Μάθημα : Βασικές Μαθηματικές Μέθοδοι (X 2024-2025)

Γενική εισαγωγή για σχέση Μαθηματικών - Φυσικής. Καθορισμός σημείου στο επίπεδο και στη σφαίρα, Γεωγραφικές συντεταγμένες.

Μέτρηση και μονάδες γωνιών. Υπολογισμός μήκους τόξου. Συστήματα αρίθμησης και δυαδικό σύστημα. Στερεογραφική προβολή σφαίρας. Διατεταγμένα ζεύγη ως αναπαράσταση διανυσμάτων. Η έννοια του διανύσματος ως αυθύπαρκτου γεωμετρικού αντικειμένου. Στροφή συστήματος συντεταγμένων και μετασχηματισμός των συντεταγμένων (συνεχίζεται).

Σύντομα σχόλια για τα προβλήματα 1. Εκφράσεις που δίνουν τις στραμμένες συνιστώσες ενός διανύσματος και εξασφαλίζουν το ότι κάποιο διατεταγμένο ζεύγος αναπαριστά διάνυσμα. Πράξεις διανυσμάτων (πρόσθεση, αφαίρεση, μηδενικό διάνυσμα).

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων και αναλλοιότητα αυτού σε στροφές. Γεωμετρική σημασία του. Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ως ένα νέο αναλλοίωτο διάνυσμα. Ανάγκη επέκτασης στις 3 διαστάσεις για τον ορισμό αυτού.

Γιατί το εξωετρικό γινόμενο είναι αναλλοίωτο. Μια επίπεδη επιφάνεια ως εξωτερικό γινόμενο (γεωμετρική ερμηνεία). Ορισμός της προβολής διανύσματος σε κάποιο δοθέν διάνυσμα και κάθετα σε αυτό μέσω εσωτερικού και εξωτερικού γινομένου. Δυνατά γινόμενα 3 διανυσμάτων. Ορισμός όγκου παραλληλεπιπέδου.

Διπλό εξωτερικό γινόμενο και ανάλυση αυτού. Δεξιόστροφα-αριστερόστροφα συστήματα. Ψευδοδιανύσματα και κανονικά διανύσματα. Ασυμμετρίες στη συμπεριφορά της φύσης μέσω θεμελιωδών δυνάμεων. Σφαιρικές συντεταγμένες και εύρεση του εμβαδού μιας σφαιρικής επιφάνειας (Αρχιμήδης).

Ανάλυση του γρίφου. Στερεά γωνία και υπολογισμός αυτής. Γεωμετρική ερμηνεία αυτής. Υπολογισμός στερεάς γωνίας που βλέπει σε δοσμένη απειροστή επίπεδη επιφάνεια.

Σχέση καρτεσιανών με σφαιρικές συντεταγμένες. Απόσταση σημείων επί της σφαίρας και μεταξύ σημείων της σφαίρας. Εισαγωγή στους πίνακες. Διαστάσεις πίνακα. Ο μετασχηματισμός στροφής μέσω ενός πίνακα. Ορισμός πράξεων πινάκων (πρόσθεση-αφαίρεση-πολ/σμός με αριθμό-πολλ/σμός μεταξύ πινάκων) και απαιτήσεις ως προς τις διαστάσεις αυτών. Ο πολλαπλασιασμός δεν είναι μεταθετικός αλλά είναι προσεταιριστικός. Παραδείγματα. Δυο διαδοχικές στροφές "δουλεύουν" ως πολ/σμός των μεταξύ τους πινάκων.

Χρήση δεικτών για την αναπράσταση διανυσμάτων. Αθροιστική σύμβαση του Einstein. Πολλαπλασιασμός πινάκων με χρήση δεικτών. Απόδειξη της προσεταιριστικότητας του πολλαπλασιασμού.

Επίλυση γραμμικού αλγεβρικού συστήματος με τη χρήση πινάκων. Η έννοια του ταυτοτικού πίνακα και η έννοια του αντιστρόφου πίνακα. Κατασκευή του μοναδιαίου \( N \times N\) και του αντιστρόφου ενός \(2 \times 2\) πίνακα. Η έννοια της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας. Ο \(\delta_{ij}\) ως τανυστής 2ης τάξης. Σπάσιμο ενός πίνακα σε συμμετρικό και αντισυμμετρικό μέρος. Το αποτέλεσμα του πολλ/σμού συμμετρικό με αντισυμμετρικό πίνακα.

Λύση 2ου σετ ασκήσεων. Ιδιότητες αναστροφής πινάκων. Γιατί \(\Psi^{\top} {\bf A} \Psi=0 \) αν \( {\bf A}\) είναι αντισυμμετρικός, αλλά \( {\bf A} {\bf B}\neq 0 \) αν \( {\bf A}\) είναι αντισυμμετρικός αλλά \({\bf B}\) είναι συμμετρικός. Ορισμός του ίχνους πίνακα \( {\rm Tr}{\bf A} \). Ιδιότητες αυτού. Αναλλοιότητα του ίχνους σε στροφές.

Ιδιότητες του ίχνους. Απόδειξη αναλλοιότητας του ίχνους. Στροφή τανυστή. Ορίζουσα σε 2, 3, \(N\) διαστάσεις. Ορισμός του \(\epsilon_{abc\ldots}\). Η ορίζουσα σε 3 διαστάσεις ως ο όγκος παραλληλεπιπέδου οριζόμενου από 3 διανύσματα.

Ιδιότητες των οριζουσών:(α) εναλλαγή δύο γραμμών \(\Rightarrow \) αλλαγή προσήμου, (β) πρόσθεση σε μια γραμμή μιας άλλης πολλαπλασιασμένης επί \(lambda\) \(\Rightarrow \) δεν αλλάζει η ορίζουσα, (γ) η ορίζουσα του \(\lambda\)-πλάσιου πίνακα είναι \(\lambda^N\)-πλάσια, (δ) ο ανάστροφος ενός πίνακα και ο αρχικός έχουν ίδιαορίζουσα, (ε) η ορίζουσα γινομένου ισούται με το γινόμενο των οριζουσών. Χρήση του \(\epsilon_{ijk}\) για τη γραφή του εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων. Ταύτότητα \(\epsilon_{ijk}\epsilon_{abk}=\delta_{ia}\delta_{jb}-\delta_{ib}\delta_{ja}\). απόδειξη και χρήση της ταυτότητας.

Οι πίνακες ως τελεστές οι οποίοι δρουν σε διανύσματα και τα αλλάζουν. (Πώς τα αλλάζουν;) Χαρακτηριστικοί πίνακες. Ιδιοανύσματα και ιδιοτιμές αυτών. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Πλήθος ιδιοτιμών-ιδιοανυσμάτων. Ποιο το γεωμετρικό τους νόημα; Διατύπωση ενός γραμμικού φυσικού προβλήματος (πρόβλημα κρούσεων.)

Περιγραφή του φυσικού προβλήματος των κρούσεων και εύρεση των ιδιοανυσμάτων στο χώρο των ταχυτήτων.

Ανάλυση του φυσικού προβλήματος. Εξέλιξη τυχαίας αρχικής κατάστασης ταχυτήτων. Σταδιακή προσέγγιση της ιδιοκατάστασης με την μέγιστη ιδιοτιμή. Ανάλυσητης κίνησης (χρόνοι-θέσεις διαδοχικών κρούσεων). Διαγωνιοποίηση πινάκων.

Ιδιοανύσματα και ιδιοτιμές συμμετρικών πινάκων. Κανονικοποίηση διανυσμάτων. Η ορίζουσα ως λόγος όγκων μετασχηματισμένων παραλληλότοπων. Η Ιακωβιανή ορίζουσα ως εργαλείο για τον υπολογισμό πολλαπλών ολοκληρωμάτων με χρήση βολικότερων συντεταγμένων (ο υπολογισμός έγινε λάθος και θα διορθωθεί στην επόμενη διάλεξη).

Επανεξήγηση της χρήσης της Ιακωβιανής ορίζουσας για τον υπολογισμός της ροπής αδράνειας σφαιρικού φλοιού. Κατοπτρισμοί ως "άλλοι" ορθογώνιοι μετασχηματισμοί, πέραν των στροφών. Η ορίζουσα αντισυμμετρικού πίνακα (ένας υπολογισμός βάσει του γενικού ορισμού της ορίζουσας).

Θεώρημα Cayley-Hamilton και ο χώρος των δυνάμεων των \(N\timesN\) πινάκων. Εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς, ως επέκταση των πραγματικών. Πραγματικό και φανταστικό μέρος μιγαδικών. Πράξεις μεταξύ μιγαδικών (πρόσθεση, πολλ/σμός με πραγματικό, πολλ/σμός). Μιγαδικό πεδίο και σχέση μιγαδικών με διανύσματα του διδιάστατου χώρου. Πώς τα πολυώνυμα αποκτούν ρίζες στο μιγαδικό πεδίο ακόμη και αν δεν έχουν πραγματικές ρίζες. Τύπος του Euler (πολική αναπαράσταση μιγαδικών). Ανάπτυγμα του \(e^{i \theta}\), ανάπτυγμα ημιτόνου και συνημιστόνου.

Συζυγής μιγαδικός αριθμός. Υπολογισμός αντιστρόφου μιγαδικού μέσω συζυγούς. Υπολογισμός μέτρου μιγαδικού. Σειρά αναπαράστασης του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Γεωμετρική σειρά μιγαδικών μέτρου 1: \(\sum_{k=0}^{\infty} z^k \) και εφαρμογή σε υπολογισμό αθροίσματος πολλών δυνάμεων με ίσες διαδοχικές γωνίες.

Απόδειξη τριγωνομετρικών ταυτοτήτων με τη χρήση μιγαδικών αριθμών. Ρίζες μιγαδικών αριθμών. Μιγαδικές δυνάμεις μιγαδικών αριθμών. Εφαρμογές της χρήσης μιγαδικών αριθμών στη φυσική (πρόβλημα ηλεκτροστατικής).

...συνέχεια προβλήματος φυσικής (ηλεκτροστατικής). Αντιστοιχία μιγαδικών σε πίνακες στροφής πολλαπλασιασμένων με κάποιο θετικό που αντιστοιχεί στο μέτρο του μιγαδικού, όσον αφορά στις πράξεις μεταξύ μιγαδικών. Μιγαδικοί ή πραγματικοί πίνακες με πραγματικές ιδιοτιμές. Ερμιτιανοί πίνακες. Βάση ερμιτιανών πινάκων. Πίνακες Pauli.

Τι ιδιοτιμέςῑδιοανύσματα έχουν οι πίνακες στροφής. Αφού στρίβουν πως παραμένουν ιδιοανύσματα; Πείραμα Stern-Gerlach. Κίνηση σωματιδίων με σπιν μέσα σε ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο. Πως οι καταστάσεις των σωματιδίων ανάλογα με το αν είναι ιδιοάνυσμα του αντίστοιχου πίνακα Pauli στρίβουν μέσα στο πεδίο. Πως γίνεται η ανάμειξη ακταστάσεων. Σειρές Fourier ως παράδειγμα απειροδιάστατου γραμμικού χώρου στον οποίο αναπτύσσονται οι περιοδικές συναρτήσεις. Αρμονικό περιεχόμενο περιοδικών συναρτήσεων και ηχόχρωμα οργάνων.

Λύσεις των ασκήσεων της 4ης εργασίας και γενική ανασκόπηση των όσων ελέχθησαν στο μάθημα την τρέχουσα ακαδημαϊκή χρονιά.