Μάθημα : Βασικές Μαθηματικές Μέθοδοι (X 2024-2025)

Πρόκειται για την καταγραφή της πρώτης συνάντησης που διεξήχθη σήμερα (11/10) με webex. Οι διαφάνειες (που έτσι κι αλλιώς φαίνονται στην καταγραφή) θα ανεβούν αύριο.

Περί γωνιών, ακτινίων, γεωγραφικών συντεταγμένων και ακρίβειας καθορισμού θέσης στην υδρόγειο.

(διακόπηκε στο 11ο λεπτό λόγω ηλεκτρολογικού προβλήματος)

(ξεκινά στο ~10:00) Μονόμετρα-Διανύσματα-Τανυστές. Αναπαράσταση διανυσμάτων του επιπέδου, γραφή διανυσμάτων, αναπαράσταση σε πλαγιογώνια και καμπυλόγραμμα συστήματα. Μέτρο διανύσματος ως αναλλοίωτη ποσότητα. Ελευθερία επιλογής των διευθύνσεων των αξόνων. Αθροιστική σύμβαση του Einstein.

Συζητήθηκε η αθροιστική σύμβαση καθώς και η άθροιση 2 ή περισσοτέρων διανυσμάτων και η διαφορά διανυσμάτων. Στο 2ο μέρος ξεκίνησε η κατασκευή γινομένου διανυσμάτων σε μορφή αριθμού.

Λύση προβλημάτων. Συζήτηση περί του γινομένου διανυσμάτων. Κατασκευή εσωτερικού γινομένου ως γραμμικού γινομένου, αναλλοιώτου αριθμού και ανεξάρτητου της σειράς των διανυσμάτων.

Κατασκευή ενός αναλλοιώτου γινομένου-διανύσματος. Εξωτερικό γινόμενο. Η επιφάνεια ως διάνυσμα. Προβολή διανύσματος. Ανάλυση σε παράλληλη και κάθετη συνιστώσα διανύσματος.

Τριπλά γινόμενα. Όγκος και διπλό εξωτερικό γινόμενο. Κατοπτρική συμμετρία και ψευδοδιανύσματα. Παραβίαση της κατοπτρικής συμμετρίας σε πειράματα στοιχειωδών σωματιδίων. Σφαιρικές συντεταγμένες.

Σφαιρικές συντεταγμένες, μέγιστοι και παράλληλοι κύκλοι, καμπύλες πάνω στη σφαίρα \(\phi(\theta)\), μετασχηματισμοί σε καρτεσιανές συντεταγμένες και το αντίστροφο, πολικές συντεταγμένες. Επίπεδη και στερεά γωνία.

Ορισμός και υπολογισμός στερεάς γωνίας. Μονάδες. Υπολογισμός της επιφάνειας σφαίρας (χωρίς ολοκλήρωση) από τον Αρχιμήδη.

Λύση προβλήματος σχετικά με τον υπολογισμό στερεών γωνιών. Κατασκευή πίνακα που δρα ως μετασχηματισμός των συντεταγμένων ενός διανύσματος σε στροφές του συστήματος αναφοράς. Πράξη πολλαπλασιασμού πινάκων (πώς δουλεύει). Διαδοχή δράσεων πινάκων στροφής. Προσεταιριστικότητα του πολλαπλασιασμού. Αναλλοιότητα του εσωτερικού γινομένου σε στροφές. Δυνατοί πολλαπλασιασμοί μεταξύ διαφορετικών πινάκων \(M \times N\) και \(K \times L\).

Πολλαπλασιασμός πινάκων με χρήση δεικτών. Αθροιστική σύμβαση του Einstein. Απόδειξη της προεταιριστικότητας στον πολλαπλασιασμό πινάκων. Εξήγηση της μη μεταθετικότητας. Ορισμός του δέλτα του Kronecker. Κατασκευή του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων με δείκτες.

Κατασκευή του αντίστροφου ενός πίνακα. Ορίζουσες και ελάσσονες υποορίζουσες. Λύση αλγεβρικού συστήματος μέσω του αντίστροφου πίνακα. Ανάστροφος πίνακα. Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί πίνακες. [Θα γίνει μια σύντομη επανάληψη στην επόμενη διάλεξη.]

Σύντομη επανάληψη περί αντιστρόφων πινάκων, επίλυση γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων. Συμμετρικο΄θι και αντισυμμετρικοί πίνακες. Ανάστροφος πίνακα. Ανάστροφος γινομένου πινάκων. Δράση διαφόρων πινάκων σε διανύσματα.

Δράση πινάκων σε διανύσματα. Επιμεριστική σχέση μεταξύ πινάκων: \( {\bf A}({\bf X}+{\bf Y})={\bf A}{\bf X}+{\bf A}{\bf Y} \). Πίνακας επί διάνυσμα = μηδενικό διάνυσμα, πότε μπορεί να συμβαίνει. Εύρεση ιδοανυσμάτων και ιδιοτιμών ενός πίνακα.

Επίλυση προβλήματος Φυσικής (μηχανικής) με τη χρήση πινάκων.

Μελέτη του προβλήματος των κρούσεων μέσω της ανάλυσης των αρχικών συνθηκών στις ιδιοκαταστάσεις του (ακόμη και της συνθήκης επαναληψιμότητας των κρούσεων μέσω του πίνακα της ελαστικής κρούσης). Έκφραση της ενέργειας του συστήματος μέσω πινάκων. Μελέτη της εξέλιξης της ενέργειας μετά από πολλαπλές κρούσεις.

Φυσική σημασία της ορίζουσας ως μετρητής λόγου "όγκων" μετά και πριν το μετασχηματισμό που επιβάλλει ο πίνακας.

Υπολογισμός οριζουσών και ιδιότητες αυτών. Μετασχηματισμοί πίνακα που διατηρούν την ορίζουσα αυτού. Σχέση ιδιοτιμών με ορίζουσα πίνακα.

Ιδιότητες των οριζουσών, αλγόριθμος υπολογισμού αυτών, σύνδεση με ιδιοτιμές. Ορίζουσα γινόμενου. Θεώρημα Cayley-Hamilton και συσχέτιση μεταξύ των διαφόρων δυνάμεων ενός πίνακα.

Διαγωνιοποίηση πίνακα. Εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς.

Ανάπτυγμα του \(e^{i\theta}\). Πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς. Μέτρο και όρισμα. Μιγαδικές δυνάμεις. Συζυγής μιγαδικού. Χρήση μιγαδικών στην επίλυση προβλημάτων Φυσικής.

Επίλυση παραδείγματος χρήσης μιγαδικών σε φυσικά προβλήματα και συζήτηση σχετικά με τις πράξεις των μιγαδικών. Αναπαράσταση κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο. Αναπαράσταση μιγαδικών ως πίνακες αναφορικά με την πράξη του πολλαπλασιασμού αυτών. Μιγαδικές ιδιοτιμές και μιγαδικά ιδιοανύσματα. Ερμιτιανοί πίνακες και αναπαράστασή τους (σε 2 διαστάσεις) μέσω των πινάκων του Pauli.