
\documentclass[greek,oneside,a4paper,11pt]{amsbook}
\usepackage{enumitem}%παραμετροι enumerate
\usepackage{fullpage}%μικρα περιθωρια
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{tcolorbox,xcolor}%πλαισια και χρωματα
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{babel}%ελληνικα
\usepackage{alphabeta}%ελληνικοι χαρακτηρες σε μαθ pdf utf-8
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[unicode]{hyperref}%links
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{pgfplots}%διαγραμματα
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%συντομευσεις%%%%%%%%%%
\newcommand {\lt}{\latintext}%αγγλικο κειμενο
\newcommand {\tl}{\textlatin}%αγγλικο κειμενο
%%%%%%%%%αριθμηση%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{{\rm(\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\roman{enumii}) }
%%%%%%%%%%%% New theorems %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%συντομευσεις%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Co}{\mathbb{C}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\bma}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\ema}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\spa}{\mathrm{span}}
\numberwithin{section}{chapter}
\numberwithin{equation}{chapter}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Document starts %%%%%%%%%%%%
\begin{document}
	
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%γλωσσα%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\selectlanguage{greek}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start Roman numbering %%%%
	\pagenumbering{arabic}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	
	
	\begin{tcolorbox}\begin{center}
			\large{ΣΑΝ Ι\\ Εργασία 1, μέχρι 7/5/2025}
	\end{center}\end{tcolorbox}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{enumerate}
		\item[Ον/νο :] 
		\item[AM :]
		\item[Ημ/ία :]
	\end{enumerate}
	\vspace{0.5cm}
	\textbf{Ύλη} Πρόχειρες σημειώσεις στην \tl{eclass} Κεφ. 1 έως και Παράγραφο 7.1. Από το βιβλίο των \tl{James, Liebeck} Κεφ. 3-11 και τις πρώτες δύο παραγράφους από Κεφ. 13.
	\vspace{0.3cm}
	\begin{enumerate}[leftmargin=*]
			\item Δείξτε ότι κάθε δράση ομάδας τάξης $65$ σε σύνολο $42$ στοιχείων έχει τουλάχιστον δύο σταθερά σημεία.
			


	\item (Θεώρημα του \tl{Wilson} με δράσεις). Έστω $p$ πρώτος, $σ \in S_p$ ο κύκλος $σ=(1 \; 2 \; \dots \; p)$ και $G$ η κυκλική υποομάδα της $S_p$ που παράγεται από τη $σ$. Θεωρήστε τη δράση της $G$ στην κλάση συζυγίας $X=cl(σ)$ του στοιχείου $σ$ στην $S_n$ που δίνεται από συζυγία, $(σ^i, x) \mapsto σ^ixσ^{-i}$. Χρησιμοποιώντας το Λήμμα 1.13 των σημειώσεων, δείξτε ότι $(p-1)! \equiv -1 \mod p$.
	\item Θεωρούμε την ομάδα $G=C_4 \times C_2 = \langle a,b: a^4=b^2=1, ab=ba \rangle$ και τους πίνακες \[Α=\bma 1 & 0 \\ 0 & i \ema, \; B=\bma -1 & 0 \\ 0 & 1 \ema.\] \begin{enumerate}\item Δείξτε ότι υπάρχει αναπαράσταση $ρ : G \to GL_2(\Co)$ τέτοια ώστε $ρ(a)=A, \; ρ(b)=B$. 
		\item Είναι η $ρ$ πιστή? 
		\item Είναι η $ρ$ ανάγωγη?
		\end{enumerate}

	\item (Αναπαραστάσεις κυκλικών ομάδων) Έστω $n$ θετικός ακέραιος, $G=\langle g: g^n=1_G\rangle $ κυκλική ομάδα τάξης $n$ και $E_n = \{ζ \in \Co : ζ^n=1\}$ τo σύνολο των μιγαδικών $n$-στών ριζών της μονάδας. Για $ζ \in E_n$ ορίζουμε $v_ζ \in \Co G$, \[v_ζ=1+ζg+ ζ^2g^2 + \cdots + ζ^{n-1}g^{n-1},\] και $V_ζ = \spa \{v_ζ\}$ τον υπόχωρο του $\Co G$	που παράγεται από το $v_ζ$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Δείξτε ότι το $V_ζ$ είναι $\Co G$-υποπρότυπο του $\Co G$. Στη συνέχεια δείξτε ότι τα $V_ζ$, καθώς το $ζ$ διατρέχει το σύνολο $E_n$, είναι ανά δύο μη ισόμορφα ανάγωγα $\Co G$-υποπρότυπα.
		\item  Δείξτε ότι $\Co G= \bigoplus_{ζ \in E_n}V_ζ.$
		\item Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο $V=\Co^2$ ως $\Co G$-πρότυπο με δράση που ορίζεται από \[g\bma x\\y \ema = \bma &  \cos(\frac{2π}{n}) & -\sin(\frac{2π}{n})\\
		& \sin(\frac{2π}{n}) & \;\;\;\;  \cos(\frac{2π}{n}) \ema \bma x\\y \ema\] (γινόμενο πινάκων). Παραστήστε το $V$ ως ευθύ άθροισμα δύο αναγώγων $\Co G$-υποπροτύπων του.
		\item (Θα δούμε εδώ ότι η Πρόταση 5.6 γενικά δεν αληθεύει για το σώμα $\R$ στη θέση του $\Co$.) Έστω $n=3$. Θεωρούμε τον πραγματικό διανυσματικό χώρο $W=\R^2$ ως $\R G$-πρότυπο με δράση που ορίζεται όπως πριν. Δείξτε ότι το $W$ είναι ανάγωγο $\R G$-πρότυπο.
	\end{enumerate}
	\item Έστω $V$ ένα $\Co G$ πρότυπο. Ορίζουμε το \textit{υποπρότυπο των σταθερών σημείων} \[V^G=\{ v \in V: gv=v \; \forall  g \in G\}\] και την απεικόνιση \[θ: V \to V, v \mapsto \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}gv.\]
	\begin{enumerate}
		\item Δείξτε ότι το $V^G$ είναι $\Co G$-υποπρότυπο του $V$ και ότι η $θ$ είναι ομομορφισμός $\Co G$-προτύπων.
		\item Δείξτε ότι η $θ$ είναι προβολή (δηλαδή $θ^2=θ$) και $\im θ =V^{G}$.
		
	\end{enumerate}
	\item Εδώ υποθέτουμε ότι $G$ είναι η συμμετρική ομάδα $S_3$ και $V$ είναι το πρότυπο μετάθεσης της $G$. 
		\begin{enumerate}
		\item Βρείτε βάση του διανυσματικού χώρου $V^G$. 
	\item Βρείτε $\Co G$-υποπρότυπο του $V$, έστω $U$, έτσι ώστε $V=V^G \oplus U$. 
	\item Bρείτε βάση και τη διάσταση του $U$. 
	\item Δείξτε ότι τα $V^G, U$ είναι ανάγωγα $\Co G$-πρότυπα.
	\item Υπολογίστε τη διάσταση του $\hom_{\Co G}(V,V).$
	\item Υπολογίστε τo χαρακτήρα του $U$.
	
	\end{enumerate}
\item Έστω $V$ ένα $\Co G$ πρότυπο έτσι ώστε υπάρχουν ανάγωγα $\Co G$-υποπρότυπα $V_1, V_2$ του $V$ με $V=V_1 \oplus V_2$.

\begin{enumerate}
\item Δείξτε ότι αν τα $V_1, V_2$ δεν είναι ισόμορφα, τότε τα  $\Co G$-υποπρότυπα του $V$ είναι τα $\{0\}, V_1, V_2, V$.
\item Δείξτε ότι αν τα $V_1, V_2$ είναι ισόμορφα, τότε υπάρχει $\Co G$-υποπρότυπο του $V$ διάφορο των $V_1, V_2$ αλλά ισόμορφο με τα $V_1, V_2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
\textbf{Σχετικά με τις εργασίες}
\begin{itemize}
\item Οι εργασίες είναι ατομικές. Μπορείτε να συνεργαστείτε, αρκεί να υπάρχει σχετική μνεία, πχ
στην εργασία 1, πρόβλημα 4, συνεργάστηκα με την τάδε και το δείνα. Ενθαρρύνω συνεργασίες
σε λογικά πλαίσια, αλλά μη μου παραδώσετε \tl{copy paste} εργασίες, θα μηδενιστούν.
\item Μπορείτε να αναρτήσετε τις εργασίες στην \tl{eclass} ως αρχείο \tl{pdf}. Μην τις στείλετε με \tl{email}.
\item Στο \tl{internet} υπάρχουν πολλές λύσεις ασκήσεων. \textcolor{red}{Προσοχή}. Το νόημα των εργασιών είναι να μαθαίνουμε. Αναμένω αυτό που θα παρουσιάσετε
γραπτώς να είναι με δική σας ανάπτυξη και να έχετε πλήρη κατανόηση των επιχειρημάτων και
υπολογισμών. Αυτά πρέπει να αναγράφονται αναλυτικά.
\item Πρέπει να αναγράφονται όλες οι εκφωνήσεις. Άσκηση 1, Λύση, Άσκηση 2, Λύση κλπ.
\item Μπορούμε να συζητάμε εργασίες στην τάξη πριν την προθεσμία και οι σχετικές ερωτήσεις είναι, όπως πάντα, ευπρόσδεκτες.
\item Εργασία σε \tl{Latex} θα φτιάξει τη διάθεση κάθε στρυφνού διορθωτή :) Στην \tl{eclass} θα αναρτηθεί
το \tl{tex} αρχείο της Εργασίας 1 και μια εισαγωγή στη \tl{latex} γραμμένη από φοιτητές. Πολλοί
βρίσκουν βοηθητικό το \tl{https://www.overleaf.com/}

\end{itemize}


\end{document}