ i _ _ e _ a _ inedhi _ e _ _ _ _ _ _ a _ _ _ i _ h _ _ _ _ _ i ea i _ e _ a _ _ _ a _ i _ nhad _ a _ en _ _ a _ e _ hi _ ehe _ a _ n _ _ _ _ _ in _ i _ _ ed _ _ _ e _ _ _ e _ ineandhe _ e_ _ _ ed _ a _ _ inhi _ _ hai _ _ a _ e _ i _ ed _ _ _ a d __ he _ _n

Επόμενο βήμα: Ποιο γράμμα αποτελεί κρυπτογράφηση του o; Επειδή το o έχει μεγάλη πιθανότητα συχνότητας εμφάνισης ψάχνουμε γράμματα που εμφανίζονται συχνά στο κείμενο. Υποψήφια γράμματα είναι τα : D, F ,J ,Y Πιο πιθανό από αυτά είναι το Y. Αν π.χ. παίρναμε το F θα είχαμε τριάδα φωνηέντων aoi για το CFM ή για το CJM κάτι το οποίο είναι μη αποδεκτό. Υποθέτουμε λοιπόν ότι dk(Y)=o.d_k(Y)=o.

Μετά το Ζ και το Μ τα τρία πιο συχνά εμφανιζόμενα γράμματα είναι τα D,F,J με 13, 11, 11 φορές εμφάνισης αντίστοιχα. Εικάζουμε λοιπόν ότι {D,F,J }= {r,s,t} Δύο εμφανίσεις του τριγράμματος NMD μας υποβάλλουν την ιδέα να υποθέσουμε ότι dk(D)=sd_k(D)=s κάτι που μας δίνει τη λέξη his. (Αυτό είναι συμβιβαστό με την προηγούμενη υπόθεση ότι dk(D)∈{r,s,t}d_k(D) \in \{r,s,t\})

Το τμήμα HNCMF θα μπορούσε να είναι κρυπτογράφημα της λέξης chair. Αυτό σημαίνει ότι dk(F)=r,d_k(F)=r, dk(H)=ed_k(H)=e και dk(J)=t.d_k(J)=t. Συνεπώς dk(R)=nd_k (R) = n dk(C)=ad_k (C) = a dk(M)=id_k (M) = i ή dk(M)=od_k (M) = o dk(Μ)=id_k (Μ) = i dk(Υ)=οd_k (Υ) = ο dk(D)=sd_k (D) = s dk(F)=rd_k (F) = r dk(H)=cd_k (H) = c dk(J)=td_k (J) = t

To κείμενο γίνεται

o_r _ riend _ ro _ _ arise _ a_ inedhise _ _ t _ _ _ ass _ ithis r riseasi _ e _ a orationhadta en _ _ ace _ hi _ ehe asnt oo _ in _ i _ o _ redso _ e _ ore ineandhesett ed _ ack _ inhischair _ aceti _ ted _ _ to ardsthes n

Τώρα είναι πολύ εύκολη η αποκρυπτογράφηση:

our friend from paris examined his empty glass with surprise as if evaporation had taken place while he wasn’t looking. I poured some more wine and he settled back in his chair face tilted up towards the sun.

Βιβλιογραφία

Stinson, D. R. 2005. Cryptography: Theory and Practice, Third Edition. Discrete Mathematics and Its Applications. Taylor & Francis. https://books.google.gr/books?id=FAPLBQAAQBAJ.

Κρυπτοσυστήματα Ανοιχτού Κλειδιού

Συστήματα βασισμένα στη Θεωρία Αριθμών

RSA

Το σύστημα αυτό βασίζεται στην ιδέα ότι ενώ ο πολλαπλασιασμός ακέραιων είναι μια διαδικασία που γίνεται εύκολα και γρήγορα δεν ισχύει το ίδιο για την αντίστροφη διαδικασία -την παραγοντοποίηση-. Έτσι, ένας πρώτος αριθμός με μεγάλο αριθμό διαιρετών, προσεχτικά διαλεγμένος είναι πολύ δύσκολο και χρονοβόρο να παραγοντοποιήθει. Περισσότερες πληροφορίες στο (Menezes, Oorschot, and Vanstone 1996) και στο (Αντωνιάδης και Κοντογεώργης 2015).

Η ιδέα του συστήματος RSA ανήκει στους R. Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman ενώ η ονομασία του προκύπτει από τα αρχικά των ονομάτων τους.

Ron Rivest, Adi Shamir και Leonard Adleman. Τα παρόντα έργα αποτελούν κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons 2 3

Για την κατασκευή του συστήματος ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Επιλέγουμε δύο μεγάλους πρώτους p,qp,q και υπολογίζουμε το γινόμενό τους n=p⋅q.n=p\cdot q.

Υπολογίζουμε το ϕ(n)=(p−1)(q−1).\phi(n)=(p-1)(q-1).

Επιλέγουμε ένα στοιχείο aa πρώτο προς το ϕ(n)\phi(n) και επιπλέον υπολογίζουμε και τον αντίστροφό του bb ώστε ab≡1modϕ(n).ab\equiv 1 \text{mod} \phi(n).

Δημοσιοποιούμε τα n,b,n,b, ενώ τα a,p,qa,p,q τα κρατάμε μυστικά.

Η συνάρτηση κρυπτογράφησης για κάποιον που θέλει να μας στείλει κάποιο μήνυμα είναι η ek(x)≡xbmodn.e_k(x) \equiv x^b \text{mod} n.

Για να αποκρυπτογραφήσουμε το μήνυμα που μας έστειλαν χρησιμοποιούμε την συνάρτηση dk(y)≡yamodn.d_k(y) \equiv y^a \text{mod} n.

Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι dk(ek(x))=x για κάθε x∈ℤn.d_k (e_k(x))=x \qquad \text{ για κάθε } x \in \mathbb{Z}_n. Πράγματι, αν (x,n)=1,(x,n)=1, τότε το Θεώρημα του Euler δίνει xϕ(n)≡1modn.x^{\phi(n)} \equiv 1\text{mod} n. Επομένως dk(ek(x))≡dk(xb)=xabmodn.d_k(e_k(x)) \equiv d_k(x^b)=x^{ab} \text{mod} n. Γράφουμε ab=1+ϕ(n)tab=1+ \phi(n)t με t∈ℤ,t\in \mathbb{Z}, οπότε dk(ek(x))≡x1+ϕ(n)t≡x(xϕ(n))t≡xmodn.d_k (e_k(x)) \equiv x^{1+ \phi(n) t} \equiv x (x^{\phi(n)})^t \equiv x \text{mod} n. Ακόμα και όταν (x,n)>1(x,n)>1 ισχύει το ίδιο. Επειδή n=pqn=pq αν (x,n)>1,(x,n)>1, τότε x=px=p ή x=qx=q (x<pq=nx<pq=n). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι x=p.x=p. Θα αποδείξουμε
pab=pmodpq.p^{ab}=p \text{mod} pq. Η τελευταία ισοδυναμία ισχύει ακριβώς τότε όταν pab−1≡1modq,p^{ab-1} \equiv 1 \text{mod} q, δηλαδή ακριβώς τότε όταν pϕ(n)t≡1modq.p^{\phi(n)t } \equiv 1 \text{mod} q. Η τελευταία όμως ισχύει, διότι pq−1≡1modq,p^{q-1} \equiv 1 \text{mod} q, οπότε και (pq−1)(p−1)t≡1modq.\left( p^{q-1} \right)^{(p-1)t} \equiv 1 \text{mod} q.

Παρατήρηση Αν ο nn δεν είναι γινόμενο δύο διαφορετικών μεταξύ τους πρώτων αριθμών, δεν ισχύει η παραπάνω σχέση.

Παρατήρηση Το κείμενο θα πρέπει να κωδικοποιηθεί και να σταλεί ως ένας αριθμός. Αν υλοποιήσουμε τον αλγόριθμο με τέτοιο τρόπο ώστε να στέλνουμε έναν-έναν χαρακτήρα, τότε το μήνυμα μπορεί να αποκρυπτογραφηθεί με μεθόδους στατιστικής ανάλυσης.

Παράδειγμα Ας πάρουμε p=47p=47 και q=59.q=59. n=p⋅q=47⋅59=2773,ϕ(n)=2668.n=p \cdot q = 47 \cdot 59=2773, \;\; \phi(n)=2668. Επιλέγουμε b=17,b=17, (17,2668)=1.(17,2668)=1. Λύνουμε την ισοδυναμία 17x≡1mod266817 x \equiv 1 \text{mod} 2668 και βρίσκουμε a=157.a=157. Υποθέτουμε ότι θέλουμε να κρυπτογραφήσουμε το μήνυμα ``Its all go’’. Το χωρίζουμε σε ζευγάρια.

Παράδειγμα RSA

IT | S | AL | L | GO
0920 | 1900 | 0112 | 1200 | 0715

Κωδικοποίηση
092017≡0948mod27130920^{17}\equiv 0948 \text{mod} 2713 Αποκρυπτογράφηση 948157≡920mod2273948^{157} \equiv 920 \text{mod} 2273 και το 920 αντιστοιχεί στο ``IT’’. Ομοίως και τα υπόλοιπα.

Παράδειγμα Ο παρακάτω κώδικας στο Sage δημιουργεί ένα κλειδί με b το πλήθος bits.

Κατασκευάζουμε το κλειδί με την παρακάτω συνάρτηση που έχει ως όρισμα τον αριθμό των bits και σαν έξοδο δίνει τα a,b,n.a,b,n.

def rsa(bits):
    proof = (bits <= 1024)
    p = next_prime(ZZ.random_element(2**(bits//2+1)),
            proof=proof)
    q = next_prime(ZZ.random_element(2**(bits//2+1)),
            proof=proof)
    n = p*q
    phi_n = (p-1)*(q-1)
    while True:
        a = ZZ.random_element(1,phi_n)
        if gcd(a,phi_n) == 1: break
    b = lift(Mod(a,phi_n)^(-1))
    return a, b, n

Οπότε δίνοντας την εντολή

a,b,n=rsa(1024)
a,b,n
(8508006992606062278435437373009107932868120046557782\
66620945061143418357189761746374383027141494401153547\
71707119818871961676361921141125848637779271707365625\
41516445244745857814041373143365409110733175384122655\
61279658309714827862817842675942297017473231503268201\
00194070484035232543701672141967929765405,
66274295106522162854465765226322467498274068013549441\
83083635526839270591300102600518557148952951421598258\
24695709738628196319671983795539922234171427066736639\
35760717015520521858449047426885004737495102562904136\
05878142088987583928265422643505871073018023798304019\
2287757263207926566791112430349135818933,
16090904236283276325788931385132017717279036218068723\
56837335604765092297734634459923781787861224441917789\
46836481097301814660228615375058025168325775802299127\
66009589135816327213222650111207418811069182080905145\
36729543955969533450149354091600265131814719264551934\
39841252336042454655532491134327889092299)

Καταλήγουμε στα επιθυμητά a,b,n.a,b,n. To κλειδί που σχηματίστηκε παραπάνω δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί (σε εύλογο χρονικό διάστημα), με την εντολή

factor(n)

Παραθέτουμε τις επόμενες δύο συναρτήσεις οι οποίες μετατρέπουν ακολουθίες γραμματοσυμβόλων σε ASCII σε κρυπτογραφημένο μήνυμα. Τα σύμβολα ASCΙΙ χρειάζονται 256 ψηφία, οπότε στην πραγματικότητα δουλεύουμε σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 256.

def encode(s):
    s = str(s)
    return sum(ord(s[i])*256^i for i in range(len(s)))

def decode(n):
    n = Integer(n)
    v = []
    while n != 0:
        v.append(chr(n % 256))
        n //= 256     ##this replaces n by floor(n/256)
    return ''.join(v)

Έτσι για να στείλουμε το μήνυμα “How from here morning morning?” δίνουμε

m=encode('How from here morning morning?'); m
4375985220785817121100889477344194414119534666110312\
30743291695793139528

Ενώ η αποκρυπτογράφηση γίνεται:

decode(43759852207858171211008894773441944141195346661\
1031230743291695793139528)
'How from here morning morning?'

foo Interactive

Ψηφιακή υπογραφή με χρήση RSA

Αν θέλουμε να υπογράψουμε ένα μήνυμα, ώστε ο παραλήπτης να μπορεί να επιβεβαιώσει ότι είμαστε πράγματι εμείς και όχι κάποιος κακόβουλος ενδιάμεσος ο οποίος παρουσιάζεται σαν να είμαστε εμείς, μπορούμε να το κάνουμε με τον εξής τρόπο, χρησιμοποιώντας το ιδιωτικό μας κλειδί (n,a)(n,a) αποστέλοντας το s=mamodns= m^a \text{mod} n Ο παραλήπτης του μηνύματος και της υπογραφής μας υπολογίζει την τιμή sbs^b χρησιμοποιώντας το δημόσιο κλειδί και το συγκρίνει με το m.m. Αυτή η μέθοδος υπογραφής έχει μια παγίδα όπως θα δούμε στη συνέχεια.

Ασφάλεια

Ο αλγόριθμος θεωρείται από τους πλέον ασφαλείς. Κανείς δεν ξέρει αν υπάρχει αλγόριθμος (μη δημοσιευμένος) που να παραγοντοποιεί σε πολυωνυμικό χρόνο μεγάλους αριθμούς. Το μεγαλύτερο πρόβλημα είναι η κακή χρήση του αλγορίθμου.

Ας υποθέσουμε ότι υποκλέπτουμε το κρυπτογραφημένο μήνυμα mbm^b και προφανώς γνωρίζουμε και το δημόσιο κλειδί (n,b)(n,b) με το οποίο κρυπτογραφήθηκε, αλλά όχι το κρυπτογραφημένο μήνυμα. Κρυπτογραφούμε το κρυπτογραφημένο μήνυμα ξανά με το δημόσιο κλειδί. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία κρυπτογράφησης πολλές φορές, δηλαδή υπολογίζουμε το mbjmodnm^{b^j} \text{mod} n Κάποια στιγμή (όταν bj+1≡1modϕ(n)b^{j+1} \equiv 1 \text{mod} \phi(n)) θα πάρουμε το mb,m^b, οπότε το μήνυμα θα είναι το bj−1.b^{j-1}.

Ας χρησιμοποιήσουμε την εντολή rsa που ορίσαμε παραπάνω για να φτιάξουμε ένα μικρό κλειδί.

a,b,n =rsa(10); a,b,n
(2947, 1123, 3599)

Ας υποθέσουμε ότι το μήνημά μας είναι ο αριθμός 1234. Το κρυπτογραφούμε

m=1234
Mod(m^b,n)
746

Και τώρα επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία της κρυπτογράφησης, γνωρίζουμε το ``κρυπτογραφημένο μήνυμα’’ 746 και το δημόσιο κλειδί (n,b)=(3559,1123).(n,b)=(3559,1123).

m1=746
for i in range(28):
    m1=Mod(m1^b,n)
    i,m1

(1, 3491)
(2, 3064)
(3, 1112)
(4, 624)
(5, 2332)
(6, 136)
(7, 2698)
(8, 2515)
(9, 319)
(10, 868)
(11, 502)
(12, 2576)
(13, 2820)
(14, 14)
(15, 3369)
(16, 929)
(17, 1783)
(18, 2393)
(19, 807)
(20, 2088)
(21, 1722)
(22, 3430)
(23, 563)
(24, 1173)
(25, 3247)
(26, 1295)
(27, 1234)
(28, 746)

Στην 28η επανάληψη εμφανίστηκε το αρχικό κρυπτογραφημένο μήνυμα, άρα το ακρυπτογράφητο είναι το προηγούμενο -το 1234! Φυσικά η μέθοδος αυτή χρειάζεται αρκετό χρόνο αν το bb έχει μεγάλη τάξη mod ϕ(n),\phi(n), κάτι που πρέπει να πάρουμε υπόψιν σε έναν καλό σχεδιασμό του RSA.

Κακή Χρήση

Έχουμε στην κατοχή μας δυο κλειδιά της μορφής (n,b1),(n,b_1), (n,b2)(n,b_2) και δύο κρυπτογραφήσεις του ίδιου μηνύματος mm με τα κλειδιά αυτά, δηλαδή γνωρίζουμε (κρυφακούγοντας σε ένα δίκτυο) m1=mb1modnm_1=m^{b_1} \text{mod} n και m2=mb2modnm_2=m^{b_2} \text{mod} n Αν επιπλέον (b1,b2)=1(b_1,b_2)=1 τότε υπολογίζουμε x,y∈ℤx,y \in \mathbb{Z} ώστε xb1+yb2=1xb_1+yb_2=1 και συνεπώς μπορούμε υπολογίζοντας το m1x⋅m2y=mb1x+b2y=mmodnm_1^x \cdot m_2^y=m^{b_1 x+ b_2 y}=m \text{mod} n
να υπολογίσουμε το mm χωρίς να παραγονοποιήσουμε το n.n.

Μικρό bb

Αν το bb είναι σχετικά μικρό (έστω b=3b=3), τότε για μικρές τιμές του mm (αρκεί m<n1/bm< n^{1/b}), τότε το c=mb<n,c=m^b< n, δηλαδή είναι σαν να έχουμε κάνει πράξεις στους ακέραιους. Συνεπώς μπορούμε να υπολογίσουμε την bb-ρίζα του cc και να υπολογίσουμε το m.m.

Ένας τρόπος να οδηγηθούμε στην κατάσταση αυτή είναι να έχουμε το ίδιο μήνυμα κρυπτογραφημένο και σταλμένο σε πολλούς (έστω rr το πλήθος τους) παραλλήπτες οι οποίοι έχουν τον ίδιο εκθέτη bb αλλά διαφορετικά n1,…,nr.n_1,\ldots,n_r. Τότε με τη βοήθεια του Θεωρήματος του Κινέζου μπορούμε να υπολογίσουμε το mbmod[n1,…,nr]m^b \text{mod} [n_1,\ldots,n_r] και τώρα έχουμε σημαντικές ελπίδες το c=mb<[n1,…nr]c=m^b< [n_1,\ldots n_r] ώστε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της bb-ρίζας.

Ίδιο κλειδί για υπογραφή

Ας υποθέσουμε ότι ο Παναγιώτης o οποίος έχει ιδιωτικό κλειδί (n,a)(n,a) και δημόσιο κλειδί (n,b)(n,b) βάζει εύκολα την υπογραφή του σε ό,τι μήνυμα του δώσουμε. Αν κρυφακούσουμε ένα κρυπτογραφημένο μήνυμα xx με παραλήπτη τον Παναγιώτη, τότε μπορούμε να ζητήσουμε από τον Παναγιώτη να μας υπογράψει το rb⋅c,r^b\cdot c, όπου (r,n)=1.(r,n)=1. Τότε ο Παναγιώτης μας επιστρέφει το (rb⋅c)a=r⋅mmodn(r^b \cdot c)^a=r \cdot m \text{mod} n όπου mm είναι το αρχικό μήνυμα (άγνωστο σε εμάς) ώστε mb=c.m^b=c. Πολλαπλασιάσαμε με τον rr αντί να στείλουμε το cc σκέτο στον Παναγιώτη για υπογραφή, γιατί το μήνυμα r⋅mr\cdot m δεν είναι άμεσα κατανοητό ώστε να καταλάβει ο Παναγιώτης ότι τον εξαπατούμε για να μας αποκρυπτογραφήσει ο ίδιος το μήνυμα που προορίζεται για αυτόν!

Προφανώς αφού το rr είναι αντιστρέψιμο μπορούμε εύκολα να βρούμε το m.m.

Με λίγα λόγια δεν πρέπει να χρησιμοποιούμε το ίδιο κλειδί για υπογραφή και αποκρυπτογράφηση και γενικότερα να προσέχουμε πού βάζουμε την υπογραφή μας!

Ύψωση σε δύναμη

Η κρυπτογράφηση RSA απαιτεί τον υπολογισμό της ύψωσης σε δύναμη modulo n.n. Στην περίπτωση που γνωρίζουμε την παραγοντοποίηση του n,n, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τεχνικές όπως το θεώρημα του Euler xϕ(n)≡1modnx^{\phi(n)} \equiv 1 \text{mod} n προκειμένου να απλοποιήσουμε τις πράξεις μας. Η παραγοντοποίηση του nn και συνεπώς και η τιμή του ϕ(n)\phi(n) δεν είναι γνωστή στον αποστολέα.

Σε κάθε περίπτωση ένας τρόπος για να περιορίσουμε δραστικά το πλήθος των πράξεων που απαιτούνται όπως και τη μνήμη είναι να γράψουμε τον εκθέτη σε δυαδική μορφή: e=∑i=0r−1ai2ie = \sum_{i=0}^{r-1} a_i 2^i και στη συνέχεια να υπολογίζουμε το be≡b(∑i=0r−1ai2i)=∏i=0r−1(b2i)aib^e \equiv b^{\left( \sum_{i=0}^{r-1} a_i 2^i \right)} = \prod_{i=0}^{r-1} \left( b^{2^i} \right) ^ {a_i} Για παράδειγμα ας υπολογίσουμε το 7345678912mod181651517^{345678912} \text{mod} 18165151 Ο υπολογισμός της δυαδικής μορφής γίνεται ως εξής: Αν ee περιττός a0=1,a_0=1, αλλιώς a0=0.a_0=0. Αντικαθιστούμε το ee με το [e2]\left[ \frac{e}{2} \right] και συνεχίζουμε όμοια μέχρι να φτάσουμε στο 0.0. Στο παράδειγμά μας, 541043=(11001110100000100001)2.541043=(11001110100000100001)_2. Στη συνέχεια υψώνουμε διαδοχικά στο τετράγωνο 7=7mod1816515172=49mod18165151723=2401mod18165151724=5764801mod18165151725=4796913mod18165151726=14438188mod18165151727=16179105mod18165151728=15991127mod18165151729=7879037mod181651517210=2156379mod181651517211=543208mod181651517212=218420mod181651517213=5609874mod181651517214=16317151mod181651517215=1116547mod181651517216=2890079mod181651517217=2214629mod181651517218=9002792mod181651517219=12145310mod181651517220=8503586mod18165151\begin{array}{cccr} 7 & = & 7 &\text{mod} 18165151 \\ 7^2 & = & 49 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^3} & = &2401 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^4} & = &5764801 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^5} & = &4796913 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^6} & = &14438188 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^7} & = &16179105 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^8} & = &15991127 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^9} & = &7879037 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{10}} & = &2156379 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{11}} & = &543208 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{12}} & = &218420 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{13}} & = &5609874 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{14}} & = &16317151 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{15}} & = &1116547 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{16}} & = &2890079 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{17}} & = &2214629 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{18}} & = &9002792 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{19}} & = &12145310 &\text{mod} 18165151 \\ 7^{2^{20}} & = &8503586 &\text{mod} 18165151 \\ \end{array} Το ζητούμενο αποτέλεσμα προκύπτει αθροίζοντας τις δυνάμεις που εμφανίζονται με 11 στο δυαδικό ανάπτυγμα: 7+725+7211+7213+7214+7215+7218+7219=12180823.7+7^{2^5}+7^{2^{11}}+7^{2^{13}}+7^{2^{14}}+ 7^{2^{15}}+7^{2^{18}}+7^{2^{19}}=12180823.

El Gammal

Το σύστημα αυτό αναπύχθηκε από τον Τ. El Gamal (ElGamal 1984) Στη γενική περίπτωση του συστήματος έχουμε μια κυκλική ομάδα GG τάξης qq η οποία παράγεται από το στοιχείο g.g. Για την ασφάλεια του κρυπτοσυστήματος θα πρέπει να απαιτήσουμε η ομάδα να πληρεί μια σειρά από προϋποθέσεις ώστε το κρυπτοσύστημα να είναι ανθεκτικό στις γνωστές επιθέσεις. Περισσότερα θα πούμε στη συνέχεια.

Έχουμε δύο πρόσωπα λοιπόν -τον Παναγιώτη και τη Σουζάνα- που θέλουν να ανταλλάξουν ένα μήνυμα.

Η Σουζάνα διαλέγει ένα xx στο σύνολο {1,…,q−1}.\{1,\ldots,q-1\}.

Στην συνέχεια υπολογίζει το h=gx.h=g^x.

Δημοσιεύει ο hh μαζί με μία περιγραφή της ομάδας G,q,gG,q,g ως το δημόσιο κλειδί της. Το xx το κρατάει μυστικό και είναι το ιδιωτικό κλειδί της.

Αν ο Παναγιώτης θέλει να στείλει ένα μήνυμα m∈Gm\in G στην Σουζάνα τότε

διαλέγει ένα yy και υπολογίζει το c1=gy.c_1=g^y.

Υπολογίζει το s=hy.s=h^y.

Υπολογίζει το c2=m⋅s.c_2=m\cdot s.

Ο Παναγιώτης στέλνει το κρυπτογραφημένο κείμενο (c1,c2)=(gy,m⋅hy)=(gy,m⋅(gx)y(c_1,c_2)=(g^y,m\cdot h^y)=(g^y,m \cdot (g^x)^y στη Σουζάνα.

Αποκρυπτογράφηση

Η Σουζάνα υπολογίζει το s=c1xs=c_1^x

Στην συνέχεια υπολογίζει c2⋅s−1=m(gx)y((gy)x)−1=mc_2 \cdot s^{-1}= m (g^x)^y \left((g^y)^x \right)^{-1}=m το οποίο είναι το αρχικό μήνυμα.

T. El Gamal,Δημηουργός A. Klink, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Υλοποίηση Η ομάδα GG είναι συνήθως

η πολλαπλασιαστική ομάδα ενός σώματος G=𝔽pf*G=\mathbb{F}_{p^f}^* με απλούστερη δυνατή περίπτωση την f=1.f=1.

η ομάδα των σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης (τις ελλειπτικές καμπύλες θα τις ορίσουμε σε επόμενο κεφάλαιο)

Το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου

Για να ανακαλύψει κάποιος το ιδιωτικό κλείδι xx θα πρέπει από το gxg^x να μπορέσει να υπολογίσει το x.x. Θα πρέπει να επιλέξει την ομάδα GG με τέτοιο τρόπο ώστε το πρόβλημα αυτό να είναι δύσκολο να επιλυθεί.

Το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου σε μία κυκλική ομάδα GG με γεννήτορα gg είναι για δεδομένο x∈Gx\in G να υπολογιστεί ο εκθέτης k∈ℕ,k\in \mathbb{N}, ώστε gk=x.g^k=x.

Παρατήρηση: Για τον υπολογισμό του ``συνεχούς λογαρίθμου’’ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι η εκθετική συνάρτηση ex:ℝ→ℝ*e^x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^* είναι γνήσια αύξουσα, και να ακολουθήσουμε μια ακολουθία δοκιμών: Έστω ότι y∈ℝy\in \mathbb{R} και θέλουμε να υπολογίσουμε το x∈ℝx\in \mathbb{R} ώστε ex=y.e^x=y. Διαλέγουμε ένα πραγματικό x1∈ℝx_1 \in \mathbb{R} και υπολογίζουμε το ex1.e^{x_1}. Αν αυτό είναι μικρότερο του yy δοκιμάζουμε με x1<x2x_1<x_2 μέχρι να βρούμε y<x2y<x_2 (ανάλογη διαδικασία ακολουθούμε και στην περίπτωση που ex1>ye^{x_1}>y). Στη συνέχεια δοκιμάζουμε με το ενδιάμεσο σημείο x3=x2+x12x_3=\frac{x_2+x_1}{2} και αν ex3>ye^{x_3}>y θεωρούμε το x4=x1+x32,x_4={x_1+x_3}{2}, ενώ αν ex3<y>e^{x_3}< y> θεωρούμε το x4=x3+x42,x_4=\frac{x_3+x_4}{2}, και συνεχίζοντας με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζουμε μια ακολουθία ρητών που να συγκλίνει στο x.x.

Αυτή η διαδικασία δεν μπορεί να ακολουθηθεί, για παράδειγμα στην περίπτωση G=𝔽p,G=\mathbb{F}_p, αφού δεν υπάρχει κάποια ανισότητα να μας καθοδηγήσει.

Η πιο απλή μέθοδος θα ήταν (αφού έχουμε ένα πεπερασμένο πρόβλημα σε μία πεπερασμένη ομάδα) να αρχίσουμε να υπολογίζουμε δυνάμεις του γεννήτορα gg μέχρι να υπολογιστεί το gk=y.g^k=y.

Για παράδειγμα ας δουλέψουμε modulo 73 (που παρεμπιπτόντως είναι ο Τσακ Νόρις των πρώτων!).

Υπολογίζουμε πρώτα μια πρωταρχική ρίζα modulo 73 για παράδειγμα το 55

a=primitive_root(73);a
5

Στη συνέχεια δοκιμάζουμε να βρούμε k,k, ώστε 5k≡37mod73.5^k\equiv 37 \text{mod} 73.

for i in range(1,72):
    i,Mod(5^i,73)

(1, 5)
(2, 25)
(3, 52)
(4, 41)
(5, 59)
(6, 3)
(7, 15)
(8, 2)
(9, 10)
(10, 50)
(11, 31)
(12, 9)
(13, 45)
(14, 6)
(15, 30)
(16, 4)
(17, 20)
(18, 27)
(19, 62)
(20, 18)
(21, 17)
(22, 12)
(23, 60)
(24, 8)
(25, 40)
(26, 54)
(27, 51)
(28, 36)
(29, 34)
(30, 24)
(31, 47)
(32, 16)
(33, 7)
(34, 35)
(35, 29)
(36, 72)
(37, 68)
(38, 48)
(39, 21)
(40, 32)
(41, 14)
(42, 70)
(43, 58)
(44, 71)
(45, 63)
(46, 23)
(47, 42)
(48, 64)
(49, 28)
(50, 67)
(51, 43)
(52, 69)
(53, 53)
(54, 46)
(55, 11)
(56, 55)
(57, 56)
(58, 61)
(59, 13)
(60, 65)
(61, 33)
(62, 19)
(63, 22)
(64, 37)
(65, 39)
(66, 49)
(67, 26)
(68, 57)
(69, 66)
(70, 38)
(71, 44)

Η ζητούμενη τιμή εμφανίστηκε στο k=64,k=64, σχετικά προς το τέλος. Δεν υπάρχει κανένας έλεγχος που θα εμφανιστεί ο ζητούμενος αριθμός.

Baby step giant step

Η μέθοδος αυτή προτάθηκε από τον Daniel Shanks (Shanks and Daniel 1971) και αφορά την επίλυση του προβλήματος του διακριτού λογαρίθμου.

Daniel Shanks, Πηγή: Wikimedia Commons

Θεωρούμε μια κυκλική ομάδα GG η οποία έχει τάξη nn και γεννήτορα g.g. Για ένα τυχαίο στοιχείο h∈Gh\in G προσπαθούμε να βρούμε xx ώστε gx=h.g^x=h. Ο αλγόριθμος Baby step giant step βασίζεται στο να γράψουμε το xx ως x=im+jx=im+j με m=⌈n⌉m=\lceil \sqrt{n} \rceil και 0≤i<m0\leq i < m και 0≤j<m,0\leq j < m, οπότε η παραπάνω σχέση γράφεται στη μορφή: h(g−m)i=gj.h (g^{-m})^i=g^j. O αλγόριθμος υπολογίζει ένα κατάλογο των τιμών gjg^j για διάφορες τιμές του j.j. Στη συνέχεια σταθεροποιεί ένα mm και δοκιμάζει τιμές του ii στο αριστερό μέρος της τελευταίας εξίσωσης, κάνοντας χρήση των προϋπολογισμένων τιμών του gj.g^j.

Περισσότερο αναλυτικά τα βήματα του αλγορίθμου είναι:

Θέτουμε m=⌈n⌉m=\lceil n \rceil

Για όλα τα jj με 0≤j<m0\leq j < m υπολόγισε όλα τα ζευγάρια (j,gj)(j,g^j) και αποθήκευσέ τα σε έναν πίνακα.

Υπολόγισε το g−mg^{-m}

Θέτουμε c→h.c\rightarrow h.

Για i να τρέχει από 00 μέχρι m−1m-1

Έλεγχος αν το cc είναι η δεύτερη συντεταγμένη ενός ζευγαριού που ήδη υπολογίσαμε

Αν ναι επιστρέφουμε x=im+jx=im+j

Αν όχι θέτουμε c→cg−mc \rightarrow c g^{-m} και ξαναεκτελούμε από το βήμα 5.

Παράδειγμα Θέλουμε να λύσουμε με τη μέθοδο baby step giant step στην ομάδα ℤ/73ℤ\mathbb{Z}/73 \mathbb{Z} το πρόβλημα 5x=37mod73.5^x=37 mod 73.

Θέτουμε m=⌈73⌉=9.m=\lceil \sqrt{73} \rceil=9. Υπολογίζουμε όλες τις δυνάμεις 5j5^j για j=0,…,9j=0,\ldots,9

Πίνακας δυνάμεων του 55

jj | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
5j5^j | 1 | 5 | 25 | 52 | 41 | 59 | 3 | 15 | 2 | 10

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις τιμές 37(5−9i)37(5^{-9i}) για i=0,…,9i=0,\ldots,9

Πίνακας των τιμών 37(5−9i)37(5^{-9i}) για i=0,…,9i=0,\ldots,9

ii | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
37(5−9i)37(5^{-9i}) | 37 | 11 | 23 | 68 | 36 | 62 | 50 | 5 | 37 | 11

και παρατηρούμε ότι 5=51=37*(5−9*7)5=5^1= 37 * (5^{-9 *7}) συνεπώς x=im+j=7⋅9+1=64,x=im+j=7\cdot 9 + 1=64, όπως είχαμε υπολογίσει και με τη μέθοδο της “ωμής βίας”.

Προκειμένου να μπορέσουμε να μετρήσουμε τη βελτίωση του αλγορίθμου σε σχέση με αυτόν της “ωμής βίας” εισαγάγουμε τις δύο παρακάτω συναρτήσεις στο Sage:

def baby_giant(h,g,p):
    baby = [1]
    giant = [h]
    n = 1+ floor(sqrt(p -1))

    for i in range(1,n):
        baby.append(Mod(baby[i -1]*g,p))
    g = Mod(g, p)^-n
    for j in range(1,n):
    giant.append(Mod(giant[j-1]*g,p))

    for inters in set(baby).intersection(set(giant)):
        print  baby.index(inters)+n*giant.index(inters)

def br_fr (h,g,p):
    for x in range (p -1):
        if Mod (g , p )^ x == Mod (h , p ):
            print x
            break

Παρατηρήστε ότι η baby Giant είναι 161 φορές γρηγορότερη από τη μέθοδο της ωμής βίας.

time baby_giant (7 ,3 ,2^19 -1)
time br_fr (7,3,2^19-1)
243983
Time: CPU 0.01 s, Wall: 0.01 s
243983
Time: CPU 1.61 s, Wall: 1.61 s

foo Interactive

Βιβλιογραφία

ElGamal, Taher. 1984. “A Public Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms.” In Advances in Cryptology, 10–18. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/3-540-39568-7_2.

Menezes, A.J., P.C. van Oorschot, and S.A. Vanstone. 1996. Handbook of Applied Cryptography. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. https://books.google.gr/books?id=nSzoG72E93MC.

Shanks, Daniel, and Shanks Daniel. 1971. “Class Number, a Theory of Factorization, and Genera.” Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. doi:10.1090/pspum/020/0316385.

Αντωνιάδης, Ι., και A. Κοντογεώργης. 2015. Θεωρία Αριθμών Και Εφαρμογές. Εκδόσεις Κάλλιπος.

Ελλειπτικές Καμπύλες

Ιστορικά στοιχεία

Οι ελλειπτικές καμπύλες είναι καμπύλες οι οποίες οφείλουν το όνομά τους στο πρόβλημα της εύρεσης μήκους τόξου πάνω σε ελλείψεις. Το πρόβλημα αυτό ανάγεται σε υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής:

∫1x2+ax+bdx.\int \frac{1}{\sqrt{x^2 +ax+b} } dx.

Ο υπολογισμός των παραπάνω ολοκληρωμάτων ήταν ένα από τα κύρια προβλήματα της ανάλυσης τον προπερασμένο αιώνα και πρώτης τάξεως Μαθηματικοί όπως οι Euler, Weierstrass, Abel, Jacobi ασχολήθηκαν μαζί τους.

Στην πραγματικότητα το παραπάνω ολοκλήρωμα οδηγεί στη μελέτη δύο (μιγαδικών) συναρτήσεων x,yx,y οι οποίες ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής
y2=x3+ax+by^2 =x^3 +ax +b ή ισοδύναμα τη μελέτη των μιγαδικών αριθμών (x,y)∈ℂ2(x,y) \in \mathbb{C}^2 που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. Η σύγχρονη μελέτη του παραπάνω προβλήματος εντάσσεται στα πλαίσια των επιφανειών Riemann.

Οι τεχνικές που αναπτύχθηκαν στα πλαίσια του παραπάνω προβλήματος μπορεί να χρησιμοποιηθούν για κυβικές καμπύλες που ορίζονται πάνω από οποιοδήποτε σώμα και για Διοφαντικά προβλήματα. Σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να δώσουμε μια όσο το δυνατόν στοιχειώδη μελέτη ελλειπτικών καμπυλών πάνω από πεπερασμένα σώματα 𝔽q.\mathbb{F}_q. Ο αναγνώστης μπορεί να συμβουλευτεί για περισσότερες πληροφορίες τα βιβλία (Αντωνιάδης 1999), (Milne 2006), (Blake, Seroussi, and Smart 1999) και στο (Silverman and Tate 1992).

Ορισμοί

\;

Θεωρούμε ένα σώμα KK και στο σύνολο των διατεταγμένων τριάδων K3−(0,0,0)K^3-(0,0,0) ορίζουμε τη σχέση ισοδυναμίας (x1,y1,z1)∼(x2,y2,z3)(x_1,y_1,z_1) \sim (x_2,y_2,z_3) αν και μόνο αν υπάρχει λ∈K*\lambda \in K^* με (x1,y1,z1)=λ(x2,y2,z3).(x_1,y_1,z_1)=\lambda (x_2,y_2,z_3).

Το σύνολο πηλίκο θα το ονομάζουμε προβολικό επίπεδο και θα το συμβολίζουμε με ℙ2(K)=K3−(0,0,0)∼.\mathbb{P}^2(K)=\frac{K^3 -(0,0,0)}{\sim}.

Το προβολικό επίπεδο μπορούμε να το ταυτίσουμε με το σύνολο των μη-τετριμμένων ευθειών στον χώρο K3.K^3. Θα συμβολίζουμε την κλάση ισοδυναμίας του (x,y,z)≠(0,0,0)(x,y,z)\neq (0,0,0) με [x:y:z].[x:y:z]. Παρατηρούμε ότι τα σημεία [x,y,1][x,y,1] είναι σε ένα προς ένα αντιστοιχία με το επίπεδο K2,K^2, ενώ τα σημεία [x,y,0][x,y,0] αποτελούν μια ευθεία που την ονομάζουμε την ευθεία στο άπειρο.

Για κάθε πολυώνυμο f(x,y)∈K[x,y],f(x,y) \in K[x,y],

f=∑i,jaijxiyjf=\sum_{i,j} a_{ij} x^i y^j βαθμού nn θα συμβολίζουμε με FF το αντίστοιχο ομογενές πολυώνυμο

F=∑i,jaijxiyjzn−i−j.F=\sum_{i,j} a_{ij} x^i y^j z^{n-i-j}.

Τη διαδικασία αυτή θα την ονομάζουμε ομογενοποίηση. Γεωμετρικά όταν δουλεύουμε πάνω από το σώμα των πραγματικών αριθμών το ομογενοποιημένο σύνολο αντιστοιχεί στον κώνο που γράφουν οι ευθείες που περνούν από το σημείο (0,0,0)(0,0,0) και από ένα σημείο της καμπύλης f(x,y),z=1.f(x,y), z=1.

Στο παρακάτω σχήμα έχει σχεδιαστεί ο κώνος μιας προβολικής καμπύλης (πορτοκαλί χρώμα) μαζί με το επίπεδο z=1z=1 (μπλε χρώμα) αλλά και η επίπεδη καμπύλη στο επίπεδο z=1.z=1.

Σύγκριση προβολικής και επίπεδης απεικόνισης ελλειπτικής καμπύλης.

y2z=x(x−z)(x−2z)y^2 z=x(x-z)(x-2z)
y2=x(x−1)(x−2)y^2 =x(x-1)(x-2)

Άσκηση: Πυθαγόρειες Τριάδες. Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

x2+y2=z2.x^2+y^2 =z^2.

Λύση Παρατηρούμε ότι έχουμε ένα ομογενές πολυώνυμο βαθμού 2.2. Κάθε λύση (x,y,z)∈ℤ3(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 αντιστοιχεί σε μία λύση X=x/z,Y=y/z∈ℚ2.X=x/z, Y=y/z \in \mathbb{Q}^2. Οι ρητές λύσεις πάνω στον κύκλο μπορούν να υπολογιστούν ως εξής:

Θεωρούμε το σημείο (−1,0)(-1,0) το οποίο ικανοποιεί την εξίσωση του κύκλου X2+Y2=1.X^2+Y^2=1. Από το σημείο αυτό φέρνουμε την ευθεία Y=λ(X+1)Y=\lambda (X+1) η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο (−1,0)(-1,0) αλλά και σε ένα ακόμα σημείο το οποίο μπορούμε να το υπολογίσουμε αντικαθιστώντας την τιμή του YY στην εξίσωση του κύκλου:

λ2(X+1)2+X2=1⇒(X+1)(λ2(X+1)+X−1)=0\lambda^2 (X+1)^2 +X^2=1 \Rightarrow (X+1)(\lambda^2 (X+1) + X-1)=0

από όπου λογαριάζουμε ότι

X=1−λ2λ2+1,Y=2λλ2+1.X=\frac{1-\lambda^2}{\lambda^2+1}, \qquad Y= \frac{2\lambda}{\lambda^2+1}.

Όσο το λ=n/m\lambda=n/m διατρέχει τους ρητούς αριθμούς το ζευγάρι (X,Y)(X,Y) διατρέχει τις ρητές ρίζες της εξίσωσης του κύκλου και κατά συνέπεια (με απαλοιφή των παρονομαστών) καταλήγουμε στις ακέραιες ρίζες

(x,y,z)=(m2−n2,2nm,m2+n2).(x,y,z)=(m^2-n^2, 2nm,m^2+n^2).

Στην πραγματικότητα κάθε φορά που έχουμε μια πυθαγόρεια τριάδα (x0,y0,z0),(x_0,y_0,z_0), παρατηρούμε ότι και κάθε ακέραιο πολλαπλάσιό της (κx0,κy0,κz0)(\kappa x_0,\kappa y_0, \kappa z_0) θα είναι πυθαγόρεια τριάδα.

Βαβυλωνιακή επιγραφή με Πυθαγόρειες Τριάδες γνωστή ως Plimpton 322, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Η παραπάνω μέθοδος δούλεψε γιατί από το θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας μία ευθεία και μια τετραγωνική εξίσωση τέμνονται σε δύο σημεία. Η κατάσταση αλλάζει στην περίπτωση που έχουμε τομές ευθειών με κυβικές καμπύλες.

Θεωρούμε ένα κυβικό πολυώνυμο της μορφής x3+ax+bx^3+a x+b με απλές ρίζες. Μια ελλειπτική καμπύλη υπέρ του σώματος KK θα είναι το σύνολο των x,y∈Kx,y \in K που ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής:

E:y2=x3+ax+b,E: y^2 =x^3+a x+b, μαζί με ένα σημείο στο άπειρο 𝒪,\mathcal{O}, ώστε το κυβικό πολυώνυμο x3+ax+bx^3+ax+b να έχει απλές ρίζες. Η συνθήκη για τις απλές ρίζες μπορεί να εκφραστεί με το ότι 16(4a3+27b2)≠0.16(4a^3+27b^2)\neq 0.

Ισοδύναμα μπορούμε να αναζητήσουμε σημεία στο προβολικό επίπεδο [x:y:z][x:y:z] τα οποία να ικανοποιούν την ομογενοποιημένη εξίσωση

E:y2z=x3+axz2+bz3.E: y^2z=x^3 +a x z^2+ bz^3.

Έστω τα σημεία P=(x1,y1)P=(x_1,y_1) και Q=(x2,y2)Q=(x_2,y_2) επί της ελλειπτικής καμπύλης. Σχηματίζουμε την ευθεία LL που ενώνει τα δύο αυτά σημεία. Η ευθεία τέμνει την ελλειπτική καμπύλη σε ένα τρίτο σημείο PQ.PQ. Από το σημείο PQPQ φέρνουμε την κάθετη ευθεία στον άξονα των xx η οποία τέμνει την ελλειπτική καμπύλη στο σημείο P+Q.P+Q. Το σημείο αυτό το ορίζουμε να είναι άθροισμα των σημείων P,Q.P,Q.

Στην περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε το σημείο P+P,P+P, αντί να θεωρήσουμε τη χορδή όπως στην προηγούμενη περίπτωση, θεωρούμε την εφαπτομένη.

Στην περίπτωση που ένας προσθετέος είναι το σημείο στο άπειρο, θέτουμε P+𝒪=P,P+\mathcal{O}=P, δηλαδή το σημείο στο άπειρο είναι το ουδέτερο της πράξης.

Ας υποθέσουμε ότι P1=(x1,y1)P_1=(x_1,y_1) και P2=(x2,y2).P_2=(x_2,y_2). Οι παραπάνω κανόνες πρόσθεσης μπορούν να εκφραστούν με τον εξής απλό τρόπο:

Ας υποθέσουμε ότι P1,P2≠𝒪.P_1,P_2 \neq \mathcal{O}.

Αν x1=x2x_1=x_2 και y1=−y2y_1=-y_2 θέτουμε P1+P2=𝒪.P_1+P_2=\mathcal{O}. Δηλαδή συμμετρικά σημεία ως προς τον άξονα των xx έχουν άθροισμα 𝒪.\mathcal{O}.

Διαφορετικά θέτουμε λ=(3x1+a)/(2y1) αν P1=P2\lambda= (3x_1+a)/ (2y_1) \text{ αν } \;\;P_1=P_2 λ=(y1−y2)/(x1−x2) αν P1≠P2\lambda= (y_1-y_2)/(x_1-x_2) \text{ αν } \;\; P_1 \neq P_2 Το σημείο P1+P2P_1+P_2 έχει συντεταγμένες (x3,y3)(x_3,y_3) που δίνονται από τους τύπους: (x3,y3)=(λ2−x1−x2,−λx3−y1+λx1)(x_3,y_3)=(\lambda^2 -x_1-x_2,-\lambda x_3 -y_1+\lambda x_1)

Πρόσθεση δύο σημείων της ελλειπτικής καμπύλης y2+y=x3−xy^2+y=x^3-x

foo Interactive

Τα σημεία της ελλειπτικής καμπύλης με πράξη την πρόσθεση σημείων όπως ορίστηκε παραπάνω αποτελούν αβελιανή ομάδα.

Απόδειξη Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι η πράξη είναι αντιμεταθετική (προφανές), ότι το 𝒪\mathcal{O} είναι το ουδέτερο στοιχείο (εξ ορισμού) ότι κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο (είναι το συμμετρικό ως προς τον άξονα των xx) και ότι η πράξη είναι προσεταιριστική, δηλαδή

P+(Q+R)=(P+Q)+R.P +(Q+R) = (P+Q) +R.

Το τελευταίο είναι αρκετά δύσκολο να δειχτεί με τα στοιχειώδη εργαλεία που θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε. Μπορούμε όμως να δώσουμε μία απόδειξη με “ωμή βία” χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα sage.

Χρήση του Πακέτου Sage

Η ελλειπτική καμπύλη y2=x3−10x+9y^2=x^3-10x +9 στο sage ορίζεται ως:

E=EllipticCurve([3,4])

Ενώ για να δώσουμε σημεία επί αυτής αρκεί να δώσουμε τις συντεταγμένες τους.

P=E([0,3])
Q=E([1,0])

Το άθροισμα υπολογίζεται με τις εντολές

P+Q

3P+6Q

Σχηματική απεικόνιση της ελλειπτικής καμπύλης y2+y=x3−xy^2+y=x^3-x στο σώμα 𝔽389\mathbb{F}_{389}

foo Interactive

Τάξεις Σημείων Ελλειπτικής Καμπύλης

Θεωρούμε μια ελλειπτική καμπύλη E:y2=x3+ax+bE:y^2= x^3+ax+b ορισμένη στο σώμα K.K. Τα σημεία (0,x)(0,x) ανήκουν στην ελλειπτική καμπύλη αν και μόνο αν το xx είναι ρίζα του πολυωνύμου x3+ax+b.x^3 + ax +b. Υπάρχουν τρία τέτοια σημεία, μετά από μια επέκταση του σώματος K.K. Μαζί με το ουδέτερο σημείο στο άπειρο σχηματίζουν μια ομάδα ισόμορφη με την ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ.\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.

Γενικά, αν επιλέξουμε ένα στοιχείο PP στην E,E, μπορούμε να θεωρήσουμε όλες τις δυνάμεις nPnP για κάθε φυσικό αριθμό n.n. ’Η θα έχουμε nP=𝒪nP=\mathcal{O} για κάποιο φυσικό αριθμό nn οπότε το σημείο PP θα έχει πεπερασμένη τάξη, ή διαφορετικά το σημείο θα έχει άπειρη τάξη και θα παράγει μια υποομάδα της ελλειπτικής καμπύλης ισόμορφη με την άπειρη κυκλική ομάδα ℤ.\mathbb{Z}.

Το Θεώρημα Του Mordell

Η ομάδα των σημείων E(ℚ)E(\mathbb{Q}) είναι μια πεπερασμένα παραγόμενη αβελιανή ομάδα. Δηλαδή

E(ℚ))=ℤr×∏i=1sℤniℤ.E(\mathbb{Q}))=\mathbb{Z}^r \times \prod_{i=1}^s \frac{\mathbb{Z}}{ n_i \mathbb{Z}}.

Στην πραγματικότητα μπορούμε να είμαστε περισσότερο ακριβείς για το κομμάτι της πεπερασμένης τάξης του E(ℚ),E(\mathbb{Q}), αφού ισχύει το Θεώρημα του B. Mazur:

Η ομάδα των σημείων πεπερασμένης τάξης σε μια ελλειπτική καμπύλη είναι ισόμοφη με μία από τις παρακάτω 15 ομάδες: ℤNℤ,1≤N≤10 ή N=12\frac{\mathbb{Z}}{N\mathbb{Z}}, \;\; 1 \leq N \leq 10 \text{ ή } N=12 ℤ2ℤ×ℤ2Nℤ1≤N≤4.\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}} \times {\mathbb{Z}}{2N\mathbb{Z}} \;\; 1\leq N \leq 4. Επιπλέον κάθε μία από τις παραπάνω ομάδες μπορεί να εμφανιστεί ως ομάδα πεπερασμένης τάξης μιας ελλειπτικής καμπύλης ορισμένης πάνω από το ℚ.\mathbb{Q}.

B. Mazur, CC-AS 3.0 G.M. Bergman
L. Mordel, CC-AS 2.0 K.Jacobs

Τα παραπάνω έργα αποτελούν κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons, Wikimedia Commons.

Ελλειπτικές Καμπύλες στη Μορφή του Legendre

Πρόκειται για ελλειπτικές καμπύλες που δίνονται στη μορφή y2=x(x−1)(x−λ)y^2 =x(x-1)(x-\lambda)

Για λ=2\lambda=2 έχουμε τη γραφική παράσταση:

fooInteractive

Πρόβλημα Το πρόβλημα των ισοδύναμων αριθμών. Θα λέμε ότι ο φυσικός αριθμός n≥1n\geq 1 είναι ισοδύναμος αν υπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές ρητούς αριθμούς και εμβαδόν ίσο με n.n. Να υπολογιστούν οι ισοδύναμοι αριθμοί.

Παρατηρούμε ότι οι Πυθαγόρειες τριάδες δίνουν ως αποτέλεσμα ισοδύναμους αριθμούς, για παράδειγμα το τρίγωνο με πλευρές (3,4,5)(3,4,5) έχει εμβαδόν 66 αλλά δεν είναι οι μοναδικές δυνατότητες αφού το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές (3/2,20/3,41,6)(3/2,20/3,41,6) έχει εμβαδόν ίσο με 5.5. Δεν επιτρέπουμε όμως τρίγωνα με άρρητους αριθμούς, έτσι το τρίγωνο με πλευρές (1,2,5)(1,2,\sqrt{5}) έχει εμβαδόν 11 αλλά δεν είναι επιτρεπτό. Θα δείξουμε ότι το 11 δεν είναι ισοδύναμος αριθμός.

Ο αριθμός n≥1n\geq 1 είναι ισοδύναμος αν και μόνο αν η ελλειπτική καμπύλη y2=x3−n2xy^2 =x^3 -n^2 x έχει ένα σημείο (x,y)∈ℚ2(x,y)\in \mathbb{Q}^2 ώστε y2≠0.y^2 \neq 0. Ακριβέστερα υπάρχει μια ένα προς ένα απεικόνιση ανάμεσα στα σύνολα:

In={(a,b,c):a2+b2=c2,ab2=n}I_n=\left\{ (a,b,c): a^2 + b^2 = c^2 , \frac{ab}{2}=n \right\}

και

En={(x,y):y3=x3−n2x,y≠0}.E_n =\left\{ (x,y): y^3 =x^3 -n^2 x, y \neq 0 \right\}.

Οι συναρτήσεις αντιστοιχίας δίνονται από τους τύπους

f:In→Enf : I_n \rightarrow E_n (a,b,c)↦(nbc−a,2n2c−a)(a,b,c) \mapsto \left( \frac{nb}{c-a}, \frac{2n^2 }{c-a} \right)

και g:En→Ing: E_n \rightarrow I_n (x,y)↦(x2−n2y,2nxy,x2+n2y)(x,y) \mapsto \left( \frac{x^2 -n^2 }{y}, \frac{2nx }{ y} , \frac{x^2 +n^2 }{y} \right)

Το πρόβλημα των ισοδύναμων αριθμών είναι ανοιχτό, ενώ υπάρχει και μία λύση του από τον Tunnel η οποία όμως προϋποθέτει την αλήθεια της εικασίας των Birch-Swinnerton-Dyer.

[Tunnel,1983] Αν nn είναι ένας περιττός ελεύθερος τετραγώνου θετικός ακέραιος και nn είναι ένας ισοδύναμος αριθμός, τότε τα παρακάτω σύνολα έχουν ίσους πληθικούς αριθμούς:

#{(x,y,z)∈ℤ3:n=2x2+y2+32z2}=\#\{ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 : n =2x^2 + y^2 +32 z^2 \}= =12(#{(x,y,z)∈ℤ3:n=2x2+y2+8z2})=\frac{1}{2} (\#\{ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 : n=2x^2 + y^2 +8 z^2 \})

Ενώ αν ο nn είναι άρτιος ισοδύναμος αριθμός, τότε τα παρακάτω σύνολα έχουν ίσους πληθικούς αριθμούς:

{(x,yz)∈ℤ3:n2=4x2+y2+32z2}=\{(x,yz) \in \mathbb{Z}^3 : \frac{n}{2}=4x^2 + y^2 + 32 z^2 \}= =12(#{(x,y,z)∈ℤ3:n2=4x2+y2+8z2}).=\frac{1}{2} \left( \#\left\{ (x,y,z) \in \mathbb{Z}^3: \frac{n}{2} =4x^2+ y^2 + 8z^2 \right\} \right). Στην περίπτωση που η εικασία Birch-Swinerton-Dyer είναι σωστή, οι παραπάνω εξισώσεις δίνουν μια ικανή συνθήκη ώστε ο nn να είναι ισοδύναμος αριθμός.

Για παράδειγμα για n=2n=2 έχουμε ότι n2=1=4x2+y2+32z2\frac{n}{2}=1=4x^2 +y^2 +32 z^2 αν και μόνο αν x=z=0x=z=0 και y=±1,y =\pm 1, άρα το αριστερό μέρος της ισότητας είναι ίσο με 2.2. Το δεξί όμως είναι ίσο με 11 και η ανισότητα δεν ισχύει, συνεπώς το 22 δεν είναι ισοδύναμος αριθμός.

Το τελευταίο Θεώρημα του Fermat

Έστω n≥3.n\geq 3. Υπάρχουν λύσεις της εξίσωσης xn+yn=znx^n + y^n =z^n για (x,y,z)∈ℤ3(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3 με xyz≠0xyz \neq 0;

Αυτό είναι ένα από τα διασημότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών το οποίο τέθηκε για πρώτη φορά από τον Pierre de Fermat, o οποίος στο εξώφυλλο της έκδοσης του βιβλίου Αριθμητικά του Διόφαντου έγραψε ότι βρήκε μια θαυμάσια απόδειξη του θεωρήματος αυτού, αλλά το περιθώριο (στο οποίο συνήθιζε να κρατά σημειώσεις) είναι πολύ μικρό να τη χωρέσει.

Pierre de Fermat, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Είναι σχετικά εύκολο να δείξει κανείς ότι αρκεί να αποδειχτεί η εικασία για nn περιττό πρώτο αριθμό και για n=4.n=4. Ο ίδιος ο Fermat μελέτησε τις περιπτώσεις n=3,4n=3,4 και έδειξε ότι δεν έχουν λύσεις. Για την περίπτωση p≥3p\geq 3 o Gerhard Frey έδωσε την ιδέα ότι αν η εξίσωση ap+bp=cpa^p + b^p =c^p έχει μη τετριμμένη λύση τότε οι ελλειπτικές καμπύλες E:y2=x(x−ap)(y−bp)E: y^2 =x(x-a^p)(y-b^p) έχουν τόσο περίεργες ιδιότητες που θα πρέπει να μην ικανοποιούν την τότε υπόθεση των Taniyama-Shimura-Weil .

O Ken Ribet μετέτρεψε τη διαίσθηση του Frey σε αυστηρή απόδειξη και ο Andrew Wiles το 1995 (Wiles 1995) απέδειξε μια περίπτωση της εικασίας των Taniyama-Shimura-Weil αρκετή για να μπορέσει να απόδειξει την εικασία του Fermat.

Andrew Wiles, Δημηουργός K. Barner, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Δείτε: foo Fermat Last Theorem BBC Horizon

Διαβάστε:

Simon Singh Το τελευταίο Θεώρημα του Fermat Εκδόσεις Τραυλός (Singh 1997).

Αριστείδης Κοντογεώργης Ημιευσταθείς Ελλειπικές Καμπύλες και το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, μεταπτυχιακή εργασία Πανεπιστήμιο Κρήτης 1995 (Α. Κοντογεώργης 1994).

Πολυώνυμα διαίρεσης

Θεωρούμε την ελλειπτική καμπύλη ορισμένη σε ένα σώμα KK της μορφής: y2=x3+Ax+B.y^2=x^3+Ax+B. Με μια προσεκτική ματιά στις αλγεβρικές εκφράσεις που αφορούν τον νόμο ομάδας, είναι φανερό ότι οι συντεταγμένες του αθροίσματος δύο σημείων P1+P2P_1 + P_2 της καμπύλης είναι ρητές συναρτήσεις των συντεταγμένων των P1,P2.P_1, P_2. Με επαναληπτική διαδικασία η απεικόνιση (x,y)→[m](x,y)(x, y) \rightarrow [m](x, y) μπορεί να εκφρασθεί με όρους ρητών συναρτήσεων των x,y.x, y. Πιό συγκεκριμένα έχουμε:

΄Εστω EE μια ελλειπτική καμπύλη όπως παραπάνω και έστω mm ένας θετικός ακέραιος. Τότε υπάρχουν πολυώνυμα ψm,θm,ωm\psi_m, \theta_m, \omega_m τέτοια ώστε για P=(x,y)∈E(K)P = (x, y) \in E(K) με [m]P≠0[m]P \neq 0 έχουμε, [mP]=(θm(x,y)ψm2(x,y),ωm(x,y)ψm3(x,y))[mP]=\left(\frac{\theta_m(x,y)}{\psi_m^2(x,y)},\frac{\omega_m(x,y)}{\psi^3_m(x,y)} \right)

To πολυώνυμο ψm(x,y)\psi_m(x,y) ονομάζεται το mm-οστό πολυώνυμο διαίρεσης της καμπύλης EE και μπορεί να θεωρηθεί ως ένα πολυώνυμο στον δακτύλιο ℤ[x,y,A,B].\mathbb{Z}[x,y,A,B].

Τα πολυώνυμα διαίρεσης ορίζονται αναδρομικά από τους τύπους: ψ0=0\psi_{0} = 0 ψ1=1\psi_{1} = 1 ψ2=2y\psi_{2} = 2y ψ3=3x4+6Ax2+12Bx−A2\psi_{3} = 3x^{4} + 6Ax^{2} + 12Bx - A^{2} ψ4=4y(x6+5Ax4+20Bx3−5A2x2−4ABx−8B2−A3)\psi_{4} = 4y(x^{6} + 5Ax^{4} + 20Bx^{3} - 5A^{2}x^{2} - 4ABx - 8B^{2} - A^{3}) ⋯\cdots ψ2m+1=ψm+2ψm3−ψm−1ψm+13 για m≥2\psi_{2m+1} = \psi_{m+2} \psi_{m}^{ 3} - \psi_{m-1} \psi ^{ 3}_{ m+1} \text{ για } m \geq 2 ψ2m=(ψm2y)⋅(ψm+2ψm−12−ψm−2ψm+12) για m≥3\psi_{ 2m} = \left ( \frac { \psi_{m}}{2y} \right ) \cdot ( \psi_{m+2}\psi^{ 2}_{m-1} - \psi_{m-2} \psi ^{ 2}_{m+1}) \text{ για } m \geq 3

Τα πολυώνυμα ϕn(x)\phi_{n}(x) και ωn(x)\omega_{n}(x) δίνονται από τους τύπους: ϕn(x)=xψn2(x)−ψn+1(x)ψn−1(x),\phi_{n}(x)=x\psi_{n}^{2}(x) - \psi_{n+1}(x)\psi_{n-1}(x), ωn(x)=ψn+2(x)ψn−12(x)−ψn−2(x)ψn+12(x)4y.\omega_{n}(x)=\frac{\psi_{n+2}(x)\psi_{n-1}^{2}(x)-\psi_{n-2}(x)\psi_{n+1}^{2}(x)}{4y}.

Η ομάδα των mm σημείων στρέψης (m-torsion points) ορίζεται να είναι η E[m]={P∈E(K)|[m]P=O}E[m] = \{P ∈ E(K) | [m]P = O\}

Το mm-οστό πολύωνυμο διαίρεσης ψm\psi_m χαρακτηρίζει τα mm − torsion σημεία της E,E, σύμφωνα με το παρακάτω:

΄Εστω PP σημείο στο E(K)∖OE(K)\backslash O κι έστω m≥1.m \geq 1. Τότε P∈E[m]P \in E[m] εάν και μόνον εάν ψm(P)=0.\psi_m(P) = 0.

Παρατηρούμε ότι για τον υπολογισμό των mm − torsion σημείων μπορούμε να χρη- σιμοποιήσουμε πολυώνυμα μιας μεταβλητής, αντί των πολυωνύμων ψm\psi_m τα οποία έχουν δύο μεταβλητές x,y.x, y.

f¯m=ψm αν m=2k+1,k∈ℕ,\overline{f}_m=\psi_m \text{ αν } m=2k+1, k \in \mathbb{N}, f¯m=ψmψ2 αν m=2k,k∈ℕ.\overline{f}_m=\frac{\psi_m}{\psi_2} \text{ αν } m=2k, k \in \mathbb{N}.

Παρατηρώντας ότι το yy χρησιμοποιείται στον αναδρομικό ορισμό του ψm\psi_m μόνο μέσω του πολυωνύμου ψ2\psi_2 και ότι το ψ22\psi_2^2 δεν εξαρτάται από το y,y, προκύπτει ότι το f¯m\overline{f}_m είναι ένα πολυώνυμο το οποίο εξαρτάται μόνο από το x.x. Ο βαθμός του f¯m\overline{f}_m είναι το πολύ (m2−1)/2,(m^2−1)/2, εάν ο mm είναι περιττός και το πολύ (m2−4)/2,(m^2−4)/2, εάν ο mm είναι άρτιος (οι βαθμοί είναι ακριβώς ίδιοι εάν η χαρακτηριστική του σώματος δεν διαιρεί τον m,m, για mm περιττό, ή τον m/2,m/2, για mm άρτιο).

Ο χαρακτηρισμός των mm-torsion points μπορεί να αναδιατυπωθεί με τη βοήθεια των πολυωνύμων f¯m\overline{f}_m ως εξής:

΄Εστω P=(x,y)P = (x, y) σημείο στο E(K)OE(K) \ O τέτοιο ώστε [2]P≠O[2]P \neq O κι έστω m≥2.m \geq 2.Τότε P∈E[m]P \in E[m] εάν και μόνον εάν f¯m(x)=0.\overline{f}_m(x) = 0.

Παρατήρηση Το παραπάνω θεώρημα δεν συμπεριλαμβάνει τα 2 − torsion σημεία. Αυτά τα σημεία ικανοποιούν την ψ2(P)=0,\psi_2(P) = 0, με το οποίο διαιρούμε το ψm\psi_m για να πάρουμε το f¯m,\overline{f}_m, όταν το mm είναι άρτιος.

Ελλειπτικές Καμπύλες Ορισμένες Πάνω Από Πεπερασμένα Σώματα

Θεωρούμε μια ελλειπτική καμπύλη ορισμένη πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα 𝔽ph\mathbb{F}_{p^h } με php^h το πλήθος στοιχεία. Είναι σαφές ότι μια τέτοια καμπύλη θα είναι μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα και ένα προφανές φράγμα της τάξης της είναι το |E|≤p2h+1.|E| \leq p^{2h}+1. Ένα από τα βασικά προβλήματα είναι να υπολογιστεί η τάξη της και στη συνέχεια η δομή της (που θα είναι ευθύ άθροισμα από κυκλικές ομάδες σύμφωνα με το θεώρημα δομής αβελιανών ομάδων.

O H. Hasse απέδειξε ότι το καλύτερο φράγμα ισχύει |E|=ph+1±s,|E|=p^{h}+1\pm s, όπου το |s|≤2ph.|s| \leq 2 \sqrt{p^h }. O αριθμός ss στη βιβλιογραφία είναι γνωστός ως το ίχνος του Frobenious. Θα αναφέρουμε περισσότερα για αυτό και θα δώσουμε μια απόδειξη του φράγματος του Hasse στη συνέχεια.

H. Hasse, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Θεωρία των Ελλειπτικών καμπυλών πάνω από τους μιγαδικούς αριθμούς.

Ορισμός: Ένα lattice LL στο σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι το σύνολο που παράγεται από όλους τους ℤ\mathbb{Z}-συνδυασμούς από δύο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα e1,e2e_1,e_2 του ℂ.\mathbb{C}.

Weierstrass, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

O Weierstrass κατασκεύασε μια συνάρτηση (που εξαρτάται από ένα lattice LL) ℂ→ℂ\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} η οποία ορίζεται από τον τύπο: ℘(z,L)=1z2+∑λ∈L−{0}(1(z+λ)2−1λ2).\wp(z,L)=\frac{1}{z^2}+\sum_{\lambda\in L-\{0\}} \left(\frac{1}{(z+\lambda)^2} -\frac{1}{\lambda^2}\right). Η συνάρτηση του Weierstrass ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση ℘′(z)2=4℘(z)3−g2(L)℘(z)−g3(L).\wp'(z)^2=4 \wp(z)^3 - g_2(L)\wp(z)-g_3(L). Δηλαδή το ζευγάρι (x,y)=(℘(z),℘′(z))(x,y)=(\wp(z),\wp'(z)) παραμετρίζει την ελλειπτική καμπύλη y2=4x3−g2(L)x−g3(L).y^2=4x^3-g_2(L)x-g_3(L).

Παρατήρηση: Οι υπερβατικές συναρτήσεις (x,y)=(sin(x),cos(x))=(sin(x),sin′(x))(x,y)=(\sin(x),\cos(x))=(\sin(x),\sin'(x)) ικανοποιούν την εξίσωση x2+y2=1x^2+y^2=1 και συνεπώς παραμετρίζουν τον κύκλο.

Η συνάρτηση του Weierstrass είναι περιοδική με περίοδο το laticce L.L. Δηλαδή (℘(z+λ),℘′(z+λ))=(℘(z),℘′(z)).(\wp(z+\lambda),\wp'(z+\lambda))=(\wp(z),\wp'(z)). Σε επίπεδο θεωρίας ομάδων αυτό σημαίνει ότι ℂL≅E(ℂ).\frac{\mathbb{C}}{L} \cong E(\mathbb{C}). Από τοπολογικής πλευράς αυτό σημαίνει ότι το εσωτερικό του lattice, δηλαδή το παραλληλόγραμμο που αποτελείται από τα σημεία z=ae1+be2: με 0≤a,b<1z=a e_1 +b e_2: \text{ με } 0\leq a,b <1 καλύπτει την ελλειπτική καμπύλη ενώ οι απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου ταυτίζονται δίνοντας στο πηλίκο τη δομή του “λουκουμά”.

Οι Πλευρές AA και BB ταυτίζονται στο πηλίκο

Λουκουμάς-κολλώντας τις πλευρές παρ/μου, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Οι συναρτήσεις g2(L),g3(L)g_2(L),g_3(L) εξαρτώνται από το lattice L,L, και δίνονται από τον τύπο: g2(L)=60∑λ∈L−{0}1λ4g3(L)=140∑λ∈L−{0}1λ6,g_2(L)=60\sum_{\lambda\in L-\{0\}} \frac{1}{\lambda^4} \qquad g_3(L)=140\sum_{\lambda\in L-\{0\}} \frac{1}{\lambda^6}, αποτελούν δε παραδείγματα από σειρές Eisenstein.

Αλγεβρική Θεωρία Ελλειπτικών καμπυλών.

Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε διάφορες αναλλοίωτες της ελλειπτικής καμπύλης που ορίζεται από την εξίσωση: y2=x3+ax+b.y^2=x^3+ax+b. Για κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής f(x)f(x) ορίζεται η διακρίνουσά του. Αυτός είναι ένας αριθμός που γενικεύει τη γνωστή διακρίνουσα δευτεροβάθμιου πολυωνύμου και είναι ίσο με το 0,0, αν και μόνο αν το αρχικό πολυώνυμο έχει διπλή ρίζα. Στην περίπτωση του κυβικού πολυωνύμου x3+ax+bx^3+ax+b η διακρίνουσα δίνεται από τον τύπο: −16(4a3+27b2).-16 (4a^3+27b^2). Παρατηρούμε ότι οι ελλειπτικές καμπύλες έχουν πάντα διακρίνουσα διαφορετική του μηδενός.

Η jj-invariant της ελλειπτικής καμπύλης ορίζεται από την εξίσωση: j(E)=(4a)34a3+27b2=−4a3Δ(E).j(E)=\frac{(4a)^3}{4a^3+27b^2}=-\frac{4a^3}{\Delta(E)}.

Δύο ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα είναι ισόμορφες αν και μόνο αν έχουν την ίδια jj-invariant.

Η πρόταση αυτή δεν είναι σωστή όταν οι ελλειπτικές καμπύλες δεν είναι ορισμένες πάνω από αλγεβρικά κλειστό σώμα. Γίνονται ισόμορφες πάνω από μια τετραγωνική επέκταση του σώματος ορισμού.

Για κάθε αριθμό j0∈Kj_0\in K υπάρχει ελλειπτική καμπύλη EE ορισμένη υπέρ το KK που να έχει jj-invariant ίση με j0.j_0.

Απόδειξη:

Αν το jj είναι διαφορετικό από το 0,1728,0,1728, τότε η ελλειπτική καμπύλη με τύπο E:y2+xy=x3−36j0−1728x−1j0−1728E: y^2+xy=x^3-\frac{36}{j_0-1728}x-\frac{1}{j_0-1728} έχει διακρίνουσα Δ(E)=j03(j0−1728)3 και j(E)=j0.\Delta(E)=\frac{j_0^3}{(j_0-1728)^3} \text { και } j(E)=j_0. Όταν το j0=0j_0=0 θεωρούμε την ελλειπτική καμπύλη: E:y2+y=x3, με Δ(E)=−27 και j=0E:y^2+y=x^3, \text{ με } \Delta(E)=-27 \text{ και } j=0 ενώ για j0j_0 θεωρούμε την ελλειπτική καμπύλη: E:y2=x3+x, με Δ(E)=−64 και j=1728.E:y^2=x^3+x, \text{ με } \Delta(E)=-64 \text{ και } j=1728.

Ο αριθμός 17281728 αν του προσθέσουμε 11 είναι o δεύτερος Taxicab number δηλαδή είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δυο θετικών κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους: 1729=1+123=93+103.1729=1+12^3=9^3+10^3. Η ονομασία αυτή δόθηκε από τον αριθμό του ταξί που μετέφερε τον Hardy στο νοσοκομείο που νοσηλεύονταν ο Ramanujan. Όπως αναφέρει ο Hardy: “I remember once going to see him when he was lying ill at Putney. I had ridden in taxi-cab No. 1729, and remarked that the number seemed to be rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavourable omen.”No“, he replied,”it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two [positive] cubes in two different ways."

Κάθε στοιχείο του 𝔽p\mathbb{F}_p είναι jj-invariant μιας ελλειπτικής καμπύλης πάνω από το 𝔽p.\mathbb{F}_p. Όταν το j≠0,1728j\neq 0,1728 αυτή η ελλειπτική καμπύλη δίνεται από y2=x3+3kc2x+2kc3,y^2=x^3+3kc^2x+2kc^3, όπου k=j/(1728−j)k=j/(1728-j) και το cc είναι οποιοδήποτε στοιχείο του 𝔽p.\mathbb{F}_p. Υπάρχουν δύο μη ισόμορφες ελλειπτικές καμπύλες E,E, E′E' υπέρ του 𝔽p\mathbb{F}_p που αντιστοιχούν σε διαφορετικές επιλογές του c.c. Αυτές έχουν τάξεις |E|=p+1−t|E|=p+1-t και |E|=p+1+t.|E|=p+1+t.

Παρατήρηση Από τον ορισμό της jj-invariant προκύπτει ότι οι καμπύλες E,E′E, E' μοιράζονται την ίδια jj-invariant. Για τις περισσότερες j-invariants j∈𝔽p,j\in \mathbb{F}_p, υπάρχουν όσον αφορά τον ισομορφισμό, ακριβώς δύο ελλειπτικές καμπύλες επί του 𝔽p\mathbb{F}_p με j(E)=j,j(E) = j, Η καμπύλη EE και η διαστροφή της. Υπάρχουν όμως δύο πολύ γνωστές εξαιρέσεις: j=0,p=1(mod3)j = 0, p = 1(mod3) j=1728,p=(1mod4)j = 1728, p = (1mod4) όπου στην πρώτη περίπτωση υπάρχουν 6 καμπύλες ενώ στη δεύτερη 4.

Δακτύλιος Ενδομορφισμών

Μια συνάρτηση f:E→Ef:E\rightarrow E θα λέμε ότι είναι ενδομορφισμός της ελλειπτικής καμπύλης αν εκφράζεται μέσω ρητών συναρτήσεων και αν στέλνει το ουδέτερο στοιχείο στο ουδέτερο στοιχείο. Οι ενδομορφισμοί αποτελούν δακτύλιο όπου η πρόσθεση είναι η πρόσθεση συναρτήσεων και ο πολλαπλασιασμός η σύνθεση. Τον δακτύλιο αυτόν θα τον συμβολίζουμε με End(E).\mathrm{End}(E).

Ας σταθεροποιήσουμε έναν ακέραιο n∈ℤ.n\in \mathbb{Z}. Μπορούμε να ορίσουμε τον ενδομορφισμό που στέλνει κάθε P∈EP\in E στο nP.nP. Με αυτόν τον τρόπο το ℤ\mathbb{Z} είναι υποδακτύλιος του End(E).\mathrm{End}(E).

Σε ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες πάνω από σώματα χαρακτηριστικής 00 στις περισσότερες περιπτώσεις δεν υπάρχουν άλλοι ενδομορφισμοί.

Εάν το d∈ℤ<0d \in \mathbb{Z}_{<0} δηλώνει τη διακρίνουσα μιας τετραγωνικής τάξης έχουμε, End(E)≅ℤ[δ]=ℤ+δℤEnd(E) \cong \mathbb{Z}[\delta] = \mathbb{Z} + \delta\mathbb{Z} όπου, δ=d2,d=2k,k∈ℤ<0\delta =\frac{\sqrt{d}}{2}, d=2k, k \in \mathbb{Z}_{<0} δ=1+d2,d=2k+1,k∈ℤ<0\delta=\frac{1+\sqrt{d}}{2}, d=2k+1, k \in \mathbb{Z}_{<0}

Παρατήρηση Οι ελλειπτικές καμπύλες E,E′E,E' έχουν ισόμορφο ενδομορφισμό δακτυλίων.

Εάν p=1(mod3),p = 1(mod3), οι 6 καμπύλες με j=0j = 0 όλες έχουν τον ενδομορφισμό δακτυλίου τους ισόμορφο με τον ℤ[(1+−3)/2]\mathbb{Z}[(1+\sqrt{-3})/2] ενώ οι 4 καμπύλες με j=1728,j=1728, όλες έχουν End(E)=ℤ[i].End(E)=\mathbb{Z}[i].

Σε ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα 𝔽q\mathbb{F}_q υπάρχει πάντα και ένας επιπλέον ενδομορφισμός, ο ενδομορφισμός του Frobenious, ο οποίος ορίζεται ως εξής: Το σημείο PP με συντεταγμένες (x,y)(x,y) απεικονίζεται στο σημείο ϕ(P)\phi(P) με συντεταγμένες (xq,yq).(x^q,y^q). Ο ενδομορφισμός αυτός έχει ενδιαφέρον γιατί είναι γνωστό ότι ένα στοιχείο x∈𝔽¯qx\in \overline{\mathbb{F}}_q ανήκει στο 𝔽q\mathbb{F}_q αν και μόνο αν xq=x.x^q=x. Με άλλα λόγια τα σημεία που παραμένουν σταθερά από τη δράση του Frobenious είναι ακριβώς τα σημεία της ελλειπτικής καμπύλης πάνω από το πεπερασμένο σώμα 𝔽q.\mathbb{F}_q.

Αυτή η παρατήρηση μας επιτρέπει να μετρήσουμε το ίχνος του Frobenious όπως αυτό εμφανίζεται στον τύπο του Hasse.

O ενδομορφισμός του Frobenious ικανοποιεί τη σχέση: ϕ2−tϕ+q=0.\phi^2 -t \phi+q=0.

Γενικά είναι γνωστό ότι οποιοσδήποτε επιπλέον ενδομορφισμός σε ελλειπτική καμπύλη EE ικανοποιεί μια παρόμοια σχέση.

Αν υπάρχουν επιπλέον ενδομορφισμοί ϕ\phi τότε αυτοί ικανοποιούν μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής: ϕ2+aϕ+b=0,\phi^2+a\phi +b=0, της οποίας η διακρίνουσα είναι αρνητική (εδώ οφείλεται και το όνομα μιγαδικός πολλαπλασιασμός).

Παρατήρηση: Το φράγμα του Hasse είναι ισοδύναμο με το ότι η τετραγωνική εξίσωση που ικανοποιεί ο Frobenious έχει αρνητική διακρίνουσα.

Ελλειπτικά Κρυπτοσυστήματα

Το σύστημα ElGamal το οποίο χρησιμοποιήσαμε για την κυκλική ομάδα G=𝔽p*G=\mathbb{F}_p^* μπορεί να χρησιμοποιηθεί με πολύ καλά αποτελέσματα και στην περίπτωση των ελλειπτικών καμπυλών.

Η βασική ιδέα του ElGamal έχει ήδη περιγραφεί, οπότε θα παρουσιάσουμε μια υλοποίησή του περιγράφοντας το σύστημα Digital Rights Management που χρησιμοποιούσε η Microsoft στις αρχές του 2000 καθώς και τον τρόπο με τον οποίο εσπασε από τον hacker Beale Streamer ακολουθώντας την περιγραφή του W. Stein.

Θα δουλέψουμε πάνω από μια ελλειπτική καμπύλη EE ορισμένη στο σώμα 𝔽p,\mathbb{F}_p, όπου p=785963102379428822376694789446897396207498568951p= 785963102379428822376694789446897396207498568951 η οποία δίνεται από την εξίσωση: y2=x3+317689081251325503476317476413827693272746955927xy^2 = x^3 + 317689081251325503476317476413827693272746955927x +79052896607878758718120572025718535432100651934.+ 79052896607878758718120572025718535432100651934. Η παραπάνω ελλειπτική καμπύλη είναι ισόμορφη με μια κυκλική ομάδα τάξης 785963102379428822376693024881714957612686157429,785963102379428822376693024881714957612686157429, ενώ ένας γεννήτορας δίνεται από το σημείο B=(771507216262649826170648268565579889907769254176,B = (771507216262649826170648268565579889907769254176, 390157510246556628525279459266514995562533196655).390157510246556628525279459266514995562533196655). Το σύστημα της Microsoft, όταν ο χρήστης εγκαθιστούσε το DRM λογισμικό στο μηχάνημά του παρήγαγε ένα ιδιωτικό κλειδί: n=670805031139910513517527207693060456300217054473n = 670805031139910513517527207693060456300217054473 το οποίο γραφόταν σε διάφορα αρχεία του υπολογιστή. Προκειμένου ο χρήστης να μπορέσει να ακούσει ένα μουσικό κομμάτι θα έπρεπε, (αφού έστελνε τον αριθμό της πιστωτικής κάρτας του) να κατεβάσει ένα αρχείο άδειας (licence file), το οποίο θα του επέτρεπε να ακούσει το μουσικό κομμάτι.

Στην πραγματικότητα ο χρήστης δημοσιεύε ως δημόσιο κλειδί το (p,E,B,nB).(p,E,B,nB). Το μήνυμα προς τον χρήστη από τη Microsoft αποθηκεύεται ως ένα στοιχείο PP της ελλειπτικής καμπύλης. Επιλέγοντας έναν τυχαίο πρώτο η Microsoft έστελνε στον χρήστη τα σημεία (rB,P+rnB)=(A,B).(rB, P+ rnB)=(A,B). Για να παραλάβει το σημείο PP ο χρήστης που θα του επιτρέψει να ξεκλειδώσει το μουσικό αρχείο θα πρέπει να υπολογίσει το P=B−nA=P+rnB−n(rB).P=B-nA=P+rnB-n(rB).

Το αρχείο της άδειας είναι ένα μήνυμα που ο χρήστης στέλνει στον εαυτό του. Περιέχει το ζευγάρι των σημείων (rB,P+r(nB)),(rB, P+r(nB)), όπου rB=(179671003218315746385026655733086044982194424660,rB = (179671003218315746385026655733086044982194424660, 697834385359686368249301282675141830935176314718)697834385359686368249301282675141830935176314718) και P+r(nB)=(137851038548264467372645158093004000343639118915,P + r(nB) = (137851038548264467372645158093004000343639118915, 110848589228676224057229230223580815024224875699).110848589228676224057229230223580815024224875699). Όταν ο υπολογιστής του χρήστη θέλει να παίξει ένα συγκεκριμένο αρχείο, τότε διαβάζει το μυστικό κλειδί n=670805031139910513517527207693060456300217054473n = 670805031139910513517527207693060456300217054473 και υπολογίζει το n(rB)=(328901393518732637577115650601768681044040715701,n(rB) = (328901393518732637577115650601768681044040715701, 586947838087815993601350565488788846203887988162).586947838087815993601350565488788846203887988162). Αφαιρώντας το από το P+r(nB)P + r(nB) παίρνει το P=(14489646124220757767,P = (14489646124220757767, 669337780373284096274895136618194604469696830074).669337780373284096274895136618194604469696830074). Η xx-συντεταγμένη 1448964612422075776714489646124220757767 είναι το κλειδί που ξεκλειδώνει το μουσικό αρχείο. Αν ο χρήστης γνώριζε το ιδιωτικό κλειδί nn που ο υπολογιστής του παρήγαγε θα μπορούσε να παράγει το P,P, να ξεκλειδώσει το μουσικό αρχείο και να το μοιραστεί με οποιονδήποτε.

Αν και η παραπάνω μέθοδος είναι πολύ δύσκολο να αντιμετωπιστεί λύνοντας το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου, το παραπάνω σύστημα “έσπασε” από τον Beale Screamer γιατί η implementation του αλγορίθμου ήταν φτωχή. Σε κάθε περίπτωση το ιδιωτικό κλειδί ήταν αποθηκευμένο στον υπολογιστή του χρήστη. Πώς μπορεί το software να το χρησιμοποιεί χωρίς να το γνωρίζει ο χρήστης;

p = 785963102379428822376694789446897396207498568951
 E = EllipticCurve(GF(p), \
[317689081251325503476317476413827693272746955927,
79052896607878758718120572025718535432100651934])
E.cardinality()
785963102379428822376693024881714957612686157429
E.cardinality().is_prime()
True
B = E([
771507216262649826170648268565579889907769254176,
390157510246556628525279459266514995562533196655])
n=670805031139910513517527207693060456300217054473
r=70674630913457179596452846564371866229568459543
P = E([14489646124220757767,
669337780373284096274895136618194604469696830074])
encrypt = (r*B, P + r*(n*B))
encrypt[1] - n*encrypt[0] == P ##decrypting works
True

Το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου για Ελλειπτικές Καμπύλες

Δίνεται μία ελλειπτική καμπύλη EE ορισμένη πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα 𝔽q.\mathbb{F}_q. Το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου είναι το εξής: Αν Q=nP,Q=nP, ζητείται να βρεθεί το n.n. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να ορίστει σε κάθε αβελιανή ομάδα G,G, και είδαμε διάφορους τρόπους να το αντιμετωπίσουμε όταν G=𝔽p*.G=\mathbb{F}_p^*. Η πρακτική ένδειξη είναι το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου σε ελλειπτικές καμπύλες, όπως και τα κρυπτοσυστήματα που προκύπτουν όπως το ElGamal είναι δυσκολότερο να επιλυθούν από τα αντίστοιχα συστήματα στην πολλαπλασιαστική υποομάδα ενός πεπερασμένου σώματος.

Βιβλιογραφία

Blake, I.F., G. Seroussi, and N. Smart. 1999. Elliptic Curves in Cryptography. Lecture Note Series. Cambridge University Press. https://books.google.gr/books?id=0_vegzgyqGMC.

Milne, J. S. 2006. Elliptic Curves. BookSurge Publishers.

Silverman, J.H., and J. Tate. 1992. Rational Points on Elliptic Curves. Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology. Springer. https://books.google.gr/books?id=mAJei2-JcE4C.

Singh, Simon. 1997. Το Τελευταίο Θεώρημα Του Φερμά. Εκδόσεις Τραυλός.

Wiles, Andrew. 1995. “Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem.” Ann. Math., Second Series, 141 (3). Annals of Mathematics: 443–551. doi:10.2307/2118559.

Αντωνιάδης, Ι. 1999. Ελλειπτικές Καμπύλες (Το Θεώρημα Του Mordell). ΕΠΕΑΕΚ Προμηθέας.

Κοντογεώργης, Αριστείδης. 1994. Ημιευσταθείς Ελλειπτικές Καμπύλες Και Το Τελευταίο Θεώρημα Του Fermat. Μεταπτυχιακή Εργασία Πανεπιστήμιο Κρήτης, Ηράκλειο.

Μέθοδοι Παραγοντοποίησης

Κριτήρια ελέγχου πρώτων αριθμών

Προκειμένου να κατασκευάσουμε αποτελεσματικά κρυπτοσυστήματα βασισμένα στη θεωρία αριθμών χρειαζόμαστε να κατασκευάσουμε πρώτους, και περισσότερο συγκεκριμένα, χρειαζόμαστε τεχνικές για να ελέγξουμε άν ένας δεδομένος φυσικός αριθμός είναι πρώτος ή όχι. Η γνώση και οι τεχνικές από τη θεωρία αριθμών είναι απαραίτητες και για περισσότερες λεπτομέρειες παραπέμπουμε στο (Αντωνιάδης και Κοντογεώργης 2015).

Μία αφελής μέθοδος ελέγχου πρώτων αριθμών θα ήταν να δοκιμάζουμε πιθανούς διαιρέτες. Καταρχήν μπορούμε να ελέγξουμε το μέγεθος των πρώτων διαιρετών ενός φυσικού:

Αν ο φυσικός αριθμός nn είναι σύνθετος, τότε έχει έναν πρώτο παράγοντα p,p≤n.p,\, p \leq \sqrt{n}.

Απόδειξη Αφού ο nn είναι σύνθετος, έχει τουλάχιστον μία ανάλυση της μορφής: n=a⋅b με 1<a≤b<n.n=a\cdot b \text{ με } 1<a\leq b <n. Ένα τουλάχιστον από τα a,ba,b είναι μικρότερο ή ίσο της n,\sqrt{n}, διότι αν a>na>\sqrt{n} και b>nb> \sqrt{n} θα είχαμε n=a⋅b>n⋅n=n,n=a\cdot b>\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}=n, άτοπο. Επειδή το a>1a>1 έχει, έναν τουλάχιστον πρώτο διαιρέτη p.p.

Ο πρώτος αυτός είναι διαιρέτης του nn και p≤a≤n.p\leq a \leq \sqrt{n}.

Παρατήρηση Η παραπάνω πρόταση μας δίνει ένα κριτήριο ελέγχου πρώτων αριθμών. Έτσι για παράδειγμα ο φυσικός αριθμός n=179n=179 είναι πρώτος. Αν ήταν σύνθετος θα είχε έναν πρώτο διαιρέτη p≤179<14.p\leq \sqrt{179}<14. Οι πρώτοι οι μικρότεροι του 14 είναι οι 2, 3, 5, 7, 11 και 13. Κανένας τους δεν διαιρεί το 179. Συνεπώς ο 179 δεν είναι σύνθετος, άρα είναι πρώτος. Φυσικά το κριτήριο δεν είναι εφαρμόσιμο για μεγάλους φυσικούς αριθμούς.

Παρατήρηση Αν γνωρίζαμε ότι ένας σύνθετος αριθμός nn περιέχει ℓ\ell-το πλήθος διαιρέτες τότε ένας τουλάχιστον από αυτούς θα είναι μικρότερος από την nℓ.\sqrt[\ell]{n}. Σε διαφορετική περίπτωση, αν δηλαδή και οι ℓ\ell διαιρέτες ήταν γνήσια μεγαλύτεροι του nℓ\sqrt[\ell]{n} τότε το γινόμενο θα ήταν γνήσια μεγαλύτερο του n.n.

Η κρυπτογραφία βασίζεται στη δυσκολία να παραγοντοποιήσουμε έναν σύνθετο αριθμό σε γινόμενο πρώτων. Από την παραπάνω παρατήρηση προκύπτει ότι δυσκολεύουμε περισσότερο την παραγοντοποίηση του αριθμού n,n, αν αυτός είναι γινόμενο δύο πρώτων που είναι περιπού ίδιου μεγέθους κοντά στην n.\sqrt{n}. Από την άλλη το να είναι το nn γινόμενο δύο πρώτων παραγόντων είναι η ``κερκόπορτα" του αλγορίθμου Fermat, που θα αναπτύξουμε παρακάτω.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη

Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, αν θέλουμε να βρούμε όλους τους πρώτους μέχρι τον φυσικό αριθμό n,n, γράφουμε όλους τους ακέραιους από το 22 μέχρι τον φυσικό αριθμό nn και διαγράφουμε διαδοχικά όλα τα πολλαπλάσια του 22 του 3,3, του 55 κλπ. Οι αριθμοί που απομένουν είναι πρώτοι.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη

Ψευδοπρώτοι

Ένα κριτήριο ελέγχου πρώτων είναι το θεώρημα του Fermat το οποίο αναφέρει ότι για πρώτους αριθμούς pp και (a,p)=1(a,p)=1 ισχύει ap≡amod.pa^p \equiv a \text{mod}. p Αν έχουμε λοιπόν έναν φυσικό αριθμό και θέλουμε να δούμε αν είναι πρώτος ή όχι μπορούμε να δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε αν ισχύει για κάποιο aa an≡amodna^n \equiv a \text{mod} n Αν στην παραπάνω εξίσωση δεν έχουμε ισότητα, τότε είμαστε σίγουροι ότι ο αριθμός nn δεν είναι πρώτος. Έτσι ο αριθμός 1010 δεν είναι πρώτος αφού 210≡4mod10.2^{10} \equiv 4 \text{mod} 10. Τι γίνεται όμως αν βρούμε ισότητα για παράδειγμα (2,341)=1,(2,341)=1, ο 341=11⋅31341=11\cdot 31 δεν είναι πρώτος και όμως έχουμε 2341≡2mod3412^{341} \equiv 2 \text{mod} 341

Ο αριθμός nn θα λέγεται ψευδοπρώτος ως προς τη βάση aa αν ισχύει an≡amodna^n \equiv a \text{mod} n

Είναι σαφές ότι στο παραπάνω κριτήριο δοκιμάζουμε μόνο μία βάση ενώ ένας πρώτος θα πρέπει να είναι ψευδοπρώτος για κάθε βάση (a,n)=1.(a,n)=1. Αυτό οδηγεί στον επόμενο

Ο σύνθετος ακέραιος n>1n>1 θα λέγεται αριθμός Carmichael όταν an≡amodna^n \equiv a \text{mod} n για κάθε ακέραιο a,a, (a,n)=1.(a,n)=1.

Είναι σαφές ότι υπάρχουν σύνθετοι αριθμοί Carmichael όπως ο 561=3⋅11⋅17,561=3\cdot 11 \cdot 17, όπως μπορούμε να τσεκάρουμε στο sage:

def IsCarmichael(a):
    R = Zmod(a)
    L = R.list_of_elements_of_multiplicative_group();
    Carmichael=True;
    for j in L:
        if Mod(j^a-j,a) <> Mod(0,a):
            Carmichael=False;
    return Carmichael

IsCarmichael(561)
True

Μπορούμε να προχωρήσουμε ψάχνοντας όλους τους αριθμούς Carmichael σε ένα συγκεκριμένο διάστημα:

[n for n in range(1,2000) if IsCarmichael(n)]
[1, 561, 1105, 1729]

Μπορείτε να συνεχίσετε το ψάξιμο όρων της ακολουθίας ή να την αναζητήσετε στη λίστα του Sloane

foo Interactive

Ενδιαφέρον είναι ότι το 17291729 είναι ένας Hardy-Ramanujan αριθμός ``Ταξί’’.

Διαβάστε

Άρθρο του S. Singh στο BBC news

Το κριτήριο Miller-Rabin

Παρατηρούμε ότι αν το pp είναι πρώτος αριθμός τότε η εξίσωση x2≡1modpx^2 \equiv 1 \text{mod} p έχει μοναδικές λύσεις x≡±1modp,x\equiv \pm 1 \text{mod} p, αφού αυτές είναι πάντα λύσεις και σε ένα σώμα μια εξίσωση έχει το πολύ τόσες ρίζες όσες ο βαθμός του πολυωνύμου. Στην περίπτωση που η εξίσωση x2≡1modn,x^2 \equiv 1 \text{mod} n, έχει και άλλες λύσεις, τότε το nn είναι σύνθετος.

Ένας αλγόριθμος Monte-Carlo είναι ένας πιθανοθεωρητικός αλγόριθμος του οποίου η απάντηση “Ναι” σε κάποιο πρόβλημα είναι πάντα σωστή, αλλά η απάντηση “όχι” μπορεί να είναι και λάθος.

Θα λέμε ότι ο αλγόριθμος Monte-Carlo έχει πιθανότητα λάθους ε,\varepsilon, όταν σε περιπτώσεις που η απάντηση θα έπρεπε να είναι είναι “ναι”, o αλγόριθμος δίνει τη λάθος απάντηση με πιθανότητα το πολύ ε.\varepsilon.

Ο αλγόριθμός Miller-Rabin είναι ένας Monte-Carlo αλγόριθμος στον οποίο η απάντηση “ναι” σημαίνει ότι ο nn είναι σύνθετος.

Θεωρούμε έναν περιττό φυσικό n,n, n>1n>1 τον οποίο γράφουμε στη μορφή: n−1=2k⋅m,n-1 = 2^k \cdot m, με (m,2)=1(m,2)=1 περιττός και k≥1.k\geq 1. Το κριτήριο Miller-Rabin δίνεται με τον αλγόριθμο, που περιγράφεται στα παρακάτω βήματα:

Επιλέγουμε τυχαία έναν ακέραιο a∈ℤ,a\in \mathbb{Z}, 1≤a≤n−1.1\leq a \leq n-1.

Υπολογίζουμε το b:=ammodn.b:=a^m \text{mod} n. Αν b≡1modn,b\equiv 1 \text{mod} n, τότε η απάντηση είναι: “o nn είναι πρώτος” και σταματάμε.

Σε διαφορετική περίπτωση υπολογίζουμε διαδοχικά τις δυνάμεις b,b2=a2m,b4=a22m,…,b2k−1mmodnb,b^2=a^{2m},b^4=a^{2^2 m}, \ldots, b^{2^{k-1}m} \text{mod} n Αν σε κάποιο βήμα βρούμε ότι a2im≡−1modn,a^{2^im}\equiv -1 \text{mod} n, τότε και πάλι απαντούμε ότι “o nn είναι πρώτος”. Αν δεν βρούμε ποτέ a2im≡−1modna^{2^im}\equiv -1 \text{mod} n απαντούμε ότι “o nn είναι σύνθετος”.

Θα αποδείξουμε ότι η απάντηση για τον nn ότι είναι σύνθετος είναι σίγουρη, ενώ η απάντηση ότι είναι πρώτος είναι επισφαλής. Υπάρχουν, σύνθετοι ακέραιοι που μασκαρεύονται σε πρώτους.

Έστω ότι ο αλγόριθμός δίνει απάντηση “Ναι, ο nn είναι σύνθετος”, για κάποιο πρώτο αριθμό n,n, και θα καταλήξουμε σε άτοπο.

Από την απάντηση που πήραμε συμπεραίνουμε ότι am≠1modn.a^m \neq 1 \text{mod} n. Επίσης ο αλγόριθμος ελέγχει τις τιμές am,a2m,…,a2k−1mmodn.a^m, a^{2m},\ldots, a^{2^{k-1} m} \text{mod} n. Και πάλι, αφού η απάντηση είναι ότι “ο nn είναι σύνθετος” έχουμε a2im≠−1modn,a^{2^i m} \neq -1 \text{mod} n, για κάθε i=0,1,2,…,k−1.i=0,1,2,\ldots,k-1. Αν όμως, όπως έχουμε υποθέσει, ο nn είναι πρώτος, το θεώρημα του Fermat δίνει an−1≡1modn,a^{n-1}\equiv 1 \text{mod} n, δηλαδή a2kχm≡1modna^{2^{kχ}m}\equiv 1 \text{mod} n Αν x:=a2k−1mx:=a^{2^{k-1}m} η ισοδυναμία γράφεται x2≡1modn.x^2 \equiv 1 \text{mod} n. Λόγω της υπόθεσης, ότι ο nn είναι πρώτος έπεται ότι η ισοδυναμία έχει μοναδικές λύσεις x=±1modn.x=\pm 1 \text{mod} n. Εμείς όμως έχουμε x=a2k−1m≠−1modn.x=a^{2^{k-1}m}\neq -1 \text{mod} n. Επομένως, αναγκαστικά θα ισχύει: x=a2k−1m≡1modn.x=a^{2^{k-1}m} \equiv 1 \text{mod} n. Αν τώρα y:=a2k−2m,y:=a^{2^{k-2}m}, έχουμε y2≡1modn,y^2 \equiv 1 \text{mod} n, οπότε, όπως και παραπάνω, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι y=a2k−2m≡1modn.y=a^{2^{k-2}m} \equiv 1 \text{mod} n. Συνεχίζουμε επαγωγικά και καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι και am≡1modn,a^m\equiv 1 \text{mod} n, άτοπο. Άρα ο nn είναι σύνθετος.

Αν ένας σύνθετος πρώτος δεν αναγνωριστεί ως τέτοιος από το κριτήριο των Miller-Rabin, ως προς τη βάση b,b, θα λέγεται ισχυρός ψευδο-πρώτος ως προς τη βάση b.b.

Θα αναφέρουμε το παρακάτω κριτήριο ελέγχου πρώτων:

Αν nn σύνθετος θετικός ακέραιος τότε ο nn περνάει το Miller-Rabin test το πολύ για n−14\frac{n-1}{4}-βάσεις b,b, 1≤b≤n−1.1\leq b \leq n-1.

Eπομένως, αν ένας φυσικός περάσει το test για περισσότερες από n−14\frac{n-1}4 βάσεις, τότε είναι πρώτος.

Ο αναγνώστης καλείται να πειραματιστεί με τον υπολογισμό των ισχυρών ψευδοπρώτων στο Sage:

foo Interactive

Ο κώδικας υπολογισμού προέρχεται από τη σελίδα του F. Chamizo.

Για το κριτήριο των Miller-Rabin ο αναγνώστης καλείται να πειραματιστεί με το Sage στον παρακάτω σύνδεσμο:

foo Interactive

Αποτυπώνουμε την έξοδο του προγράμματος παρακάτω: Με την παράμετρο secur=1 βλέπουμε μια λίστα των περιττών αριθμών 3<n<500003< n < 50000 που περνάνε το test, ενώ είναι σύνθετοι. Αλλάζοντας την παράμετρο σε secur =2 ο αλγόριθμος γίνεται ντετερμινιστικός.

secur = 1
for n in range(3,50000,2):
    if (is_prime(n)==False)and\
        (miller_rabin(n,secur)=='likely prime'):
        print n, 'passes the test but is not prime', factor(n)

2047 passes the test but is not prime 23 * 89
3277 passes the test but is not prime 29 * 113
4033 passes the test but is not prime 37 * 109
4681 passes the test but is not prime 31 * 151
8321 passes the test but is not prime 53 * 157
15841 passes the test but is not prime 7 * 31 * 73
29341 passes the test but is not prime 13 * 37 * 61
42799 passes the test but is not prime 127 * 337
49141 passes the test but is not prime 157 * 313

Παραγοντοποίηση

Η δυσκολία του συστήματος RSA βασίζεται στη δυσκολία παραγοντοποίησης. Για την κρυπτανάλυση τέτοιων συστημάτων χρειαζόμαστε αποτελεσματικούς αλγόριθμους παραγοντοποίησης.

Απλή δοκιμή

Πρόκειται για τον απλούστερο δυνατό αλγόριθμο για να παραγοντοποιήσουμε τον φυσικό n,n, και στον οποίο δοκιμάζουμε όλους τους πρώτους μικρότερους του n\sqrt{n}

def FactorTrial(n):
    primes=prime_range(sqrt(n))
    factors = []
    for p in primes:
        e = 0
        while n % p == 0:
            e = e + 1
            n = n // p
        if e > 0:
            factors.append((p, e))
            if n == 1:
                break
    return (Factorization(factors), n)

FactorTrial(382736482736)
(2^4 * 317, 75460663)

foo Interactive

Αλγόριθμος παραγοντοποίσης του Fermat

Η μέθοδος στηρίζεται στην ακόλουθη

Για κάθε περιττό φυσικό αριθμό n,n, n>1n>1 υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των παραγοντοποιήσεων του n,n, σε γινόμενο δύο θετικών ακέραιων n=ab,a≥b>0n=ab,\, a\geq b>0 και παραστάσεων του n,n, ως διαφορά τετραγώνων n=t2−s2,n=t^2-s^2, όπου ss και tt φυσικοί αριθμοί.

Η αντιστοιχία δίνεται από τις ισότητες t=a+b2,s=a−b2a=t+s,b=t−s.t=\frac{a+b}{2},\,s=\frac{a-b}{2}\,\, a=t+s,\, b=t-s.

Απόδειξη Αν n=a⋅b=(a+b2)2−(a−b2)2=t2−s2.n=a\cdot b=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2- \left(\frac{a-b}{2} \right)^2= t^2-s^2. Αν πάλι n=t2−s2=(t−s)(t+s)=a⋅b,n=t^2-s^2=(t-s)(t+s)=a\cdot b, όπου a=t−sa=t-s και b=t+s,b=t+s, δηλαδή t=a+b2t=\frac{a+b}{2} και s=a−b2s=\frac{a-b}{2}

Η ιδέα του Fermat ήταν, αν n=a⋅bn=a\cdot b και a,ba,\,b δύο περιττοί ακέραιοι, περίπου του ίδιου μεγέθους, τότε ο s=a−b2s=\frac{a-b}{2} είναι σχετικά μικρός και ο tt λίγο μεγαλύτερος της n.\sqrt{n}. Επομένως, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τους aa και bb δοκιμάζοντας διάφορες τιμές του tt στις [n]+1,[n]+2,…,[\sqrt{n}]+1,\, [\sqrt{n}]+2,\ldots, μέχρι να βρούμε κάποιο tt για το οποίο το t2−n=s2,t^2-n=s^2, είναι τέλειο τετράγωνο.

Παράδειγμα Να παραγοντοποιηθεί ο φυσικός αριθμός n=200819.n=200819.

Ο [n]+1=[200819]+1=449.[\sqrt{n}]+1=[\sqrt{200819}]+1=449. Για t=449t=449 υπολογίζουμε 4492−200819=782,449^2-200819=782, το οποίο δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Παίρνουμε t=450,4502−200819=1681=412.t=450,\, 450^2-200819=1681=41^2. Επομένως 200819=4502−412=(450+41)(450−41)=491⋅409.200819=450^2-41^2=(450+41)(450-41)=491\cdot 409.

Αν οι ακέραιοι aa και bb δεν είναι του ίδιου μεγέθους για κάθε παραγοντοποίηση του n=ab,n=ab, τότε είναι πιθανόν η μέθοδος Fermat να ανακαλύψει τους παράγοντες a,ba,\,b μετά από αρκετές δοκιμές. Στην περίπτωση είναι πιο βολικό να χρησιμοποιούμε την ακόλουθη γενίκευση.

Επιλέγουμε ένα μικρό φυσικό αριθμό kk και θέτουμε t=k[n]+1,k[n]+2,…t=k[\sqrt{n}]+1,\, k[\sqrt{n}]+2,\ldots μέχρι να επιτύχουμε παράσταση της μορφής t2−k⋅nt^2-k\cdot n η οποία είναι τέλειο τετράγωνο, t2−k⋅n=s2t^2-k \cdot n=s^2 Όταν τα επιτύχουμε αυτό έχουμε (t+s)(t−s)=kn.(t+s)(t-s)=kn. Αυτό σημαίνει ότι οι t+st+s και nn έχουν κάποιο, μη-τετριμμένο, κοινό παράγοντα ο οποίος ευρίσκεται από τον υπολογισμό του (t+s,n).(t+s,\, n).

Παράδειγμα Να παραγοντοποιηθεί ο 14167.14167.

Αν προσπαθήσουμε με την κλασική παραγοντοποίηση Fermat, θα πρέπει να θέσουμε t=377,378,…t=377,\,378,\,\ldots και να …κουραστούμε θέτοντας διάφορες τιμές του t.t. Αν όμως θέσουμε t=[3n+1]=652,653,654,655,t=[\sqrt{3n}+1]=652,\,653,\,654,\,655, βρίσκουμε 6552−3⋅141467=682655^2-3\cdot 141467=68^2 και υπολογίζουμε τον (655+68,141467)=241.(655+68,\,141467)=241.

Τελικά μια παραγοντοποίηση του αριθμού 1416714167 είναι 241⋅587.241\cdot 587.

Η απάντηση στο ερώτημα γιατί δούλεψε η μέθοδος για k=3k=3 είναι ότι στην παραγοντοποίηση του n=a⋅b=241⋅587n=a\cdot b=241\cdot 587 το b=587b=587 είναι κοντά στο 3a=3⋅241=723.3a=3\cdot 241=723.

Από τα παραπάνω φαίνεται ότι χρειαστήκαμε 4 μόνο τιμές του t,t, ενώ αν εφαρμόζαμε τη μέθοδο για k=1k=1 θα χρειαζόμασταν 38 τιμές του t.t.

Στο sage ορίζουμε τη συνάρτηση παραγοντοποίησης:

def Ferfac(m):
       if m <= 0: return [m]
       if is_even(m): return [2,m/2]
       a = ceil(sqrt(m))
       while not is_square(a^2-m):
         a = a + 1
       b = sqrt(a^2-m)
       return [a - b,a + b]

Την παραπάνω συνάρτηση χρησιμοποιούμε ως εξής:

p=next_prime(10^20)
q=next_prime(p+10^3)
p,q,p*q,Ferfac(p*q)
(100000000000000000039,
100000000000000001071,
10000000000000000111000000000000000041769,
[100000000000000000039, 100000000000000001071])

foo Interactive

Αλγόριθμος παραγοντοποίησης του Dixon

Αν x,yx,y ακέραιοι και x2≡y2modnx^2 \equiv y^2 \text{mod} n και x≠±y,x\neq \pm y, τότε ο φυσικός d=(x−y,n)d=(x-y,n) είναι μη-τετριμμένος παράγοντας του n.n.

Απόδειξη Έχουμε n∣x2−y2=(x−y)(x+y),n \mid x^2-y^2=(x-y)(x+y), ενώ nn δεν διαιρεί το (x−y)(x-y) και nn δεν διαιρεί το (x+y).(x+y). Είναι φανερό ότι d∣n.d\mid n. Θα αποδείξουμε ότι 1<d<n.1< d < n.

Αν d=n,d=n, θα είχαμε n∣(x−y),n\mid (x-y), άτοπο. Αν d=1d=1 τότε αφού n=(x+y)(x−y)n=(x+y)(x-y) και (x−y,n)=1(x-y,n)=1 έπεται ότι n∣(x+y),n \mid (x+y), πάλι άτοπο. □\Box

Παράδειγμα Υπολογίζουμε ότι 102≡322mod77,10^2\equiv 32^2 \text{mod} 77, 10≠32mod77,10 \neq 32 \text{mod} 77, 10≠−32mod77.10\neq -32 \text{mod} 77. Επομένως ο 7777 και ένας γνήσιος παράγοντας αυτού είναι ο (10−32,77)=11.(10-32,77)=11.

Υπάρχουν αρκετές παραλαγές του αλγορίθμου αυτού στο πώς θα υπολογίζουμε τους ακέραιους x,yx,y ώστε x2≡y2modn.x^2 \equiv y^2 \text{mod} n. Ας εξετάσουμε μία:

Διαλέγουμε ένα φράγμα BB και θεωρούμε τους πρώτους p1,…,pnp_1,\ldots,p_n που είναι μικρότεροι ή ίσοι του B.B. Στη συνέχεια ψάχνουμε θετικούς ακέραιους zz ώστε z2modNz^2 \text{mod} N να έχει παράγοντες στο σύνολο των P={p1,…,pn}.P=\{p_1,\ldots,p_n\}. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε z2≡∏pi∈PpiaimodΝ.z^2 \equiv \prod_{p_i\in P} p_i^{a_i} \text{mod} Ν. Όταν έχουμε αρκετές από τις παραπάνω σχέσεις (αρκεί να έχουμε περισσότερες από το πλήθος του PP), τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαλοιφής του Gauss προκειμένου να πολλαπλασιάσουμε τις σχέσεις αυτές ώστε το πλήθος των παραγόντων στο αριστερό μέλος της εξίσωσης να είναι άρτιος, δηλαδή: z12z22⋯zk2≡∏pi∈Ppiai,1+ai,2+⋯+ai,kmodNz_1^2 z_2^2 \cdots z_k^2 \equiv \prod_{p_i\in P} p_i^{a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots+a_{i,k}}\ \text{mod}{N} όπου ai,1+ai,2+⋯+ai,k≡0mod2.a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots+a_{i,k} \equiv 0\text{mod}{2}. Πράγματι #P+1\#P+1 σχέσεις της μορφής zj2≡∏pi∈Ppiai,jmodΝ,z_j^2 \equiv \prod_{p_i\in P} p_i^{a_{i,j}} \text{mod} Ν, μπορούν να αποτυπωθούν ως ένας πίνακας στο σώμα 𝔽2\mathbb{F}_2 με #P+1\#P+1 γράμμες και #P\#P στήλες, από όπου μπορούμε να βρούμε μια σχέση γραμμικής 𝔽2\mathbb{F}_2-εξάρτησης.

Ας κάνουμε ένα παράδειγμα: έστω n=3439.n=3439. Θεωρούμε ως P={2,3,5,7}P=\{2,3,5,7\} και έχουμε τις παρακάτω σχέσεις:

xx | x2−nx^2-n
5959 | 42=2⋅3⋅742=2 \cdot 3 \cdot 7
6262 | 405=33×5405= 3^3 \times 5
6767 | 1050=2×3×52×71050=2 \times 3 \times 5^2 \times 7
7373 | 1890=2×33×5×71890= 2 \times 3^3 \times 5 \times 7
143143 | 17010=2×35×5×717010=2 \times 3^5 \times 5 \times 7

Οι εκθέτες απομονώνονται ως:

αριθμός | εκθέτης
42 | (1,1,0,1)
405 | (0,4,1,0)
1050 | (1,1,2,1)
1890 | (1,3,1,1)
17010 | (1,5,1,1)

οι οποίοι modulo 2 δίνουν τον πίνακα:

αριθμός | εκθέτης
42 | (1,1,0,1)
405 | (0,0,1,0)
1050 | (1,1,0,1)
1890 | (1,1,1,1)
17010 | (1,1,1,1)

Για να βρούμε έναν κατάλληλο πολλαπλασιασμό θεωρούμε τον 5×45\times 4 πίνακα με στοιχεία από τον 𝔽2\mathbb{F}_2 Α=(11010010110111111111)Α=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1& 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} και κάθε στοιχείο του πυρήνα θα μας δώσει τη σχέση που θέλουμε. Για παράδειγμα, το (1,0,1,0,0)∈kerA(1,0,1,0,0) \in \mathrm{ker}A μας δίνει τον πολλαπλασιασμό: 39532=(59×67)≡(2×3×5×7)2modn.3953^2=(59\times 67) \equiv (2\times 3 \times 5 \times 7)^2 \text{mod} n. Αφού δε 3953±210≠0modn3953 \pm 210 \neq 0 \text{mod} n καταλήγουμε στο (3953−210,n)=19,(3953-210,n)=19, 3953+210,n)=181.3953+210,n)=181.

Με αυτόν τον τρόπο έχουμε καταλήξει σε μία σχέση τετραγώνων της μορφής x2≡y2modNx^2 \equiv y^2 \text{mod} N όπως θέλαμε.

Η υλοποίηση στο sage είναι αρκετά πολύπλοκη, αφού χρειαζόμαστε σειρά από αλγορίθμους να χειριστούν κάθε κομμάτι της διαδικασίας. Ακολουθούμε τον κώδικα από το Blog του F. Kraiem και ο αναγνώστης καλείται να πειραματιστεί στους παρακάτω συνδέσμους:

foo Interactive

Στην παραπάνω υλοποίηση κατασκευάζεται μία υπορουτίνα παραγοντοποίησης ενός ακέραιου ως προς ένα σύνολο πρώτων PP η trial(n,primes), μία υπορουτίνα αναγνώρισης αριθμών που διαιρούνται μόνο από πρώτους στο P,P, η smooth(n,fbase). Αν η είσοδος διαιρείται μόνο από πρώτους στο σύνολο PP επιστρέφει τη λίστα των εκθετών, σε διαφορετική περίπτωση δεν επιστρέφει τίποτα. Επιπλέον υλοποιείται μια υπορουτίνα η dixonfact(n,primes) που βρίσκει έναν μη-τετριμμένο παράγοντα.

O p-1-αλγόριθμος παραγοντοποίησης του Pollard

Υποθέτουμε ότι μας δίνεται ο φυσικός αριθμός nn για τον οποίο υποψιαζόμαστε ότι είναι σύνθετος και θέλουμε να τον παραγοντοποίησουμε. Επιλέγουμε έναν ακέραιο B,B, ως φράγμα εργασίας.

Θέτουμε a=2a=2

Υπολογίζουμε τις δυνάμεις α=ajmodn\alpha=a^j \text{mod} n για j=2,3,…,Bj=2,3,\ldots,B

Υπολογίζουμε το d=(α−1,n)d=(\alpha-1,n)

Αν 1<d<n,1< d < n, τότε ο dd είναι ένας γνήσιος παράγοντας του nn (επιτυχία), αλλιώς δεν βρήκαμε γνήσιο παράγοντα του nn (αποτυχία).

Αν τώρα pp πρώτος διαιρέτης του nn και υποθέτουμε ότι κάθε δύναμη πρώτου διαιρέτη του p−1,p-1, έστω q,q, είναι μικρότερη ή ίση του BB θα έχουμε (p−1)∣B!(p-1) \mid B!

Για το τελικό α\alpha που θα βρούμε στο δεύτερο βήμα του αλγορίθμου ισχύει α≡2B!modn\alpha\equiv 2^{B!} \text{mod} n και κατ’ επέκταση α≡2B!modp,\alpha \equiv 2^{B!} \text{mod} p, για όλους τους διαιρέτες του n.n. Επειδή (p−1)∣Β!(p-1) \mid Β! έπεται ότι B!=(p−1)tB!=(p-1)t με t∈ℤt\in \mathbb{Z} και συνεπώς 2B!≡(2p−1)tmodp2^{B!} \equiv (2^{p-1})^t \text{mod} p Επειδή 2p−1≡1modp,2^{p-1} \equiv 1 \text{mod} p, τελικά προκύπτει ότι α≡2B!≡1modp.\alpha\equiv 2^{B!}\equiv 1 \text{mod} p.

Επειδή p∣(α−1)p \mid (\alpha-1) και p∣n,p \mid n, έπεται ότι p∣(α−1,n)=:dp\mid (\alpha-1,n)=:d και συνεπώς 1<p≤d.1<p \leq d. Αν d=n,d=n, θα είχαμε n∣(α−1).n\mid (\alpha-1). Όμως το α−1<n\alpha-1<n οπότε θα έπρεπε α=1.\alpha=1. Επομένως, βρίσκουμε έναν μη-τετριμμένο παράγοντα dd του nn και συνεχίζουμε την προσπάθεια παραγοντοποίησης των dd και n/d.n/d.

Παράδειγμα: Θεωρούμε τον φυσικό n=540143.n=540143. Επιλέγουμε B=8.B=8. Επομένως k:=[1,2,…,8]=840.k:=[1,2,\ldots,8]=840. Θέτουμε a=2a=2 και υπολογίζουμε 2840≡53047modn2^{840} \equiv 53047 \text{mod} n Επίσης (53047,n)=421(53047,n)=421 συνεπώς 540143−421⋅1283.540143-421 \cdot 1283.

Παρατήρηση: Αν το BB που επιλέξαμε δεν αρκεί για το σκοπό του επιλέγουμε κάποιον άλλο μεγαλύτερο του αρχικού και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία.

Μερικές φορές ο αλγόριθμος δεν λειτουργεί για a=2,a=2, οπότε μπορούμε να δοκιμάσουμε για a=3a=3 και αν πάλι δεν λειτουργεί να δοκιμάσουμε με μεγαλύτερες τιμές του a.a.

Παράδειγμα Επιθυμούμε να παραγοντοποιήσουμε τον n=187.n=187. Επιλέγουμε B=15.B=15. Επομένως k=[1,2,…,15]=360360.k=[1,2,\ldots,15]=360360. Για a=2a=2 ο (2360360−1,187)=187(2^{360360}-1,187)=187 και δεν καταφέρνουμε να τον παραγοντοποιήσουμε.

Για a=3a=3 έχουμε 3360360−1≡66mod1873^{360360}-1\equiv 66 \text{mod} 187 και επομένως (3360360−1,187)=(66,187)=11.(3^{360360}-1,187)=(66,187)=11. Συνεπώς 187=11⋅17.187=11\cdot 17.

Παράδειγμα Ο παρακάτω κώδικας sage υλοποιεί τον αλγόριθμο του Pollard:

def EKP(B):
     return prod([p^int(math.log(B)/math.log(p))
     for p in prime_range(B+1)])
N=3*13*37
print "N=",N
B=10
print "B=",B
m=EKP(B)
print "EKP=",m
a=2
print gcd(a^m-1,N)
a=3
print gcd(a^m-1,N)

Θεωρούμε τον αριθμό Ν=1443.Ν=1443. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών από 1 μέχρι 10 υπολογίζεται να είναι m=2520.m=2520. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (2m−1,N)=1443)(2^ m-1,N)=1443) και η μέθοδος του Pollard αποτυγχάνει στην περίπτωση αυτή. Όμως (3m−1,N)=481(3^ m-1,N)=481 που είναι ένας μη τετριμμένος διαιρέτης του Ν.Ν. Μπορείτε να δοκιμάστε παραδείγματα στο sage στον σύνδεσμο:

foo Interactive

Ο αλγόριθμος παραγοντοποίησης ρ του Pollard.

Η ιδέα του αλγορίθμου είναι η εξής:

Έστω nn σύνθετος ακέραιος και pp o ελάχιστος πρώτος παράγοντας του n.n. Αν μπορούμε να βρούμε ακέραιους x0,x1,x2,…,xℓx_0,x_1,x_2,\ldots,x_\ell τέτοιους ώστε για κάποιους δείκτες i,j∈{0,1,2,…,ℓ}i,j \in \{0,1,2,\ldots,\ell\} να ισχύουν xi≡xjmodp και xi≠xjmodn,x_i \equiv x_j \text{mod} p \text{ και } x_i \neq x_j \text{mod} n, τότε ο (xi−xj,n)(x_i-x_j,n) είναι ένας γνήσιος διαιρέτης του nn αφού p∣(xi−xj,n)∣np\mid (x_i-x_j,n) \mid n και (xi−xj,n)≠n.(x_i -x_j,n) \neq n.

Τα ερωτήματα που προκύπτουν είναι πώς θα επιλέξουμε τα xix_i και στη συνέχεια με ποιον σύντομο τρόπο θα διαπιστώσουμε την ύπαρξη ενός κατάλληλου ζευγαριού με τις παραπάνω ιδιότητες. Είναι φανερό ότι ο υπολογισμός του (xi−xj,n)(x_i-x_j,n) για όλους τους δείκτες 0≤i,j≤ℓ0\leq i,j \leq \ell είναι μια αρκετά χρονοβόρα διαδικασία.

Η ακολουθία x0,x1,…,xℓx_0,x_1,\ldots, x_\ell θα πρέπει να είναι κατά το δυνατόν τυχαία (random) ακολουθία. Επιλέγουμε τυχαία το x0=2x_0=2 και μια πολυωνυμική συνάρτηση f(x)f(x) με ακέραιους συντελεστές και υπολογίζουμε αναδρομικά τους υπόλοιπους όρους της ακολουθίας xi+1≡f(xi)modn,0≤xi+1<n.x_{i+1} \equiv f(x_i) \text{mod} n, 0 \leq x_{i+1} < n. Για να επαναλαμβάνονται οι όροι της ακολουθίας (modp\text{mod} p) μετά από λογικό αριθμό βημάτων θα πρέπει να επιλέξουμε κατάλληλη πολυωνυμική συνάρτηση f(x).f(x). Δεν θέλουμε να υπάρχει κάποιος ακέραιος amodpa\text{mod} p τέτοιος ώστε η ακολουθία x1=f(a),x2=f(x1)=f(f(a))=f(2)(a),…,xℓ=f(ℓ)(a)x_1=f(a),x_2=f(x_1)=f(f(a))=f^{(2)}(a),\ldots, x_\ell=f^{(\ell)}(a) να δίνει για μεγάλο ℓ\ell διαφορετικές τιμές modp.\text{mod} p.

Ας ονομάσουμε ((ρ\rho-αριθμό)) μιας τέτοιας ακολουθίας xix_i ως προς τον πρώτο αριθμό pp τον μεγαλυτερο ακέραιο mm για τον οποίο υπάρχει ένα amodpa \text{mod} p τέτοιο ώστε όλοι οι όροι της ακολουθίας f(a),…,f(m)(a)f(a),\ldots, f^{(m)}(a) να είναι ανά δύο διαφορετικοί modp.\text{mod} p. Εμείς θέλουμε ακολουθίες με μικρό ρ\rho-αριθμό. Επομένως δεν μπορούμε να επιλέξουμε πρωτοβάθμια πολυωνωμική συνάρτηση f(x)=aX+b.f(x)=aX+b. Αυτό διότι, όταν a≠1modp,a\neq 1 \text{mod} p, τότε ο ((ρ\rho-αριθμός)) είναι η τάξη του amodpa \text{mod} p και αυτός είναι συνήθως ένας μεγάλος διαιρέτης του p−1.p-1.

Αν a≡1modpa\equiv 1 \text{mod} p και b≠0modp,b\neq 0 \text{mod} p, τότε f(X)=X+bf(X)=X+b και ο ρ\rho-αριθμός είναι ακριβώς p,p, αφού f(x1)≡f(x2)modpf(x_1)\equiv f(x_2) \text{mod} p αν και μόνο αν x1≡x2modp.x_1 \equiv x_2 \text{mod} p.

Θα πρέπει επομένως να επιλέξουμε μία πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού φαίνεται ότι μια καλή επιλογή είναι η πολυωνυμική συνάρτηση f(X)=X2+1.f(X)=X^2+1.

Τώρα είναι φανερό ότι αν xi≡xjmodp,x_i \equiv x_j \text{mod} p, τότε και xi+1≡f(xi)≡f(xj)≡xj+1modp.x_{i+1} \equiv f(x_i) \equiv f(x_j) \equiv x_{j+1} \text{mod} p. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία γίνεται από ένα σημείο και πέρα, περιοδική (modp\text{mod} p) με περίοδο (i−j).(i-j). Συνεπώς, αν r≥i,t≥i,r\geq i,t\geq i, kai r≡tmod(i−j)r\equiv t \text{mod} (i-j) τότε xr≡xtmodp.x_r \equiv x_t \text{mod} p. Αν λοιπόν ss είναι το ελάχιστο πολλαπλάσιο του (i−j)(i-j) το οποίο είναι ≥i,\geq i, έχουμε x2s≡xsmodp.x_{2s}\equiv x_s \text{mod} p. Υπολογίζουμε επομένως πολύ λιγότερους μέγιστους κοινούς διαιρέτες από τους συνδυασμούς ανά δύο. Συγκεκριμένα υπολογίζουμε τους (x2s−xs,n) με s=1,2,3,…(x_{2s}-x_s,n) \text{ με } s=1,2,3,\ldots μέχρι να βρούμε κάποιον διάφορο του 11 και του n.n.

Παράδειγμα Έστω n=2047.n=2047. Για x0=2x_0=2 και f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 υπολογίζουμε τους όρους της ακολουθίας xi+1=f(xi)modnx_{i+1}=f(x_i) \text{mod} n x0=2x1=5x2=26x3=677x4=1849x5=312x6=1136x7=887x8=722x9=1347x10=768x11=289x12=1642\begin{array}{ccccc} x_0=2& x_1=5& x_2=26& x_3=677\\ x_4=1849 & x_5=312 & x_6=1136& x_7=887 \\x_8=722 &x_9=1347 &x_{10}=768 &x_{11}=289&x_{12}=1642 \end{array} Στη συνέχεια υπολογίζουμε τους (x2s−xs,n), για s=1,2,3,4,5,6(x_{2s}-x_s,n), \text{ για } s=1,2,3,4,5,6 (26−5,2047)=1(26-5,2047) = 1 (1849−26,2047)=1(1849-26,2047) = 1 (1136−677,2047)=1(1136-677,2047) = 1 (722−1842,2047)=1(722-1842,2047) = 1 (768−312,2047)=1(768-312,2047) = 1 (1642−1136,2047)=23(1642-1136,2047) = 23 Επομένως 2047=23⋅89.2047=23\cdot 89.

Στο παράδειγμά μας έχουμε x1≡5mod23x2≡3mod23x3≡10mod23x4≡9mod23x5≡13mod23x6≡9mod23x7≡13mod23x8≡9mod23x9≡13mod23x10≡9mod23x11≡13mod23x12≡9mod23\begin{array}{ccc} x_1\equiv 5 \text{mod} 23 & x_2\equiv 3 \text{mod} 23 & x_3 \equiv 10 \text{mod} 23 \\ x_4\equiv 9 \text{mod} 23 & x_5\equiv 13\text{mod} 23 & x_6 \equiv 9 \text{mod} 23 \\ x_7\equiv 13\text{mod} 23 & x_8\equiv 9 \text{mod} 23 & x_9 \equiv 13 \text{mod} 23 \\ x_{10} \equiv 9 \text{mod} 23 & x_{11} \equiv 13 \text{mod} 23 & x_{12} \equiv 9 \text{mod} 23 \end{array}

Σχήμα ρ

Παρατήρηση Όταν γνωρίζουμε το xix_i προκειμένου να υπολογίσουμε το x2ix_{2i} δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε όλους τους ενδιάμεσους όρους xi+1,xi+2,…,x2i−1,x2i.x_{i+1},x_{i+2},\ldots,x_{2i-1},x_{2i}. Αν yi=x2iy_i=x_{2i} παρατηρούμε ότι y1=x2=f(x1)=f(f(x0))=f(f(y0)),y_1=x_2=f(x_1)=f(f(x_0))=f(f(y_0)), y2=x4=f(x3)f(f(x2))=f(f(y1))y_2=x_4=f(x_3)f(f(x_2))=f(f(y_1)) και γενικότερα yi=x2i=f(f(yi−1)).y_i=x_{2i}=f(f(y_{i-1})). Επομένως σε κάθε βήμα υπολογίζουμε xi=f(xi−1)modnx_i = f(x_{i-1}) \text{mod} n yi=f(f(yi−1))modny_i = f(f(y_{i-1})) \text{mod} n

Παραγοντοποίηση με ελλειπτικές καμπύλες

Όπως είδαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο, η μέθοδος RSA βασίζεται στη δυσκολία να παραγοντοποιήσουμε μεγάλους ακέραιους αριθμούς. Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε τη μέθοδο του Lenstra (Lenstra 1987), η οποία χρησιμοποιεί ελλειπτικές καμπύλες για την παραγοντοποίηση.

“Hendrik Lenstra MFO” Δημιουργός: George M. Bergman, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

Από τη μέθοδο του Pollard στη μέθοδο του Lenstra.

Σταθεροποιούμε ένα BB όπως και στη μέθοδο του Pollard. Αν N=pqN=pq με p,qp,q πρώτοι ώστε οι p−1p-1 και q−1q-1 να μην είναι BB-ομαλοί, τότε η μέθοδος του Pollard θα αποτύχει.

Η μέθοδος του Pollard δουλεύει στην ουσία στην κυκλική ομάδα 𝔽p*\mathbb{F}_p^* η οποία έχει σταθερή τάξη p−1.p-1. Οι ελλειπτικές καμπύλες δίνουν μια οικογένεια ομάδων που σχετίζονται με το p,p, αλλά η τάξη τους μπορεί να πάρει τις τιμές #E(𝔽p)=p+1±s,\#E(\mathbb{F}_p)=p+1\pm s, όπου το ss μπορεί να πάρει τιμές στο διάστημα 0≤s≤2p0\leq s\leq 2\sqrt{p} σύμφωνα με το θεώρημα του Hasse. Υπάρχει λοιπόν πολύ μεγαλύτερη επιλογή στις τάξεις της ομάδας. Ο αριθμός p−1p-1 μπορεί να μην είναι BB-ομαλός αλλά να είναι BB-ομαλός ο p−2.p-2.

Περιγραφή της Μεθόδου

Διαλέγουμε το B.B.

Υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 1,…,B.1, \ldots, B.

Διαλέγουμε μια τυχαία ελλειπτική καμπύλη στον δακτύλιο ℤ/Nℤ\mathbb{Z}/N\mathbb{Z} και ένα σημείο επί αυτής. Για παράδειγμα αν διαλέξουμε ένα τυχαίο a∈ℤ/Nℤa \in \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} ώστε 4a3+274a^3 +27 δεν είναι διαιρετό με NN τότε το σημείο P=(0,1)P=(0,1) είναι σημείο πάνω στην ελλειπτική καμπύλη y2=x3+ax+1.y^2 =x^3 +a x +1.

Επιχειρούμε να υπολογίζουμε τις δυνάμεις mP.mP. Αν κάπου αποτύχουμε να υπολογίσουμε μια δύναμη αυτό θα οφείλεται στο ότι κάποιος παρονομαστής Π\Pi στους τύπους πρόσθεσης σημείων είναι διαιρετός με N.N. Αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (Π,N)<N,(\Pi,N)<N, τότε το (Π,N)(\Pi,N) είναι ένας μη-τετριμμένος διαιρέτης του NN και η μέθοδος έχει ολοκληρωθεί. Διαφορετικά δοκιμάζουμε με διαφορετική ελλειπτική καμπύλη.

Ο παρακάτω κώδικας είναι από το βιβλίο (Stein 2008) Elementary Number Theory

def ecm(N, B=10^3, trials=10):
    m = prod([p^int(math.log(B)/math.log(p))
              for p in prime_range(B+1)])
    R = Integers(N)
    R.is_field = lambda : True
    for _ in range(trials):
            while True:
                a = R.random_element()
                if gcd(4*a.lift()^3 + 27, N) == 1: break
            try:
                m * EllipticCurve([a, 1])([0,1])
            except ZeroDivisionError, msg:
                ##msg: "Inverse of <int> does not exist"
                return gcd(Integer(str(msg).split()[2]), N)
    return 1

N=5959
ecm(N, B=20)

foo Interactive 1 Interactive 2

Lenstra Jr., H. W. (1987). “Factoring integers with elliptic curves”. Annals of Mathematics 126 (3): 649–673. JSTOR 1971363. MR 89g:11125

Η πρόκληση παραγοντοποίησης της RSA

Τα εργαστήρια της RSA, μιας εταιρίας που ιδρύθηκε από τους εφευρέτες του ομώνυμου αλγορίθμου έχουν δημοσιεύσει μια λίστα από σύνθετους αριθμούς, για τους οποίους μέχρι το 2007 έδιναν και χρηματικά έπαθλα για την παραγοντοποίησή τους. Κάποιοι από αυτούς παραγοντοποιήθηκαν άμεσα, ενώ ο μεγαλύτερος από αυτούς (για τον οποίο υπήρχε και ένα έπαθλο 200.000 δολλαρίων) θα αργήσει πολύ να παραγοντοποιηθεί.

RSA-2048 =  25195908475657893494027183240048398571
            42928212620403202777713783604366202070
            75955562640185258807844069182906412495
            15082189298559149176184502808489120072
            84499268739280728777673597141834727026
            18963750149718246911650776133798590957
            00097330459748808428401797429100642458
            69181719511874612151517265463228221686
            99875491824224336372590851418654620435
            76798423387184774447920739934236584823
            82428119816381501067481045166037730605
            62016196762561338441436038339044149526
            34432190114657544454178424020924616515
            72335077870774981712577246796292638635
            63732899121548314381678998850404453640
            23527381951378636564391212010397122822
            120720357

Βιβλιογραφία

Lenstra, H W, Jr. 1987. “Factoring Integers with Elliptic Curves.” Ann. Math., Second Series, 126 (3). Annals of Mathematics: 649–73. doi:10.2307/1971363.

Stein, W. 2008. Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets: A Computational Approach. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer New York. https://books.google.gr/books?id=5hYd0yX4mrMC.

Αντωνιάδης, Ι., και A. Κοντογεώργης. 2015. Θεωρία Αριθμών Και Εφαρμογές. Εκδόσεις Κάλλιπος.

Κατασκευή Ελλειπτικών Καμπυλών με δεδομένη τάξη

Σε αυτό το κεφάλαιο αντιμετωπίζουμε τα παρακάτω προβλήματα:

Δοσμένης μιας ελλειπτικής καμπύλης EE ορισμένης πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα 𝔽q\mathbb{F}_q πώς μπορούμε να μετρήσουμε την τάξη της ομάδας #E(𝔽p)\#E(\mathbb{F}_p);

Αν δοθεί ένας αριθμός ΝΝ μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ελλειπτική καμπύλη που να έχει τάξη ίση με NN;

Τα παραπάνω προβλήματα σχετίζονται άμεσα με την ασφάλεια των αλγορίθμων που παράγονται από μια δεδομένη ελλειπτική καμπύλη. Προκειμένου ένα ελλειπτικό κρυπτοσύστημα να είναι ασφαλές στις γνωστές επιθέσεις θα πρέπει η τάξη της ελλειπτικής καμπύλης να πληροί μια σειρά από ιδιότητες. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τις μεθόδους που χρησιμοποιούμε παραπέμπουμε στο (Blake, Seroussi, and Smart 1999). Για μια περισσότερο θεωρητική προσέγγιση της θεωρίας των ελλειπτικών καμπυλών παραπέμπουμε στο (Αντωνιάδης 1999), (Milne 2006) και (Silverman 1986).

Αλγόριθμοι μέτρησης σημείων

Ο Αλγόριθμός του Shanks

O αλγόριθμος αυτός ξεκινάει με ένα τυχαίο σημείο P∈E(𝔽p)P \in E(\mathbb{F}_p) και υπολογίζει έναν ακέραιο mm στο διάστημα (p+1−2p,p+1+2p),(p+ 1−2\sqrt{p}, p+ 1 + 2\sqrt{p}), τέτοιον ώστε [m]P=0.[m]P = 0. Εάν ο mm είναι ο μόνος ακέραιος με αυτή την ιδιότητα, τότε σύμφωνα με το φράγμα του Hasse προκύπτει ότι m=#E(𝔽p).m = \#E(\mathbb{F}_p). Για να βρει το σημείο εκκίνησης P=(x,y)∈E(𝔽p),P = (x, y) \in E(\mathbb{F}_p), ο αλγόριθμος διαλέγει τυχαίες τιμές του xx ώσπου το x3+ax+bx^3 + ax + b να είναι τετράγωνο στο 𝔽p.\mathbb{F}_p. Τότε υπολογίζει μία τετραγωνική ρίζα yy του x3+ax+b.x^3 + ax + b.

Ο αριθμός mm υπολογίζεται σύμφωνα με τη στρατηγική baby step giant step που μελετήσαμε στο πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου. Ο αλγόριθμος δίνεται από τα παρακάτω βήματα:

Επιλέγουμε τυχαίο σημείο P∈E(𝔽p)P \in E(\mathbb{F}_p) και θέτουμε k=⌈2p4⌉.k=\lceil 2\sqrt[4]{p}\rceil.

Υπολογίζουμε τα i⋅Pi\cdot P για τις τιμές i=0,…,k−1.i=0,\ldots,k-1. Αν για κάποιο ii υπολογίσουμε i⋅P=0i\cdot P=0 τότε επιστρέφουμε στο βήμα 1 και επιλέγουμε ένα νέο σημείο P.P.

Θέτουμε Q=k⋅P.Q=k\cdot P.

Υπολογίζουμε το Rj=⌊p+1−2p⌋⋅P+j⋅Q.R_j=\lfloor p+1-2\sqrt{p}\rfloor \cdot P + j\cdot Q. για τις τιμές j=1,…,kj=1,\ldots,k και ελέγχουμε αν Rj=i⋅PR_j=i\cdot P για κάποιο i.i. Αν βρούμε μόνο ένα ζευγάρι (i,j)(i,j) με Rj=i⋅PR_j=i\cdot P τότε η τάξη της ομάδας είναι #E(𝔽p)=⌊p+1−2p⌋+k⋅j−i\#E(\mathbb{F}_p)=\lfloor p+1-2\sqrt{p}\rfloor+k\cdot j -i και ο αλγόριθμος τερματίζεται. Σε διαφορετική περίπτωση αν βρούμε δύο τέτοια ζευγάρια (i,j)(i,j) και (i′,j′)(i',j') μπορούμε να υπολογίσουμε την τάξη του σημείου PP από τη σχέση |P|=|k(j−j′)−(i−i′)|.|P|=|k(j-j')-(i-i')|. Στην περίπτωση που |P|<p−1,|P|< \sqrt{p}-1, επιστρέφουμε στο βήμα 1. και διαλέγουμε ένα άλλο σημείο.

Υπολογίζουμε ένα δεύτερο τυχαίο σημείο P′∈E(𝔽p).P'\in E(\mathbb{F}_p). Με τα βήματα 2-4 υπολογίζουμε την τάξη του. Υπολογίζουμε την τάξη του P′P' στην ομάδα πηλίκο E(𝔽p)/⟨P⟩,E(\mathbb{F}_p)/\langle P \rangle, δηλαδή τον ελάχιστο διαιρέτη του d′d' του |P′||P'| ώστε d′⋅P′∈⟨P⟩.d'\cdot P' \in \langle P \rangle. Αυτό πάλι μπορεί να γίνει με τη βοήθεια μιας baby-step giant step μεθόδου. Αν d=|P|⋅d′<4p,d=|P|\cdot d' < 4 \sqrt{p}, τότε επιστρέφουμε στο βήμα 5.

Προσδιορίζουμε το ελάχιστο πολλαπλάσιο xx του dd στο διάστημα [p+1−2p,p+1+2p].[p+1-2\sqrt{p},p+1+2\sqrt{p}]. Τότε το #E(Fp)=x\#E(F_p)=x και ο αλγόριθμος τερματίζεται.

Θα περιγράψουμε τώρα γιατί ο παραπάνω αλγόριθμος δίνει αποτελέσματα. Η συνθήκη τερματισμού στο βήμα 4 είναι σωστή γιατί η τάξη της ομάδας βρίσκεται στο διάστημα του Hasse. Από την άλλη, η τάξη είναι πολλαπλάσιο της τάξης του PP και υπάρχει μόνο ένα πολλαπλάσιο του PP στο διάστημα Hasse αφού εξασφαλίσαμε ότι |P|≥4p|P| \geq 4 \sqrt{p} και αυτό πρέπει να είναι η τάξη της ομάδας.

Επιπλέον γνωρίζουμε ότι πάνω από το 𝔽p\mathbb{F}_p η δομή της ομάδας E(𝔽p)E(\mathbb{F}_p) είναι η E(𝔽p)≅ℤmℤ×ℤnℤ,E(\mathbb{F}_p)\cong \frac{\mathbb{Z}}{m \mathbb{Z}} \times \frac{\mathbb{Z}}{n \mathbb{Z}}, όπου χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι m≥n≥1.m\geq n \geq 1. Αν m≥4pm\geq 4 \sqrt{p} τότε μπορεί να αποδειχτεί ότι ένα σχετικά μεγάλο μέρος των σημείων της EE έχει τάξη ≥4p.\geq 4 \sqrt{p}. Αν βρεθεί ένα τέτοιο σημείο τότε ο αλγόριθμος τερματίζεται στο βήμα 4.

Σε κάθε περίπτωση #E(𝔽p)≥(p−1)2\#E(\mathbb{F}_p)\geq (\sqrt{p}-1)^2 και συνεπώς mp−1.m \sqrt{p}-1. Συνεπώς, είναι πολύ πιθανό το βήμα 1. να επιλέξει ένα τέτοιο σημείο μετά από επαναλήψεις των βημάτων 1-4. Για να ολοκληρωθεί ο υπολογισμός θα πρέπει να βρεθεί ένα σημείο P′P' με τάξη ≥5\geq 5 στην ομάδα E(𝔽p/⟨P⟩).E(\mathbb{F}_p/\langle P \rangle). Όμως αν m<4p,m< 4 \sqrt{p}, τότε ένα τέτοιο σημείο θα βρεθεί σχετικά γρήγορα.

Για μία τυχαία καμπύλη ο αλγόριθμος θα τερματιστεί σύντομα στο βήμα 4. Όμως υπάρχουν για παράδειγμα καμπύλες με p=k2+1p=k^2+1 και E(𝔽p)≅ℤpℤ×ℤpℤ.E(\mathbb{F}_p)\cong \frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}} \times \frac{\mathbb{Z}}{p \mathbb{Z}}. Για τις καμπύλες αυτές απαιτούνται τα επιπλέον βήματα.

O Αλγόριθμός του J. F. Mestre

Ο αλγόριθμός δίνει μια εναλλακτική αντιμετώπιση στην περίπτωση που ο αλγόριθμος του Shanks δεν τερματίζεται στα βήματα 1-4.

Χρησιμοποιεί την έννοια της “τετραγωνικής διαστροφής” (quadratic twist!) μιας ελλειπτικής καμπύλης. Συνοπτικά αν η ελλειπτική καμπύλη EE εκφράζεται από την εξίσωση y2=x3+ax+b,y^2 = x^3 + ax + b, τότε η διεστραμμένη καμπύλη E′E' δίνεται από τον τύπο gy2=x3+ax+bgy^2 = x^3 + ax + b για κάποιο μη τετραγωνικό υπόλοιπο g∈𝔽p*.g \in \mathbb{F}_p^*. Η κλάση ισομορφισμού αυτής της καμπύλης δεν εξαρτάται από την επιλογή του g.g. Η εξίσωση του Weierstrass για την καμπύλη E′E' είναι, y2=x3+ag2x+bg3.y^2= x^3 + ag^2x + bg^3. Οι δύο καμπύλες έχουν τάξεις που ικανοποιούν τη σχέση #E(𝔽p)+#E′(𝔽p)=2(p+1),\#E(\mathbb{F}_p) + \#E'(\mathbb{F}_p) = 2(p + 1), οπότε για τον υπολογισμό του #E(𝔽p)\#E(\mathbb{F}_p) μπορούμε να υπολογίσουμε το #E′(𝔽p).\#E'(\mathbb{F}_p). Επιπλέον θα δούμε ότι αν ο εκθέτης της μιας καμπύλης είναι μικρός τότε ο εκθέτης της άλλης δεν είναι.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την παρατήρηση ως εξής: εάν για την ελλειπτική καμπύλη EE ο αλγόριθμος του Shanks απέτυχε για κάποιον αριθμό σημείων P,P, επειδή κάθε φορά περισσότερες από μία τιμές του mm βρέθηκαν ώστε [m]P=O,[m]P = O, τότε αντικαθιστούμε την EE με την E′E' και προσπαθούμε ξανά.

Η ομάδα E(𝔽p)E(\mathbb{F}_p) είναι ακριβώς ο πυρήνας του ενδομορφισμού F−IdF−Id ο οποίος αφήνεται να δρασει στην ομάδα E(𝔽¯p).E(\overline{\mathbb{F}}_p). Συνεπώς, o εκθέτης της E(𝔽p)E(\mathbb{F}_p) είναι (p+1−t)/n(p + 1 − t)/n όπου nn είναι ο μέγιστος ακέραιος τέτοιος ώστε η E(𝔽p)E(\mathbb{F}_p) να περιέχει μια υποομάδα ισομορφική με το ℤ/nℤ×ℤ/nℤ.\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. Ισοδύναμα o nn είναι ο μέγιστος ακέραιος για τον οποίο F≡1(modn)F \equiv 1(modn) στον End(E).End(E).

΄Εστω p>457p > 457 πρώτος κι έστω EE μία ελλειπτική καμπύλη επί του 𝔽p.\mathbb{F}_p. Τότε είτε η EE είτε η διαστροφή της E′,E', περιέχει ένα 𝔽p\mathbb{F}_p-ρητό σημείο τάξης το λιγότερο p4.\sqrt[4]{p}.

Απόδειξη Οι δακτύλιοι ενδομορφισμών των E,E, Ε΄Ε΄ είναι ισόμορφοι με την ίδια τετραγωνική τάξη 𝒪\mathcal{O} διακρίνουσας d.d. ΄Εστω FF ο ενδομορφισμός του Frobenious της E.E. ΄Εστω ακόμη nn ο μέγιστος ακέραιος τέτοιος ώστε F≡1(modn)F \equiv 1(modn) στο End(E)End(E) και N=(p+1−t)/nN =(p+1−t)/n να είναι o εκθέτης της E(𝔽p).E(\mathbb{F}_p). ΄Εχουμε τότε ότι, ℤ[F]⊂ℤ[F−1n]⊂𝒪\mathbb{Z}[F] \subset \mathbb{Z} \left[\frac{F-1}{n} \right] \subset \mathcal{O} από όπου προκύπτει ότι το nn διαιρεί τον δείκτη [𝒪:ℤ[F]].[\mathcal{O} : \mathbb{Z}[F]]. Αφού [𝒪:ℤ[F]]2[\mathcal{O} : \mathbb{Z}[F]]^2 είναι ίσο με το πηλίκο των διακρινουσών των τάξεων 𝒪\mathcal{O} και ℤ\mathbb{Z} έχουμε ότι ο n2n^2 διαιρεί τον (t2−4p)/d,(t^2-4p)/d, όπου t2−4pt^2-4p είναι η διακρίνουσα τάξης του ℤ[F].\mathbb{Z}[F].

Ομοίως, έστω mm ο μέγιστος ακέραιος τέτοιος ώστε −F≡1(modm)−F \equiv 1(modm) στον End(E)End(E) κι έστω M=(p+1−t)/mM = (p+1−t)/m ο εκθέτης της Ε′.Ε'. Τότε, ℤ[F]⊂ℤ[F−1m]⊂𝒪\mathbb{Z}[F] \subset \mathbb{Z} \left[\frac{F-1}{m} \right] \subset \mathcal{O} Οπότε ο m2m^2 επίσης διαιρεί τον (t2−4p)/d.(t^2−4p)/d.

Αφού ο nn διαιρεί τον F−1F − 1 και ο mm διαιρεί τον F+1F + 1 παρατηρούμε ότι ο (n,m)(n, m) διαιρεί τον (F−1,F+1)(F − 1, F + 1) ο οποίος διαιρεί το 2.2. Οπότε έχουμε, n2m2|4t2−4pd.n^2m^2| 4 \frac{t^2 − 4p}{d}. Επειδή |d|≥3|d| \geq 3 αυτό σημαίνει ότι (nm)2≤44p−t2d.(nm)^2 ≤ 4 \frac{4p−t^2}{d}. Εάν N,M<42,N, M < 4 \sqrt{2}, έχουμε ότι, ((p+1)2−t2)2=(nNmM)2<(4p)4⋅44p−t23((p + 1)^2 − t^2)^2 =(nNmM)^2 < (4\sqrt{p})^4 \cdot 4 \frac{4p − t^2}{3} οπότε, p4+4p3<(p+1)4463p3−t4−(453−2(p+1)2)t2≤463p3p^4 + 4p^3< (p + 1)^4 \frac{4^6}{3} p^3-t^4- \left(\frac{4^5}{3}-2(p+1)^2 \right)t^2 \leq \frac{4^6}{3}p^3 το οποίο σημαίνει ότι p<1362.p < 1362. Εάν εξετάσουμε όλες τις περιπτώσεις για p≤457p \leq 457 θα δούμε πως το θεώρημα ισχύει.

Για να είναι σίγουρος κανείς ότι ο αλγόριθμος του Shanks θα δουλέψει για μία ελλειπτική καμπύλη E,E, δεν χρειάζεται να βρει ένα ρητό σημείο αυτής, τάξης το λιγότερο 4p.4\sqrt{p}. Αυτό που χρειάζεται είναι ένα σημείο PP της καμπύλης με την ιδιότητα όπως περιγράφεται στο επόμενο

΄Εστω p>229p > 229 πρώτος κι έστω EE μία ελλειπτική καμπύλη επί του 𝔽p.\mathbb{F}_p. Τότε είτε η EE είτε η διαστροφή της E′E' περιέχει ένα 𝔽p\mathbb{F}_p-ρητό σημείο P,P, με την ιδιότητα ότι ο μόνος ακέραιος m∈(p+1−2p,p+1+2p)m \in (p + 1 − 2\sqrt{p}, p +1 + 2\sqrt{p}) για τον οποίο ισχύει [m]P=O,[m]P = O, είναι η τάξη της ομάδας των σημείων της ελλειπτικής καμπύλης.

Απόδειξη Από την απόδειξη του αποτελέσματος του J. F. Mestre το θεώρημα ισχύει για p>457.p > 457. ΄Ενας υπολογισμός για κάθε περίπτωση ξεχωριστά μας δείχνει ότι ισχύει για κάθε p>229.p > 229.

Ο Αλγόριθμός του Schoof

Το θεώρημα του Hasse εξασφαλίζει ότι #E(𝔽q)=q+1−t,|t|≤2q.\#E(\mathbb{F}_q) = q + 1 − t, |t| \leq 2 \sqrt{q}. Η κύρια ιδέα του αλγόριθμου είναι ο καθορισμός του tt modulo ενός συνόλου πρώτων αριθμών l,l, με l≤lmax,l \leq l_{max}, όπου lmaxl_{max} είναι ο ελάχιστος πρώτος τέτοιος ώστε, ∏2≤l≤lmaxl>4q.\prod_{2 \leq l \leq l_{max}} l > 4\sqrt{q}. Τότε εύκολα υπολογίζεται από το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων η τιμή του t,t, οπότε καθορίζεται και η τάξη της ομάδας.

Αρχικά παρατηρούμε ότι εύκολα βρίσκουμε την τιμή του tt όταν l=2l = 2 για κάθε μία περίπτωση σώματος επί του οποίου βρισκόμαστε.

Για την περίπτωση της περιττής χαρακτηριστικής έχουμε ότι t=#E(𝔽q)t = \#E(\mathbb{F}_q) modulo 2, οπότε εύκολα προκύπτει ότι #E(𝔽q)≡1(mod2)\#E(\mathbb{F}_q) \equiv 1(mod2) αν και μόνο αν το x3+ax+bx^3+ax+b ανάγωγο επί του 𝔽q.\mathbb{F}_q. Η τελευταία σχέση είναι ισοδύναμη με την (x3+ax+b,xq−x)=1.(x^3+ax +b, x^q −x) = 1. Για σώματα χαρακτηριστικής 2,2, επειδή η καμπύλη είναι non-supersingular έχουμε ότι t≡1t \equiv 1 modulo 2.

Για ll περιττό τώρα. O ενδομορφισμός του Frobenious ικανοποιεί την εξίσωση, F2−[t]F+[q]=0.F^2-[t] F +[q]=0. Αυτό θα το χρησιμοποιήσουμε για τα σημεία στο E[l]∗=E[l]∖{O}.E[l]^∗ = E[l] \backslash \{O\}. ΄Εστω, ql=q(modl)q_l = q(modl) και tl=t(modl)t_l = t(modl) όπου οι ελάχιστοι μη αρνητικοί αντιπρόσωποι της κλάσης υπολοίπων είναι ο qlq_l και ο tl.t_l. Εάν κάποια τιμή του τ∈{0,1,…,l−1}\tau \in \{0, 1, \ldots , l −1\} βρεθεί ώστε για κάποιο σημείο P=(x,y)∈E[l]∗P = (x, y) \in E[l]^∗ να έχουμε, (xq2,yq2)+[ql](x,y)=[τ](xq,yq),(x^{q^2},y^{q^2})+ [q_l](x,y)=[\tau](x^q,y^q), τότε προκύπτει ότι τ=tl,\tau = t_l, δηλαδή βρίσκουμε το tt modulo l.l. Το τ\tau το οποίο ικανοποιεί την εξίσωση είναι μοναδικό αφού το ll είναι πρώτος και P≠O.P \neq O.

Για τον καθορισμό της τιμής του τ,\tau, ισχυριζόμαστε προς το παρόν ότι όλες οι τιμές του τ∈{0,1,…,l−1}\tau \in \{0, 1, \ldots , l − 1\} δοκιμάζονται. Πρώτα υπολογίζονται οι xx-συντεταγμένες και στα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης, για τον δοσμένο πρώτο ll και την τιμή του τ\tau το οποίο εξετάζουμε, τα οποία είναι ρητές συναρτήσεις των x,y,x, y, οι οποίες περιέχουν τα πολυώνυμα διαίρεσης. Στη συνέχεια με την πράξη της πρόσθεσης ελλειπτικών καμπυλών υπολογίζεται το (xq2,yq2)+[ql](x,y)(x^{q^2},y^{q^2})+[q_l](x,y) Με απαλοιφή παρανομαστών κι εάν είναι απαραίτητο μειώνοντας όσες δυνάμεις του yy είναι μεγαλύτερες της μονάδας modulo στην εξίσωση της καμπύλης προκύπτει μία εξίσωση της μορφής a(x)+yb(x)=0→y=a(x)b(y).a(x)+ yb(x)=0 \rightarrow y =\frac{a(x)}{b(y)}. Η εξίσωση της καμπύλης με βάση κάποια από τις παραπάνω δύο εξισώσεις, έχει ως μεταβλητή πλέον μόνο το x,x, οπότε γράφεται ως, hX(x)=0.h_X(x) = 0. Για να ελέγξουμε εάν η hX(x)=0h_X(x) = 0 έχει λύση για την xx-συντεταγμένη του σημείου που ανήκει στο E[l]*E[l]^* υπολογίζουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (hX,fl).(h_X, f_l). Εάν, (hX,fl)=1,(h_X, f_l) = 1, τότε δεν υπάρχει λύση στο E[l]*E[l]^* η οποία να ικανοποιεί τη ζητούμενη εξίσωση, οπότε δοκιμάζουμε την επόμενη τιμή του τ.\tau. Εάν, (hX,fl)≠1,(h_X, f_l) \neq 1, τότε υπάρχει σημείο στο E[l]∗E[l]^∗ τέτοιο ώστε, (xq2,yq2)+[ql](x,y)=[τ](xq,yq)=±[τ](xq,yq).(x^{q^2},y^{q^2})+ [q_l](x,y)=[\tau](x^q,y^q)=\pm [\tau](x^q,y^q). Το πρόσημο του σημείου του δεξιού μέλους της παραπάνω εξίσωσης δεν είναι προκαθορισμένο, διότι το πρόσημο της xx-συντεταγμένης είναι το ίδιο για κάθε πρόσημο. Για να το καθορίσουμε, ισχυριζόμαστε αρχικά ότι είναι +. Υπολογίζουμε την yy-συντεταγμένη και στα δύο μέλη της εξίσωσης, όπου όπως με την xx-συντεταγμένη, μετά απο την απαλοιφή παρανομαστών και την αντικατάσταση της yy μεταβλητής, προκύπτει μια εξίσωση της μορφής, hY(x)=0h_Y (x) = 0 όπου το hYh_Y έχει αναχθεί στον βαθμό O(l2)O(l^2)

΄Ομοια, εάν (hY,fl)≠1(h_Y , f_l) \neq 1 τότε υπάρχει ένα σημείο που ικανοποιεί την εξίσωση και το πρόσημο είναι +. Εάν, (hX,fl)=1(h_X, f_l) = 1 τότε το πρόσημο είναι −.

Παρατηρούμε ότι για δοσμένο τ\tau η διαδικασία στην πραγματικότητα ελέγχει τα ±τ,\pm \tau, οπότε είναι επαρκές το τ\tau να ανήκει στο 0≤τ≤l−22.0 \leq \tau \leq \frac{l−2}2.

Κατασκευή ελλειπτικών καμπυλών

Μιγαδική Προσέγγιση ξανά.

Σε αυτή την παράγραφο θεωρούμε τα lattices παράγονται από τα 1,τ,1,\tau, όπου το τ=a+ib\tau=a+ib είναι ένας μιγαδικός αριθμός με b>0.b>0. To σύνολο των αριθμών που είναι επιτρεπτές για το τ\tau ονομάζεται υπερβολικό επίπεδο και συμβολίζεται με ℍ.\mathbb{H}. Έτσι, σε αυτή τη θεώρηση οι σειρές Eisenstein που ορίστηκαν παραπάνω είναι συναρτήσεις του τ.\tau. Ομοίως η διακρίνουσα και η jj-invariant επίσης μπορούν να γραφούν ως συναρτήσεις του τ.\tau.

Οι συναρτήσεις g2,g3,Δ,jg_2,g_3,\Delta,j ως συναρτήσεις του τ∈ℍ\tau\in \mathbb{H} παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από μετασχηματισμούς της μορφής: τ↦aτ+bcτ+d,(abcd)∈SL(2,ℤ).\tau \mapsto \frac{a\tau+b}{c\tau+d}, \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}).

Ειδικότερα, οι παραπάνω συναρτήσεις (που στη βιβλιογραφία ονομάζονται modular) είναι περιοδικές. Αυτό επιτρέπει να θεωρήσουμε το ανάπτυγμα Fourier τους, μέσα στο οποίο “κρύβεται” αριθμητική πληροφορία.

Για παράδειγμα το ανάπτυγμα Fourier της jj-invariant δίνεται από τον τύπο: j(τ)=1q+744+196884q+21493760q2+864299970q3+⋯,j(\tau)=\frac{1}{q}+744+196884q+21493760q^2+864299970q^3+\cdots, όπου q=e2πiτ.q=e^{2\pi i \tau}.

Παιχνίδια με την jj-invariant.

Ας υπολογίσουμε την τιμή της jj-invariant στο 1+−1632.\frac{1+\sqrt{-163}}{2}. Αυτό μπορεί να γίνει με το ανάπτυγμα Fourier. Παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές του qq η συνεισφορά στο ανάπτυγμα Fourier δίνεται από το 1/q.1/q. Έτσι με ακρίβεια 100100 δεκαδικών ψηφίων υπολογίζουμε ότι

t=(1+sqrt(-163))/2
    = 1/2 +6.3835726674...936*I

     1/exp(2*Pi*I*t)= -262537412640768743.9999999999992500/
     72597198185688879353856337336990862707537410378210647/
     9101186073129-3.4341081892578555727736403824665146438/
     19410392802921231010082353528515643600406171384239278/
     930629331 E-88*I

Αυτό σημαίνει ότι το j(1+−1632)=1/q+744+⋯j\left( \frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=1/q+744+\cdots είναι ίσο με 262537412640768000262537412640768000 όπως υπολογίζει κανείς και με

    ellj(t)= -262537412640768000.00000000000000

Παρατήρηση: Ο αριθμός 1/q1/q που χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε μια προσέγγιση του j(τ)j(\tau) είναι υπερβατικός αφού 1/q=eπ163,1/q=e^{\pi \sqrt{163}}, και το θεώρημα Gelfond-Schneider εξασφαλίζει ότι ο eπae^{\pi a} είναι υπερβατικός, αν ο aa είναι αλγεβρικός. Το j(τ)j(\tau) γίνεται ακέραιος, χάρη στη συνεισφορά των υπόλοιπων άπειρων προσθετέων του αναπτύγματος Fourier.

Παρατήρηση: Γενικά, οι υπολογισμοί κινητής υποδιαστολής σχετικά με την jj-invariant είναι πολύ απαιτητικοί και χρησιμοποιούνται σειρά από “έξυπνα κόλπα” για να γίνουν όσο το δυνατόν αποτελεσματικότεροι. Μια αποτελεσματική αντιμετώπιση βρίσκεται στις βιβλιοθήκες του gp-pari το οποίο και χρησιμοποιήσαμε στους παραπάνω υπολογισμούς.

Οι συντελεστές τoυ αναπτύγματος Fourier σχετίζονται με τη θεωρία αναπαραστάσεων μιας ομάδας που ονομάζεται στη βιβλιογραφία το τέρας και είναι μια τεράστια απλή ομάδα με τάξη: 246⋅320⋅59⋅76⋅112⋅133⋅17⋅19⋅23⋅29⋅31⋅41⋅47⋅59⋅71.2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^9\cdot 7^6\cdot 11^2\cdot 13^3\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot 71. Η παραπάνω αναπάντεχη συσχέτιση παρατηρήθηκε από τον John Conway και Simon Norton το 1979. Αποδείχτηκε το 1992 από τον R. Borcherds το 1992. Τόσο η απόδειξη όσο και μετέπειτα εργασίες δίνουν επιπλέον αναπάντεχες συνδέσεις με τη conformal field theory αλλά και με τη θεωρία χορδών από τη Φυσική.

Διαβάστε:

What is the Monster

The mathematical Work of 1998 Fields Medalist

Ματίνα Μάντζαρη:Monstrous Moonshine, τo τέρας και οι περίεργες φιλίες του Πτυχιακή εργασία Παν. Αιγαίου 2010

Ελλειπτικές Καμπύλες με μιγαδικό Πολλ/σμό

Υπενθυμίζουμε ότι αν μια ελλειπτική καμπύλη έχει ως δακτύλιο ενδομορφισμών έναν δακτύλιο που είναι μεγαλύτερος από τον δακτύλιο ℤ,\mathbb{Z}, δηλαδή περιέχει ενδομορφισμούς ϕ∉ℤ,\phi \not\in \mathbb{Z}, τότε αυτοί ικανοποιούν μια σχέση

ϕ2+aϕ+b=0,\phi^2+a\phi +b=0, της οποίας η διακρίνουσα είναι αρνητική (εδώ οφείλεται και το όνομα μιγαδικός πολλαπλασιασμός).

Έστω τώρα ένα τ∈ℍ,\tau\in \mathbb{H}, για παράδειγμα αυτό που ικανοποιεί τη σχέση τ2−tτ+q=0\tau^2- t \tau +q=0 για μια αρνητική διακρίνουσα D.D. To θεώρημα του μιγαδικού πολλαπλασίασμου εξασφαλίζει ότι το j(τ)j(\tau) είναι ικανοποιεί μια αλγεβρική εξίσωση με συντελεστές στο ℤ\mathbb{Z} και ότι η ελλειπτική καμπύλη με Eτ,E_\tau, έχει jj-invariant j(τ)j(\tau) και δακτύλιο End(Eτ)=ℤ[τ].\mathrm{End}(E_\tau)=\mathbb{Z}[\tau]. Επιπλέον αν θεωρήσουμε την εξίσωση που ικανοποιεί το j(τ)j(\tau) modulo p,p, τότε καταλήγουμε σε μια jj-invariant που δίνει ελλειπτική καμπύλη πάνω από το σώμα 𝔽p\mathbb{F}_p με ενδομορφισμό Frobenious να ικανοποιεί το ίδιο πολυώνυμο ϕ2−tϕ+q=0.\phi^2 -t \phi+q=0.

Τετραγωνικές μορφές διακρίνουσας D

K.F. Gauss, Το παρόν έργο αποτελεί κοινό κτήμα (public domain). Πηγή: Wikimedia Commons

O K.F. Gauss στο έργο του Disquisitiones Arithmeticae μελέτησε τις τετραγωνικές μορφές διακρίνουσας DD ax2+bxy+cy2;b2−4ac=−D,a,b,c∈ℤ(a,b,c)=1,ax^2 +bxy+cy^2; b^2-4ac=-D, a,b,c\in \mathbb{Z} \;\; (a,b,c)=1, μέχρι μια σχέση ισοδυναμίας. Σε σύγχρονη γλώσσα η σχέση ισοδυναμίας αυτή εκφράζεται ως: Θα λέμε ότι δυο τετραγωνικές μορφές είναι ισοδύναμες αν υπάρχει μετασχηματισμός της SL(2,ℤ)\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) που να στέλνει τη μία στην άλλη.

Ένα πλήρες σύστημα αντιπροσώπων CL(D)\mathrm{CL}(D) των κλάσεων είναι τα (a,b,c)(a,b,c) ώστε |b|≤a≤D3,a≤c,(a,b,c)=1,b2−4ac=−D|b| \leq a \leq \sqrt{\frac{D}{3}}, a \leq c, (a,b,c)=1,b^2-4ac=-D αν |b|=a|b|=a ή a=ca=c τότε b≥0.b \geq 0.

Θεωρούμε το τ∈ℍ\tau\in \mathbb{H} το οποίο ικανοποιεί ένα μονικό τετραγωνικό πολυώνυμο στο ℤ[x].\mathbb{Z}[x]. Θεωρούμε την ελλειπτική καμπύλη Eτ=ℂ/(ℤ+τℤ)E_\tau=\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}) η οποία έχει jj-invariant j(τ).j(\tau). Ο αριθμός j(τ)j(\tau) ικανοποιεί μια αλγεβρική εξίσωση που δίνεται από: HD(x)=∏[a,b,c]∈CL(D)(x−j(−b+−D2a))∈ℤ[x].H_D(x)= \prod_{[a,b,c] \in \mathrm{CL(D)}} \left(x- j\left(\frac{-b+\sqrt{-D}}{2a}\right)\right) \in \mathbb{Z}[x]. Επιπλέον μια ρίζα της αναγωγής του πολυωνύμου HD(x)H_D(x) modulo pp οδηγεί στην κατασκευή μίας ελλειπτικής με Frobenious που έχει το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο με το τ.\tau.

Παράδειγμα: Για D=491D=491 έχουμε ότι CL(D)=[1,1,123],[3,±1,41],[9,±7,15],[5,±3,25],[11,±9,3].\mathrm{CL}(D)=[1,1,123],[3,\pm 1,41],[9,\pm 7,15],[5,\pm 3,25],[11,\pm 9,3]. Για κάθε μία από τις παραπάνω τριάδες [a,b,c][ a,b,c] υπολογίζουμε τη ρίζα ρ=−b+i4912s, \rho=\frac{-b + i \sqrt{491}}{2s}, που έχει θετικό φανταστικό μέρος.

Έτσι καταλήγουμε στον πίνακα:

[a,b,c][a,b,c] | ρίζα | j-invariant
[1,1,123][1,1,123] | ρ1=(−1+i491)/2\rho_1=(-1 + i\sqrt{491})/2 | -1.7082855 E30
[3,1,41][3,1,41] | ρ2=(−1+i491)/6\rho_2=(-1 + i\sqrt{491})/6 | 5.977095 E9 + 1.0352632 E10I
[3,−1,41][3,-1,41] | ρ3=(1+i491)/6\rho_3=(1+i\sqrt{491})/6 | 5.9770957 E9 - 1.0352632 E10I
[9,7,15][9,7,15] | ρ4=(−7+i491)/18\rho_4=(-7 + i\sqrt{491})/18 | -1072.7816 + 1418.3793I
[9,−7,15][9,-7,15] | ρ5=(7+i491)/18\rho_5=(7 + i\sqrt{491})/18 | -1072.7816 - 1418.3793I
[5,3,25][5,3,25] | ρ6=(−3+i491)/10)\rho_6=(-3 + i\sqrt{491})/10) | -343205.38 + 1058567.0I
[5,−3,25][5,-3,25] | ρ7=(3+i491)/10\rho_7=(3 + i\sqrt{491})/10 | -343205.38 - 1058567.0I
[11,9,13][11,9,13] | ρ8=(−9+i491)/22\rho_8=(-9 + i\sqrt{491})/22 | 6.0525190 + 170.50800I
[11,−9,13][11,-9,13] | ρ9=(9+i491)/22\rho_9=(9 + i\sqrt{491})/22 | 6.0525190 - 170.50800I

Υπολογίζουμε το πολυώνυμο f(x)=∏i=19(x−j(ρi)) f(x)=\prod_{i=1}^9 (x-j(\rho_i)) με ακρίβεια 100 δεκαδικών ψηφίων και καταλήγουμε στο

x^9 + (1708285519938293560711165050880.00000+ 0.E-105*I)*x^8 +
(-20419995943814746224552691418802908299264.
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 +
5.527147875260444561 E-76*I)*x^7 +
(244104497665432748158715313783583130211556702289920.
0000000000000000000000000000000000000000000000000 -
3.203247249195215313 E-66*I)*x^6 +
(168061099707176489267621705337969352389335280404863647744.
0000000000000000000000000000000000000000000 -
8.477642883414348322 E-61*I)*x^5
+ (3026634062287103399933567774259389848844332816036989\
34574743552.0000000000000000000000000000000000000 +
1.1797555025677485282 E-53*I)*x^4 +
(6454859000856167849263547860355811089209236971883759493\
95393249280.0000000000000000000000000000000000 +
5.552991534850878913 E-50*I)*x^3 +
(9570411380463978709655208085765529491988856657381836437\
50394920697856.0000000000000000000000000000000 -
1.5307563300801091721 E-47*I)*x^2 +
(7322862871033784419236596129273250845529108502221762556\
507445472002048.000000000000000000000000000000 +
4.458155165749933023 E-45*I)*x +
(2783136594325388804312897721610699944422813986505575145\
7267582234307592192.00000000000000000000000000
- 3.587324068671531702 E-43*I)

.. το οποίο με μαγικό τρόπο είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Στο παραπάνω υποθέτουμε ότι οι μιγαδικοί συντελεστές οι οποίοι πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό 10−4010^{-40} ή μικρότερο, είναι μηδενικοί.

Γενική μέθοδος κατασκευής ελλειπτικών καμπυλών

Θέλουμε να κατασκευάσουμε μια ελλειπτική καμπύλη πάνω από το πεπερασμένο σώμα 𝔽p\mathbb{F}_p που να έχει p+1−mp+1-m το πλήθος στοιχεία.

Αρκεί να κατασκευάσουμε το j∈𝔽p.j\in \mathbb{F}_p.

To φράγμα του Hasse μας εξασφαλίζει ότι Z:=4p−(p+1−m)2≥0.Z:=4p -(p+1-m)^2 \geq 0. Γράφουμε το Z=Dv2Z=Dv^2 ως ένα τετράγωνο v2v^2 επί έναν αριθμό DD που δεν είναι διαιρετός με τετράγωνο.

H εξίσωση 4p=u2+Dv24p = u^2 + Dv^2 για κάποιο uu ικανοποιεί την m=p+1±u.m=p+1 \pm u. Ο αρνητικός αριθμός −D-D λέγεται CM διακρίνουσα για τον πρώτο p.p.

x2−tr(F)x+p↦Δ=tr(F)2−4p=−Dv2.x^2 -\mathrm{tr}(F) x+ p \mapsto \Delta=\mathrm{tr}(F)^2-4p=-Dv^2.

Αλγόριθμος:

Διαλέγουμε έναν πρώτο p.p. Διαλέγουμε τη μικρότερη DD μαζί με u,v∈ℤu,v\in \mathbb{Z} ώστε να έχει λύση η 4p=u2+Dv2.4p=u^2+Dv^2.

Αν μία από τις τιμές p+1−u,p+1-u, p+1+up+1+u έχει τάξη πρώτο αριθμό τότε προχωράμε στην κατασκευή της ελλειπτικής καμπύλης. Αν όχι δοκιμάζουμε άλλο p.p.

Υπολογίζουμε το πολυώνυμο Hilbert HD(x)∈ℤ[x]H_D(x)\in \mathbb{Z}[x] με χρήση των τιμών της jj-invariant.

Στη συνέχεια υπολογίζουμε το πολυώνυμο HD(x)modp.H_D(x) mod p. Μία λύση του είναι η jj-invariant που ψάχνουμε. Η ελλειπτική καμπύλη με αυτή την jj-invariant j≠0,1728j\neq 0, 1728 είναι η

y2=x3+3kc2x+2kc3,k=j/(1728−j),c∈𝔽p.y^2=x^3 + 3kc^2 x + 2kc^3, k=j/(1728-j), c\in \mathbb{F}_p.

Για διαφορετικές τιμές του cc αντιστοιχούν οι δύο διαφορετικές ελλειπτικές καμπύλες E,E′E,E' οι οποίες έχουν τάξεις p+1±t.p+1 \pm t. Η μία είναι η y2=x3+ax+by^2=x^3+ax+b και η άλλη η y2=x3+ac2x+bc3,y^2=x^3+ac^2 x+ bc^3, όπου το cc είναι ένα μη-τετραγωνικό υπόλοιπο στο 𝔽p.\mathbb{F}_p.

Για να επιλέξουμε αυτή με τη σωστή τάξη, διαλέγουμε ένα σημείο PP και υπολογίζουμε την τάξη του nn ώστε nP=𝒪.nP=\mathcal{O}. Το nn θα διαιρεί το p+1−tp+1-t ή το p+1+t.p+1+t.

Βιβλιογραφία

Blake, I.F., G. Seroussi, and N. Smart. 1999. Elliptic Curves in Cryptography. Lecture Note Series. Cambridge University Press. https://books.google.gr/books?id=0_vegzgyqGMC.

Milne, J. S. 2006. Elliptic Curves. BookSurge Publishers.

Silverman, J.H. 1986. The Arithmetic of Elliptic Curves. Applications of Mathematics. https://books.google.fr/books?id=6y_SmPc9fh4C.

Αντωνιάδης, Ι. 1999. Ελλειπτικές Καμπύλες (Το Θεώρημα Του Mordell). ΕΠΕΑΕΚ Προμηθέας.

Παράρτημα

Το πρόγραμμα Sage

Το πρόγραμμα Sage είναι ένα ελεύθερο ανοιχτού κώδικα σύστημα λογισμικού, το οποίο βασίστηκε στον συνδυασμό πολλών υπαρχόντων συστημάτων για υπολογιστικά μαθηματικά και ο σκοπός του είναι να αποτελέσει μια ανοιχτού λογισμικού εναλλακτική λύση για πακέτα όπως το Magma, Maple, Mathematica και Matlab.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

sage: 2 + 2
4
factor(-2015)
-1 * 5 * 13 * 31

Μπορούμε να πάρουμε πρώτους αριθμούς

prime_range(100)
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

ή να μετρήσουμε το πλήθος των πρώτων που είναι μικρότεροι του 106.10^6.

prime_pi(10^6)
78498

Το πρόγραμμα μπορεί επίσης να χειριστεί έννοιες από τον απειροστικό λογισμό, όπως αόριστα και ορισμένα ολοκληρώματα:

integrate(1 + x + x^2, x)
1/3*x^3 + 1/2*x^2 + x
numerical_integral(1 + x + x^2, 0, 3)[0]
16.500000000000004

Και να κάνει γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και όχι μόνο.

Το πρόγραμμα sage αποτελεί μια πλήρη γλώσσα προγραμματισμού με δομή όπως η python. Μπορούμε να εκτελέσουμε βρόγχους (loops) πάνω στα αντικείμενά του. Έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε τα τετράγωνα όλων των πρώτων που είναι μικρότεροι του 10001000 με τον παρακάτω κώδικα:

sum=0
for i in prime_range(1000):
    sum=sum+i^2
    print sum
49345379

Χειρισμός πολυωνύμων

Ας ορίσουμε πρώτα τον πολυωνυμικό δακτύλιο ℚ[t]\mathbb{Q}[t]

sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
sage: R
Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field

Οι παραπάνω εντολές δηλώνουν στο sage ότι η αλφαριθμητική μεταβλητή (string) ‘t’ συμβολίζει τη μεταβλητή του δακτυλίου στην εμφάνιση στην οθόνη. Αυτό δεν ορίζει το σύμβολο tt για χρήση στο Sage, δηλαδή δεν μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να εισαγάγουμε ένα πολυώνυμο όπως το t2+2t+1.t^2 +2t+1.

Θα μπορούσαμε εναλλακτικά να δώσουμε

sage: S = QQ['t']
sage: S == R
True

Στον παραπάνω ορισμό ορίσαμε τον δακτύλιο SS και ρωτήσαμε (η έκφραση με τα δύο == έχει την έννοια της ερώτησης) αν οι δακτύλιοι S,RS,R ταυτίζονται, και πήραμε θετική (true) απάντηση. Και αυτός ο τρόπος ορισμού έχει το ίδιο πρόβλημα στη χρήση της μεταβλητής t.

Ένας πολύ βολικότερος τρόπος είναι να δώσουμε

sage: R.<t> = PolynomialRing(QQ)

ή

sage: R.<t> = QQ['t']
<div>

ή

sage: R.<t> = QQ[]

Οι παραπάνω ορισμοί ορίζουν τη μεταβλητή να είναι η μεταβλητή του πολυωνυμικού δακτυλίου, οπότε μπορούμε εύκολα να ορίσουμε στοιχεία του δακτυλίου:

sage: poly = (t+1) * (t+2); poly
t^2 + 3*t + 2
sage: poly in R
True

Στο παραπάνω ο τελεστής ‘in’ έδωσε θετική απάντηση (true), αφού πράγματι το πολυώνυμο είναι στοιχείο του δακτυλίου R.R.

Σε κάθε περίπτωση θα μπορούσαμε να βρούμε τον γεννήτορα του πολυωνυμικού δακτυλίου ως εξής:

sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
sage: t = R.0
sage: t in R
True

Οι πραγματικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί είναι δομές κινητής υποδιαστολής και οι πράξεις δεν γίνονται με ακριβή τρόπο. Ιδιαίτερα οι μιγαδικοί αριθμοί θεωρούνται ότι παράγονται πάνω από τους πραγματικούς με το σύμβολο ii

sage: CC
Complex Field with 53 bits of precision
sage: CC.0  ##0th generator of CC
1.00000000000000*I

Ας κάνουμε μερικά παραδείγματα στον δακτύλιο ℚ[t]\mathbb{Q}[t]

sage: R, t = QQ['t'].objgen()
sage: f = 2*t^7 + 3*t^2 - 15/19
sage: f^2
4*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361
sage: cyclo = R.cyclotomic_polynomial(7); cyclo
t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1
sage: g = 7 * cyclo * t^5 * (t^5 + 10*t + 2)
sage: g
7*t^16 + 7*t^15 + 7*t^14 + 7*t^13 + 77*t^12 + 91*t^11 +
91*t^10 + 84*t^9+ 84*t^8 + 84*t^7 + 84*t^6 + 14*t^5
sage: F = factor(g); F
(7) * t^5 * (t^5 + 10*t + 2) *
(t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)
sage: F.unit()
7
sage: list(F)
[(t, 5), (t^5 + 10*t + 2, 1), (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2
 + t + 1, 1)]

Παρατηρούμε ότι η παραγοντοποίηση καταγράφει και τη μονάδα του δακτυλίου.

Η διαίρεση δύο πολυωνύμων δίνει αποτέλεσμα στον δακτύλιο πηλίκων, τον οποίο το sage ορίζει αυτόματα:

sage: x = QQ['x'].0
sage: f = x^3 + 1; g = x^2 - 17
sage: h = f/g;  h
(x^3 + 1)/(x^2 - 17)
sage: h.parent()
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over
Rational Field

Αν ορίσουμε τη μεταβλητή με διαφορετικό όνομα έχουμε έναν διαφορετικό πολυωνυμικό δακτύλιο για το sage

sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)
sage: S.<y> = PolynomialRing(QQ)
sage: x == y
False
sage: R == S
False
sage: R(y)
x
sage: R(y^2 - 17)
x^2 - 17

Ο δακτύλιος προσδιορίζεται από τη μεταβλητή. Ορίζοντας έναν δακτύλιο με άλλο όνομα αλλά την ίδια μεταβλητή δεν καταλήγουμε σε διαφορετικούς δακτυλίους.

sage: R = PolynomialRing(QQ, "x")
sage: T = PolynomialRing(QQ, "x")
sage: R == T
True
sage: R is T
True
sage: R.0 == T.0
True

Μπορούμε να ορίσουμε πολυωνυμικούς δακτυλίους πάνω από οποιονδήποτε δακτύλιο βάσης.

sage: R.<T> =PolynomialRing(GF(7)); R
Univariate Polynomial Ring in T over Finite Field of size 7

Ας δούμε ένα παράδειγμα ενός αθροίσματος όπου κάθε όρος έχει και διαφορετικό όνομα:

sage: f = sum(1/var('n%s'%i)^i for i in range(10))
1/n1 + 1/n2^2 + 1/n3^3 + 1/n4^4 + 1/n5^5 + 1/n6^6 +
1/n7^7 + 1/n8^8 + 1/n9^9 + 1

Σε αυτό το βιβλίο θα χρησιμοποιήσουμε τη δυνατότητα του να τρέξει σε cloud server, ώστε ο χρήστης να έχει πρόσβαση σε αυτό μέσα από μια σελίδα του φυλλομετρητή του χωρίς να χρειαστεί να το εγκαταστήσει στον υπολογιστή του.

Γλωσσάριο

Αγγλικά | Ελληνικά
keyspace | σύνολο κλειδιών κωδικοποίησης
ciphertext | κρυπτογραφημένο μήνυμα
quadratic twist | τετραγωνική διαστροφή
loop | βρόγχος
string | αλφαριθμητική μεταβλητή

Βιβλιογραφία

Blake, I.F., G. Seroussi, and N. Smart. 1999. Elliptic Curves in Cryptography. Lecture Note Series. Cambridge University Press. https://books.google.gr/books?id=0\_vegzgyqGMC.

ElGamal, Taher. 1984. “A Public Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms.” In Advances in Cryptology, 10–18. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/3-540-39568-7\_2.

Fraleigh, J.B. 2011. Εισαγωγή Στην Άλγεβρα. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

Goss, D. 1997. Basic Structures of Function Field Arithmetic. Ergebnisse Der Mathematik Und Ihrer Grenzgebiete ; 3. Folge, Bd. 35. Springer Berlin Heidelberg. https://books.google.gr/books?id=cIV3AaOcPDcC.

Lemmermeyer, F. 2000. Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Monographs in Mathematics. Springer. https://books.google.gr/books?id=EwjpPeK6GpEC.

Lenstra, H W, Jr. 1987. “Factoring Integers with Elliptic Curves.” Ann. Math., Second Series, 126 (3). Annals of Mathematics: 649–73. doi:10.2307/1971363.

Lidl, R., and H. Niederreiter. 1997. Finite Fields. EBL-Schweitzer, τ\tau. 20,μ\mu. 1. Cambridge University Press. https://books.google.gr/books?id=xqMqxQTFUkMC.

Menezes, A.J., P.C. van Oorschot, and S.A. Vanstone. 1996. Handbook of Applied Cryptography. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. https://books.google.gr/books?id=nSzoG72E93MC.

Milne, J. S. 2006. Elliptic Curves. BookSurge Publishers.

Mullen, G.L., and D. Panario. 2013. Handbook of Finite Fields. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. https://books.google.gr/books?id=YADSBQAAQBAJ.

Mumford, D. 1999. The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians. Lecture Notes in Mathematics. Springer. https://books.google.gr/books?id=K1hFauNsmR4C.

Shanks, Daniel, and Shanks Daniel. 1971. “Class Number, a Theory of Factorization, and Genera.” Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. doi:10.1090/pspum/020/0316385.

Silverman, J.H. 1986. The Arithmetic of Elliptic Curves. Applications of Mathematics. https://books.google.fr/books?id=6y\_SmPc9fh4C.

Silverman, J.H., and J. Tate. 1992. Rational Points on Elliptic Curves. Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology. Springer. https://books.google.gr/books?id=mAJei2-JcE4C.

Singh, Simon. 1997. Το Τελευταίο Θεώρημα Του Φερμά. Εκδόσεις Τραυλός.

Stein, W. 2008. Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets: A Computational Approach. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer New York. https://books.google.gr/books?id=5hYd0yX4mrMC.

Stewart, I. 2003. Galois Theory, Third Edition. Chapman Hall/CRC Mathematics Series. Taylor & Francis. https://books.google.gr/books?id=C9\_Vivwgf5cC.

Stinson, D. R. 2005. Cryptography: Theory and Practice, Third Edition. Discrete Mathematics and Its Applications. Taylor & Francis. https://books.google.gr/books?id=FAPLBQAAQBAJ.

Wiles, Andrew. 1995. “Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem.” Ann. Math., Second Series, 141 (3). Annals of Mathematics: 443–551. doi:10.2307/2118559.

Αντωνιάδης, Ι. 1999. Ελλειπτικές Καμπύλες (Το Θεώρημα Του Mordell). ΕΠΕΑΕΚ Προμηθέας.

Αντωνιάδης, Ι., and Α. Κοντογεώργης. 2015. Θεωρία Αριθμών Και Εφαρμογές. Εκδόσεις Κάλλιπος.

Βάρσος, Δ., Δ. Δεριζιώτης, Ι. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκας, and Ο. Ταλέλλη. 2012. Μια Εισαγωγή Στην Άλγεβρα. Σοφία Α. Ε.

Κοντογεώργης, Αριστείδης. 1994. Ημιευσταθείς Ελλειπτικές Καμπύλες Και Το Τελευταίο Θεώρημα Του Fermat. Μεταπτυχιακή Εργασία Πανεπιστήμιο Κρήτης, Ηράκλειο.

Λάκκης, Κ. 1990. Θεωρία Αριθμών. Εκδόσεις Ζήτη.