Μάθημα : Βασικές Μαθηματικές Μέθοδοι (X 2024-2025)

Εισαγωγή για τα Μαθηματικά και τη Φυσική. Αναπαράσταση μέσω αριθμών της θέσης ενός δισδιάστατου χώρου. Γεωγραφικές συντεταγμένες. Δυαδικό σύστημα.

Περί διανυσμάτων, συστημάτων συντεταγμένων γενικά και ιδιότητας να αλλάζουν συντεταγμένες με προδιαγεγραμμένο τρόπο παραμένοντας αναλλοίωτα γεωμετρικά αντικείμενα. Αναλλοιότητα μήκους διανυσμάτων.

Τα διανύσματα ως αναλλοίωτα γεωμετρικά αντικείμενα και οι αναπαράστάσεις αυτών. Πράξεις μεταξύ διανυσμάτων, Πρόσθεση (η έννοια της ομάδας), αφαίρεση, αντίθετο διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα. Πολ/σμός διανύσματος με αριθμό. Γινόμενο(α) διανυσμάτων. Ααπίτηση γραμμικότητας και αναλλοιώτου αποτελέσματος. Εσωτερικό γινόμενο ως η μόνη κατασκευή ( \( \vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 \) )που οδηγεί σε αναλλοίωτο βαθμωτό μεγέθος. Εσωτερικό γινόμενο και καθετότητα διανυσμάτων. Προβολή διανύσματος σε άλλο.

Διόρθωση σχετικά με το ερώτημα γιατί το γινόμενο των μέτρων 2 διανυσμάτων δεν θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένα "καλό" βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων. Το εσωτερικό γινόμενο και οι ιδιότητες αυτού. Υπολογισμός της προβολής διανύσματος σε άλλο. Ανάλυση διανύσματος παράλληλα σε δοθέν διάνυσμα και σε κάθετη συνιστώσα. Υπολογισμός του μοναδιαίου που είναι κάθετο σε δοθέν διάνυσμα. Κατασκευή του εξωτερικού γινομένου ως διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων που είναι και γραμμικό γινόμενο και αναλλοίωτο ως διάνυσμα. Δεξιόστροφα και αριστερόστροφα συστήματα. Ορισμός εξωτερικού γινομένου στο ένα και στο άλλο. Συζήτηση σχετικά με τις 2 όψεις μιας επιφάνειας.

Διερεύνηση - επίλυση του γρίφου. Εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων του χώρου. Γεωμετρική ερμηνεία του εξωτερικού γινομένου - σύνδεση με επιφάνειες. Δυνατά τριπλά γινόμενα.

Ιδιότητες και πράξεις με εξωτερικά και εσωτερικά γινόμενα. Όγκος παραλληλεπιπέδου (εξωτερικό-εσωτερικό γινόμενο) και πρόσημο του όγκου. Υπολογισμός του 2πλού εξωτερικού γινομένου 3 διανυσμάτων με τη χρήση αναλλοιώτων ποσοτήτων και της γραμμικής συμπεριφοράς των γινομένων. Κατοπτρισμός ως έννοια. Συσχέτιση με αριστερόστροφα-δεξιόστροφα συστήματα και η έννοια των ψευδοδιανυσμάτων. Πείραμα της Wu περί ασυμμετρίας των ασθενών αλληλεπιδράσεων σε κατοπτρισμούς.

Περί τανυστικού γινομένου. Ο τανυστής ταυτότητα και η δράση του σε διανύσματα. Σφαιρικές συντεταγμένες. ποια είναι τα διαστήματα στα οποία ορίζονται αυτές. Ποιο το νόημά τους. Καμπύλες πάνω σε σφαίρα. Συσχέτιση καρτεσιανών-σφαιρικών συντεταγμένων.

Η επιφάνεια μιας σφαίρας με τον Αρχιμήδειο τρόπο. Ορισμός στερας γωνίας και υπολογισμός αυτής.

Υπολογισμός στοιχειώδους στερεάς γωνίας μέσω όχι μιας σφαιρικής επιφάνειας. Σύνδεση με νόμο Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο. Πίνακες: Διάσταση αυτών, πολλαπλασιασμός, μεταθετικότητα, προσεταιριστικότητα. Χρήση δεικτών, σύμβαση Einstein. Δέλτα του Kronecker. Αντισυμμετρικός τανυστής τάξης 2.

Η σημασία και η χρήση των δεικτών. Ο τανυστής δέλτα του Kronecker. Ο πλήρως αντισυμμετρικός τανυστής 3ης τάξης (και \(N\)-στης τάξης. Το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόμενο μέσω των \(\delta\) και \(\epsilon\) τανυστών.

Ο πλήρως αντισυμμετρικός τανυστής 2ης τάξης \( \epsilon_{ij} \) και η αναπαράστασή του με πίνακα. Η έννοια του τανυστή και η απόδειξη ότι ο \( \delta_{ij} \) είναι τανυστής. Μερική απόδειξη ότι και ο \( \epsilon_{ijk} \) είναι τανυστής. Οι πίνακες στροφής ως ορθογώνιοι πίνακες (όχι μοναδιαίοι όπως ειπώθηκε στο μάθημα) \( {\bf R} {\bf R}^\top = {\bf I}\). Η έννοια του αναστρόφου ενός πίνακα και του αντιστρόφου. Χρήση του αντίστροφου πίνακα για την επίλυση γραμμικού αλγεβρικού συστήματος.

Χρήση πινάκων για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος. Η έννοια του ανάστροφου και του αντίστροφου πίνακα. Κατασκευή αντιστρόφου πίνακα μέσω μιας σειράς μετασχηματισμών του πίνακα. Η ορίζουσα ενός πίνακα ως έκφραση και ως πρακτικός υπολογισμός.

Ιδιότητες των οριζουσών. 1) Μετά από πολλ/σμό πίνακα με αριθμό. 2) Μετά από αναστροφή. 3) Μετά από εναλλαγή γραμμών (ή στηλών) 4) Μετά από πρόσθεση γραμμής πολλαπλασιασμένης με αριθμό σε άλλη γραμμή. 5) Μετά από πολλαπλασιασμό γραμμής με αριθμό. 6) Μετά από πολλαπλασιασμό πινάκων. Διγραμμικές μορφές με τη χρήση πινάκων. Συμμετρικό και αντισυμμετρικό μέρος πίνακα. Η διγραμμική μορφή σχετίζεται μόνο με το συμμετρικό μέρος του πίνακα. Κατασκευή πίνακα που αντιστοιχεί σε μια διγραμμική μορφή.

Οι διγραμμικές μορφές με τη χρήση πίνακα. Τι σημαίνουν και πως σχετίζεται ο πίνακας με τους συντελεστές των διγραμμικών μορφών. Για ποιες διευθύνσεις διανυσμάτων, τα διανύσματα που ικανοποιούν τη σχέση \( X^\top {\bf A} X=c \) λαμβάνουν ακρότατη τιμή. Στις διευθύνσεις αυτές τι συμβαίνει με τη δράση του πίνακα στα συγκεκριμένα διανύσματα (η έννοια των ιδιοανυσμάτων του πίνακα). Ορθογωνιότητα των διανυσμάτων που λαμβάνουν ακρότατο μήκος. Εκτελώντας στροφή του συστήματος αναφοράς κατά μήκος των δύο αυτών κάθετων διευθύνσεων επιτυγχάνουμε την παρουσίαση της διγραμμικής μορφής ως τη μορφή μιας έλλειψης.

Απόδειξη ότι \( ({\bf A}{\bf B}\ldots{\bf G})^\top={\bf G}^\top \ldots {\bf B}^\top {\bf A}^\top\). Η έννοια του ιδιοανύσματος (ή καλύτερα της ιδιοδιεύθυνσης) και της ιδιοτιμής ενός πίνακα. Κατασκευή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Αλγόριθμος κατασκευής ιδιοανυσμάτων και ιδιοτιμών ενός πίνακα. Η έννοια της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας γραμμικών εξισώσεων.

Ένα πρόβλημα Φυσικής (με κρούσεις) με χρήση ιδιοανυσμάτων και ιδιοτιμών. Ανάλυση τυχαίου διανύσματος στη βάση των ιδιοανυσμάτων και ανάλυση της "τελικής" συμπεριφοράς του συστήματος μετά από πολλές επαναλαμβανόμενες κρούσεις.

Ίχνος πίνακα και αναλλοιότητα αυτού. Διαγωνιοποίηση πίνακα και σχέση ορίζουσας με ιδιοτιμές. Συσχέτιση με ανάλυση διανύσματος στη βάση των ιδιοανυσμάτων. Ορίζουσα πίνακα \(N \times N\) ως λόγος "όγκων" προ και μετά τη δράση του πίνακα σε \(N\) διανύσματα, μη συγγραμμικά ανά δύο. ανώμαλοι πίνακες και εκφυσλισμός ιδιοτιμών.

Η έννοια της Ιακωβιανής ορίζουσας και η χρήση τους σε υπολογισμούς "όγκων". Εφαρμογή στον υπολογισμό εμβαδού έλλειψης. Θεώρημα Cayley-Hamilton και ο διανυσματικός χώρος των δυνάμεων ενός πίνακα. Εισαγωγή των μιγαδικών αριθμών ως επέκταση των γνωστών αριθμών ώστε να μπορούμε να ειλύσουμε κάθε αλγεβρική εξίσωση.

Αντίστροφος και συζυγής μιγαδικού. Πολική απεικόνιση μιγαδικού αριθμού. Μέτρο και όρισμα μιγαδικού. Τριγωνομετρικές ταυτότητες με χρήση μιγαδικών. \(N\)-οστές ρίζες της μονάδας και άλλων μιγαδικών αριθμών. Πώς μια δευτεροβάθμια εξίσωση χωρίς πραγματικές ρίζες αποκτά ρίζες αν επεκτείνουμε τις ρίζες με φανταστικό συμπλήρωμα.

Γραφική ερμηνεία της εμφάνισης των μιγαδικών ριζών ενός πολυωνύμου 2ου βαθμού, όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική. Φυσικό πρόβλημα με χρήση μιγαδικών αριθμών: Εύρεση του γεωμετρικού τόπου μηδενισμού του ηλεκτρικού δυναμικού από δύο ετερόσημα φορτία. Το πρόβλημα συνδέεται με τη θεωρία ειδώλων στον ηλεκτρισμό που λύνει το πρόβλημα εύρεσης του ηλεκτρικού πεδίου από ένα φορτίο και μια γειωμένη αγώγιμη (μεταλλική) σφαίρα. Ύψωση μιγαδικού σε μιγαδική δύναμη.

Ποια αναπαράσταση των μιγαδικών συμπεριφέρεται σύμφωνα με τους κανόνες γινομένου αυτών; Μιγαδικές ιδιοτιμές. Τι σημαίνουν. Τα ιδιοανύσματά τους μπορούν να είναι πραγματικά; Μιγαδικοί πίνακες. Μπορεί να έχουν πραγματικές ιδιοτιμές; Ερμιτιανοί πίνακες και φυσική σημασία αυτών για την περιγραφή των κβαντικών συστημάτων.