Μάθημα : Μηχανική ΙΙ (E 2024-2025)

Αρχή (Ελάχιστης) Στάσιμης Δράσης.
Διατύπωση.
Αντιπαράθεση της νέας αρχής με τον δυναμικό νόμο του Νεύτωνα.
Άλlες αρχές ελαχιστού στη Φυσική. (Παράδειγμα διαδρομής εντός και εκτός θάλασσας και νόμος του Snell).
Προσπάθειες εύρεσης στασίμου (ελεύθερο σωματίδιο και σωματίδιο σε πεδίο δυναμικού).
Ορθογωνιότητα συναρτήσεων.

Συναρτήσεις ως διανύσματα. Εσωτερικό γινόμενο μεταξή συναρτήσεων. Ορθογωνιοποίηση συναρτήσεων. Βάση του διανυσματικού χώρου των συναρτήσεων.
Σχέση μεταξύ στασιμοποίησης συνάρτησης και στασιμοποίησης συναρτησοειδούς.
Μετατροπή συναρτησοειδούς σε συνάρτηση πολλών μεταβλητών.

Στασιμοποίηση της δράσης ως συνάρτηση πολλών μεταβλητών (ενδιάμεσων θέσεων) αντί ως συναρτησοειδούς της κίνησης.
Αρχή στ΄σιμης δράσης ως γέφυρα κλασικού - κβαντομηχανικού κόσμου. "Ολοκληρώματα" διαδρομών και πιθανότητα υλοποίησης κάποιων διαδρομών. Απόκλιση πραγματικών (κβαντομηχανικών) σωματιδίων από την κλασική νευτώνεια κίνηση.

Γενικό πρόβλημα στασιμοποίησης ή ακροτατοποίησης ενός συναρτησοειδούς που σχηματίζεται από την ολοκλήρωση ως προς τη μεταβλητή \(t\) μιας συνάρτησης \(L({\bf q},\dot{\bf q},t)\).
Εφαρμογή στην εύρεση της καμπύλης που πετυχαίνει να μετακινήσει μέσα στο ομογενές βαρυτικό πεδίο ένα σώμα που γλιστράει άνευ τριβών μεταξύ δύο δοσμένων σημείων (ενός ψηλότερου αρχικά και ενός χαμηλότερου τελικά)στο μικρότερο δυνατό χρόνο [βραχυστόχρονο].
Εξισώσεις Euler-Lagrange. Τι σημαίνουν και τι πετυχαίνουν;
Τι ελευθερία υπάρχει στην κατασκευή της Λαγκρανζιανής;

Δυστυχώς το Δήλος κατέγραψε μετά το 39 λεπτό της πρώτης ώρας. Θα αναζητήσω σημειώσεις από κάποιον συμφοιτητή σας και θα τις ανεβάσω.
1. Ασκήση. Εύρεση της καμπύλης που συνδέει δύο σημεία μιας σφάιρας και έχει την ελάχιστη απόσταση. Συζήτηση για σχέση ελαχίστου-ακροτάτου-στασίμου συναρτησοειδούς. Πολλαπλές λύσεις στασίμου. Από αυτές μια έχει την ιδιότητα να είναι ακρότατο. Η 2η λύση αν και στάσιμη δεν είναι ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο.
2. Απόδειξη του ότι η αλλαγή μεταβλητών που χρησιμοποιούμε για την περιγραφή ενός φυσικού συστήματος δεν αλλοιώνει τις εξισώσεις Euler-Lagrange που ικανοποιούν το στάσιμο της δράσης. Παράδειγμα με επιταχυνόμενο σύστημα και εξισώσεις κίνησης για το ελεύθερο σωματίδιο στο σύστημα αυτό.
3. Λαγκρανζιανή ελεύθέρου σωματιδίου από πρώτες αρχές και συμμετρίες του Σύμπαντος.